Laplace-Experiment & Laplace-Wahrscheinlichkeit

Hast du dich schon einmal gefragt, wie du die Wahrscheinlichkeit von bestimmten Ereignissen berechnest? Die Laplace-Wahrscheinlichkeit bietet eine der wichtigsten Möglichkeiten, um solche Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Aber welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit du mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit rechnen darfst?

simpleclub zeigt dir alles, was du über Laplace-Experimente und Laplace-Wahrscheinlichkeiten wissen musst.

Laplace-Experiment einfach erklärt

Ein prototypisches Beispiel für ein Laplace-Experiment ist das einmalige Werfen mit einem Würfel.

Ein Laplace-Experiment ist einfach ein Zufallsexperiment mit der Zusatzbedingung, dass alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Das Würfeln ist zum Beispiel ein Laplace-Experiment, da es ein normales Zufallsexperiment ist und zusätzlich alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses AAA bei einem Laplace-Experiment.

Dabei teilst du die Anzahl der Elemente, die zu diesem Ereignis führen, durch die Gesamtanzahl an Möglichkeiten.

\begin{aligned} P(G)&=\frac{\text{Anzahl an Elementen}}{\text{Gesamtmöglichkeiten}{}} \\ &=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|} \end{aligned}P(G)=Anzahl an ElementenGesamtmo¨glichkeiten=AΩ\begin{aligned} P(G)&=\frac{\text{Anzahl an Elementen}}{\text{Gesamtmöglichkeiten}{}} \\ &=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|} \end{aligned}

Laplace-Experiment Definition

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Laplace-Wahrscheinlichkeit Definition

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses AAA durch:

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}P(A)=AΩP(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Laplace-Experiment

Ein Laplace Experiment ist also nichts anderes als ein normales Zufallsexperiment mit zusätzlicher Einschränkung.

Bei einem Zufallsexperiment sind immer drei Merkmale erfüllt:

  • Der Ausgang des Zufallsexperiments ist nicht vorhersagbar.
  • Das Zufallsexperiment hat mehrere Ausgänge (sogenannte Ergebnisse).
  • Das Zufallsexperiment kann beliebig oft wiederholt werden.

Für ein Laplace-Experiment muss zusätzlich gegeben sein:

  • Alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Dies vereinfacht das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten erheblich. Deshalb werden dir Laplace Experimente in der Schule häufig begegnen.

Typische Alltagsbeispiele sind das Werfen eines normalen Würfels, das Ziehen einer bestimmten Karte aus einem Kartendeck oder andere Situationen, in denen der Ausgang aller Ergebnisse genau gleich wahrscheinlich ist.

Alle Zufallsexperimente, bei denen nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, sind keine Laplace Experimente!

Zum Beispiel ist das Drehen des folgenden Glücksrads kein Laplace-Experiment, da nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Ein Glücksrad mit drei verschieden großen Sektoren.

Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit

Du kannst die Wahrscheinlichkeit eines Laplace-Experiments berechnen, wenn du die Anzahl der Ergebnisse zu einem Ereignis durch die Gesamtanzahl an Möglichkeiten teilst.

Beim einmaligen Werfen eines handelsüblichen Würfels gehören zu dem Ereignis GGG : Es wird eine gerade Zahl gewürfelt die Ergebnisse 222, 444 und 666. Die Anzahl an Möglichkeiten zu dem Ereignis GGG sind also 333.

Mathematisch ausgedrückt ist das die Mächtigkeit des Ereignisses GGG . Du sagst also Ereignis GGG besitzt die Mächtigkeit 333.

Das schreibst du dann mit Betragsstrichen um das Ereignis:

\implies \left| G \right|=3.G=3.\implies \left| G \right|=3.

Es können insgesamt die Zahlen 111 bis 666 gewürfelt werden.

\implies \Omega = \{1;2;3;4;5;6\}Ω={1;2;3;4;5;6}\implies \Omega = \{1;2;3;4;5;6\}

Die Anzahl aller Ergebnisse im Ergebnisraum ist die Mächtigkeit des Ergebnisraum.

\implies \left|\Omega\right|=6Ω=6\implies \left|\Omega\right|=6

Du kannst die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses GGG, also P(G)P(G)P(G), nun durch die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen. Dazu teilst du die Mächtigkeit des Ereignisses durch die Mächtigkeit des Ergebnisraums.

P(G) = \frac{\left|G\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=\underline{\underline{50~\%}}P(G)=GΩ=36=12=50%P(G) = \frac{\left|G\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=\underline{\underline{50~\%}}

Beispiel

Pasch würfeln

Jan und ein Freund würfeln in einem Café mit zwei Würfeln darum, wer von ihnen den nächsten Kaffee bezahlen muss.

Bei einem Pasch (beide Würfel zeigen dieselbe Augenzahl) ist Jan an der Reihe, bei allen anderen Würfen muss sein Freund bezahlen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Jan den nächsten Kaffee bezahlen muss.

Lösung

Es handelt sich um ein Laplace Experiment, da alle möglichen Würfe gleich wahrscheinlich sind.

Es gibt 6 Möglichkeiten, einen Pasch zu würfeln (also 6 gewünschte Ergebnisse):

E = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}E={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}E = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}\col[1]{|E|} = 6E=6\col[1]{|E|} = 6

Insgesamt gibt es 36 mögliche Ergebnisse, da mit zwei Würfeln 36 verschiedene Kombinationen möglich sind:

\Omega = \{{(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,5),(6,6)}\}Ω={(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)}\Omega = \{{(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,5),(6,6)}\}\col[2]{|Ω|}= 36Ω=36\col[2]{|Ω|}= 36

Du berechnest nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jan Kaffee holen muss, indem du die Anzahl der gewünschten Ergebnisse (einen Pasch) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst:

P(E) = \frac{\col[1]{|E|}}{\col[2]{|Ω|}} = \frac{6}{36} \approx 0,166 \ =\underline{\underline{16,6~\%}}P(E)=EΩ=6360,166=16,6%P(E) = \frac{\col[1]{|E|}}{\col[2]{|Ω|}} = \frac{6}{36} \approx 0,166 \ =\underline{\underline{16,6~\%}}

Karte ziehen

In einem gewöhnlichen Skatdeck befinden sich insgesamt 32 Karten.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Ziehen einen Buben aus dem Deck zu ziehen?

Lösung

Wieder handelt es sich um ein Laplace Experiment, da die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Karte zu ziehen bei jeder Karte genau gleich groß ist.

Es gibt vier Buben in dem Kartendeck, also ist dies auch die Anzahl der gewünschten Ergebnisse:

\col[1]{|E|} = 4E=4\col[1]{|E|} = 4

Insgesamt sind 32 Karten im Kartendeck, also können auch 32 verschiedene Karten gezogen werden. Somit gibt es 32 mögliche Ergebnisse:

\col[2]{|Ω|}= 32Ω=32\col[2]{|Ω|}= 32

Nun berechnest du die Gesamtwahrscheinlichkeit einen Buben zu ziehen, indem du die Anzahl der gewünschten Ergebnisse (ein Bube wird gezogen) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst:

P(E) = \frac{\col[1]{|E|}}{\col[2]{|Ω|}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}=0,125 \ = \underline{\underline{12,5~\%}}P(E)=EΩ=432=18=0,125=12,5%P(E) = \frac{\col[1]{|E|}}{\col[2]{|Ω|}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}=0,125 \ = \underline{\underline{12,5~\%}}

Zusammenfassung

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem zusätzlich alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis AAA , indem du die Anzahl der günstigen Möglichkeiten durch die Gesamtmöglichkeiten teilst.

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}P(A)=AΩP(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}
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