Kurvendiskussion Überblick

Die Kurvendiskussion ist ein sehr wichtiges Thema in der Mathematik und wird dir häufig im Unterricht begegnen.
Aber auch im Alltag könnte sie dir behilflich sein. Zum Beispiel, wenn du eine Route planst und wissen möchtest welche die kürzeste ist.
Außerdem wird die Kurvendiskussion in der Architektur und Wirtschaft benutzt, da man mit ihr Abhängigkeiten darstellen kann.

Das Thema ist zwar nicht super einfach, aber simpleclub erklärt dir Schritt für Schritt alles, was du darüber wissen musst. So musst du dir keine Sorgen mehr machen, Kurvendiskussion nicht zu verstehen.

Kurvendiskussion einfach erklärt

Die Kurvendiskussion beschreibt die Analyse einer Funktion auf besondere Eigenschaften. Dazu zählen:

• besondere Punkte des Funktionsgraphen
• das Verhalten des Funktionsgraphen
• die möglichen x$x$- und y$y$-Werte

Kurvendiskussion Definition

Besondere Punkte bei der Kurvendiskussion

\Large{y}$\Large{y}$-Achsenabschnitt

Der y$y$-Achsenabschnitt beschreibt den Schnittpunkt des Graphen mit der y$y$-Achse.

Zur Bestimmung solltest du Folgendes können:

• 0$0$ in die Funktion einsetzen

Nullstellen

Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die x$x$-Achse schneidet. Zur Bestimmung musst du die Funktion mit 0$0$ gleichsetzen und nach x$x$ auflösen.

Häufig verwendete Methoden zur Bestimmung der Nullstellen, die du kennen solltest, sind:

• Satz vom Nullprodukt
• pq-Formel oder abc-Formel (Mitternachtsformel)
• Polynomdivision
• Substitution

Extrempunkte

Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte der Funktion. Dort ist die Tangentensteigung 0$0$.

Zur Bestimmung solltest du Folgendes können:

• Ableitungen bilden
• Nullstellen berechnen.

Wendepunkte

An Wendepunkten wechselt der Graph seine Krümmung.

Zur Bestimmung solltest du Folgendes können:

• Ableitungen bilden
• Nullstellen berechnen

Verhalten des Graphen in der Kurvendiskussion

Symmetrie

Ein Graph kann symmetrisch zur y$y$-Achse sein oder symmetrisch zum Ursprung sein. Das ist eine besondere Eigenschaft, da sich der Graph dann entweder an einer Achse oder an einem Punkt spiegelt.

Zur Bestimmung solltest du Folgendes können:

• Funktionswerte einsetzen

Monotonie

Ein Graph kann immer steigende oder immer fallende Werte haben. Das nennt man Monotonie.

Zur Bestimmung solltest du Folgendes können:

• Ableitungen bilden

Verhalten im Unendlichen

Ein Graph verhält sich für sehr große bzw. sehr kleine Werte auf eine besondere Weise. Wie er sich genau verhält, ermittelst du bei der Bestimmung des Verhaltens im Unendlichen.

Zur Bestimmung solltest du Folgendes können:

• Grenzwert bilden für x\to\pm\infty$x\to\pm\infty$

Asymptoten

Graphen weisen im Unendlichen ein bestimmtes Verhalten aus. Oft lässt sich der Graph durch eine einfache Funktion - die sogenannte Asymptote beschreiben.

Zur Bestimmung solltest du Folgendes können:

• Polynomdivision

Werte der Funktion in der Kurvendiskussion

Definitionsbereich

Eine Funktion ist häufig nicht für alle reellen Zahlen definiert. D.h. du darfst nicht alle Zahlen in eine Funktion einsetzen. Die Menge der Werte, die du einsetzen darfst, nennt sich Definitionsbereich.

Zur Bestimmung solltest du Folgendes können:

• Nullstellen bestimmen
• Allgemeinwissen zu Funktionen

Wertebereich

Es können unter Umständen nur bestimmte Werte als Funktionswerte auftauchen. Der Graph hat dann z.B. ein Maximum oder ein Minimum. Die Menge aller Funktionswerte einer Funktion ist der Wertebereich.

Zur Bestimmung solltest du Folgendes können:

• Extrempunkte bestimmen
• Definitionsbereich bestimmen
• Monotonieverhalten bestimmen
• Verhalten im Unendlichen bestimmen

Graph zeichnen in der Kurvendiskussion

Mit den oben genannten Funktionseigenschaften ist es dir möglich eine grobe Skizze des Graphen anzufertigen!

Das gehört in der Regel zu einer Kurvendiskussion hinzu.

Beim Zeichnen kannst du dich also an den folgenden Eigenschaften orientieren:

• besondere Punkte
• Verhalten des Graphen
• Werte der Funktion