Konfidenzintervall & Konfidenzniveau

Das Konfidenzintervall (auch Vertrauensintervall) gibt den Bereich an, der mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau) den Erwartungswert einer Zufallsvariablen enthält.

Das Konfidenzniveau gibt dir an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Erwartungswert in einem bestimmten Konfidenzintervall auch enthalten ist.


Erklärung

Auf der Grafik sind 10 Konfidenzintervalle zu sehen. Der Erwartungswert der Zufallsvariablen liegt in 9 von 10 Intervallen, somit ergibt sich ein Konfidenzniveau von 90%.Do
Konfidenzniveau zum Konfidenzintervall

Das Konfidenzniveau \gammaγ\gamma ist dir in der Aufgabenstellung immer gegeben (meistens 90 \%90%90 \%).

Um damit das Konfidenzintervall zu berechnen, benötigst du eine Sigmatabelle mit der du die Prozentzahl als mathematischen Wert angeben kannst. Hier findest du die wichtigsten Kenngrößen (bei Normalverteilung):

Konfidenzniveau

\gammaγ\gamma (gerundet)

90\%90%90\%

1,645 1,6451,645

95 \%95%95 \%

1,961,961,96

99 \%99%99 \%

2,582,582,58

Das Konfidenzintervall (KI) ist jetzt der Bereich, in dem der Erwartungswert liegen soll.

Du kannst es mit folgender Formel berechnen:

KI = x\pm \frac{\gamma \cdot \sigma}{\sqrt{n}}KI=x±γσnKI = x\pm \frac{\gamma \cdot \sigma}{\sqrt{n}}

xxx ist dabei der Mittelwert deiner Stichprobe, \gammaγ\gamma dein Konfidenzniveau, \sigmaσ\sigma deine Standardabweichung und n die Größe deiner Stichprobe.


Beispiel

Jan interessiert sich sehr für Kühe.

Deshalb hat er 36 Kühe untersucht. Dabei hat sich ergeben, dass diese im Durchschnitt 50 kg Nahrung am Tag zu sich nehmen (Standardabweichung: 10 kg).

Berechne das Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert zu einem Konfidenzniveau von 90 \%90%90 \%.

Lösung

Du hast also Folgendes bereits gegeben:

x = 50x=50x = 50n = 36n=36n = 36\sigma = 10σ=10\sigma = 10

Die Sigmatabelle liefert außerdem folgendes Konfidenzniveau von 90%: \gamma(90) = 1,645γ(90)=1,645\gamma(90) = 1,645.

Daraus bestimmst du das Konfidenzintervall:

\begin{aligned} KI &= 50\pm \frac{1,645 \cdot 10}{\sqrt{36}}\\ &= 50 \pm \frac{16,45}{6}\\ &= 50 \pm 2,74 \end{aligned}KI=50±1,6451036=50±16,456=50±2,74\begin{aligned} KI &= 50\pm \frac{1,645 \cdot 10}{\sqrt{36}}\\ &= 50 \pm \frac{16,45}{6}\\ &= 50 \pm 2,74 \end{aligned}

Das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau von 90 \%90%90 \% ist also folgendes:

\underline{\underline{\left[47,26; 52,74\right]}}[47,26;52,74]\underline{\underline{\left[47,26; 52,74\right]}}
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