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Fläche zwischen Funktionsgraph und Achse

Die Integralrechnung ist eine der wichtigsten mathematischen Operationen, die du in der Oberstufe lernst.

Mithilfe von Integralen kannst du Flächen berechnen. Unter anderem auch die eingeschlossene Fläche zwischen einem Graphen und der x $x$ -Achse.

simpleclub zeigt dir, wie das geht!

Fläche zwischen Funktionsgraph und \huge{x} $\huge{x}$ -Achse einfach erklärt

Mit dem bestimmten Integral kannst du Flächen zwischen einem Graphen und der x $x$ -Achse berechnen.

Flächen oberhalb der x $x$ -Achse sind positiv. Flächen unterhalb der x $x$ -Achse sind negativ.

Das Integral gibt immer die Flächenbilanz an. Das bedeutet, dass sich in einem Integral negative und positive Flächen gegenseitig wegkürzen können.

Drücke die Buttons.

Um die Gesamtfläche zu berechnen, musst du ...

... zunächst die Nullstellen des Graphen berechnen.
... anschließend jedes Integral einzeln berechnen.
... um jedes Flächenstück Betragsstriche setzen und alle Flächen addieren.

Fläche zwischen Funktionsgraph und \Large{x} $\Large{x}$ -Achse Definition

Die eingeschlossene Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f(x) $f(x)$ und der x $x$ -Achse berechnest du mit

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_1}} f(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_1}}^{\col[4]{x_2}} f(x) \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{x_2}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right|

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_1}} f(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_1}}^{\col[4]{x_2}} f(x) \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{x_2}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right|

Dabei sind x_1 $x_1$ , x_2 $x_2$ und x_3 $x_3$ die Nullstellen der Funktion f(x) $f(x)$ in diesem Intervall.

Erklärung

Wenn du die Fläche A $A$ zwischen einem Funktionsgraphen und der x $x$ -Achse berechnen willst, unterscheidest du zwischen zwei Fällen:

Graph von f(x) $f(x)$ liegt ausschließlich ober- oder unterhalb der \large x $\large x$ -Achse.
Graph von f(x) $f(x)$ liegt sowohl ober- als auch unterhalb der \large x $\large x$ -Achse.

Im Folgenden lernst du die beiden Fälle kennen:

Graph ober- oder unterhalb von \large x $\large x$ -Achse

Tippe die Schalter!

Liegt der Graph der Funktion f(x) $f(x)$ in dem betrachteten Intervall I[\col[1]{a};\col[2]{b}] $I[\col[1]{a};\col[2]{b}]$ ausschließlich ober- oder unterhalb der x $x$ -Achse, lässt sich die Fläche zwischen Graph und der x $x$ -Achse mit

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right|

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right|

berechnen.

Die Formel benutzt du also, wenn der Funktionsgraph in dem betrachteten Intervall keine Nullstellen hat.

Der Betrag ist im Übrigen dafür da, dass du keinen negativen Flächeninhalt berechnest, falls sich der Graph unterhalb der x $x$ -Achse befindet.

Vorgehensweise

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Integralgrenzen festlegen

Zunächst legst du die Integralgrenzen fest. Da in diesem Fall die Gesamtfläche A $A$ nur aus einer Fläche besteht, wird diese auch nur von den Intervallgrenzen \col[1]{a} $\col[1]{a}$ und \col[2]{b} $\col[2]{b}$ eingegrenzt. Damit kannst du Intervallgrenzen auch als Integralgrenzen benutzten:

untere Integralgrenze: \col[1]{a} $\col[1]{a}$
obere Integralgrenze: \col[2]{b} $\col[2]{b}$

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Integral berechnen

Nun kannst du das Integral ausrechnen.

Du erhältst:

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x)\ \text{d}x \right|

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}} f(x)\ \text{d}x \right|

Graph ober- und unterhalb von \large x $\large x$ -Achse

Tippe die Schalter!

Liegt der Graph der Funktion f(x) $f(x)$ in dem betrachteten Intervall I[\col[1]{a};\col[2]{b}] $I[\col[1]{a};\col[2]{b}]$ teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x $x$ -Achse, musst du abschnittsweise zwischen den Nullstellen integrieren.

Achte besonders darauf, um jedes Flächenstück Betragsstriche zu setzen. Auf diese Art werden alle Flächen positiv und du erhältst die insgesamt eingeschlossene Fläche.

Die eingeschlossene Fläche zwischen dem Graphen und der x $x$ -Achse lässt sich dann mit

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_1}} f(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_1}}^{\col[4]{x_2}} f(x) \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{x_2}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right|

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_1}} f(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_1}}^{\col[4]{x_2}} f(x) \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{x_2}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right|

berechnen, wobei \col[3]{x_1} $\col[3]{x_1}$ und \col[4]{x_2} $\col[4]{x_2}$ hier die Nullstellen repräsentieren.

Hinweis: Je nach Anzahl an Nullstellen besteht die gesamte Fläche A $A$ aus unterschiedlich vielen Teilflächen A_n $A_n$ . Es kann also auch sein, dass du zum Beispiel auch nur zwei oder sogar vier Teilflächen und somit dann zwei oder vier Teilintegrale benötigst.

Vorgehensweise

Wenn du die Fläche zwischen einem Graphen und der x $x$ -Achse in dem Intervall I [\col[1]{a}; \col[2]{b}] $I [\col[1]{a}; \col[2]{b}]$ bestimmen möchtest, kannst du schrittweise vorgehen:

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Nullstellen von f(x) $f(x)$ berechnen

Schiebe den Regler!

Schritt 1

Zunächst bestimmst du erst einmal mit

f(x)=0

f(x)=0

die Nullstellen, damit du weißt, wo genau die Fläche überhaupt eingeschlossen wird.

Beispiel:

kleinere Nullstelle: \col[3]{x_1} $\col[3]{x_1}$
größere Nullstelle: \col[4]{x_2} $\col[4]{x_2}$

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Liegen Nullstellen im Intervall I [\col[1]{a}; \col[2]{b}] $I [\col[1]{a}; \col[2]{b}]$ ?

Schiebe den Regler!

Schritt 2

Hast du die Nullstellen bestimmt, überprüfst du, ob diese im Intervall I[\col[1]{a};\col[2]{b}] $I[\col[1]{a};\col[2]{b}]$ liegen.

Die Nullstellen, welche nicht in dem Intervall liegen, kannst du ab hier ignorieren. Für die Fläche sind nur die Nullstellen innerhalb des Intervalls I[\col[1]{a};\col[2]{b}] $I[\col[1]{a};\col[2]{b}]$ relevant. Schließlich sollst du auch nur in dem Intervall I $I$ integrieren und nicht außerhalb davon.

\fcolorbox{grey}{grey}{3} $\fcolorbox{grey}{grey}{3}$ Integralgrenzen festlegen

Schiebe den Regler.

Schritt 3

Im dritten Schritt legst du die Integralgrenzen fest. Hier integrierst du nun von der unteren Grenze zur Nullstelle, dann von Nullstelle zu Nullstelle, bis du bei der oberen Grenze ankommst.

Beispiel:

\qquad \bold{\cdot} A_1 = \ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_1}} f(x) \ \text{d}x \right| \\ \qquad\bold{\cdot} A_2 = \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_1}}^{\col[4]{x_2}} f(x) \ \text{d}x \right| \\ \qquad\bold{\cdot}A_3 = \ \left| \int \limits_{\col[4]{x_2}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right|

\qquad \bold{\cdot} A_1 = \ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_1}} f(x) \ \text{d}x \right| \\ \qquad\bold{\cdot} A_2 = \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_1}}^{\col[4]{x_2}} f(x) \ \text{d}x \right| \\ \qquad\bold{\cdot}A_3 = \ \left| \int \limits_{\col[4]{x_2}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right|

Dabei sind x_1 $x_1$ , x_2 $x_2$ und x_3 $x_3$ wieder die Nullstellen der Funktion f(x) $f(x)$ in diesem Intervall.

\fcolorbox{grey}{grey}{4} $\fcolorbox{grey}{grey}{4}$ Integral abschnittsweise berechnen

Schritt 4

Im letzten Schritt berechnest du die Gesamtfläche, indem du die Beträge der Flächen addierst. Du musst also alle Integrale ausrechnen und die Beträge der Flächen addieren.

\begin{aligned} A &= A_1 + A_2 + A_3 \\ &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_1}} f(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_1}}^{\col[4]{x_2}} f(x) \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{x_2}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right| \end{aligned}

\begin{aligned} A &= A_1 + A_2 + A_3 \\ &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{a}}^{\col[3]{x_1}} f(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{x_1}}^{\col[4]{x_2}} f(x) \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{x_2}}^{\col[2]{b}} f(x) \ \text{d}x \right| \end{aligned}

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Beispiele

Fläche unterhalb der \large x $\large x$ -Achse

Aufgabenstellung

Man sieht den Graphen der Funktion x Quadrat minus 1. Die Fläche zwischen Graph und x-Achse im Bereich -1 bis 1 ist markiert.

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion

f(x)= x^2-1

f(x)= x^2-1

und der x $x$ -Achse auf dem Intervall I[-1;1] $I[-1;1]$ .

Lösung

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Integralgrenzen festlegen

Skizzierst du dir einmal den Graphen von f(x) $f(x)$ in dem Intervall, erkennst du bereits, dass das gesamte Integral nur aus einer Fläche besteht. Diese Fläche wird in diesem Fall von den Nullstellen \col[1]{a=-1} $\col[1]{a=-1}$ und \col[2]{b=1} $\col[2]{b=1}$ eingegrenzt, weswegen diese direkt als Integralgrenzen übernommen werden können:

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} f(x) \ \text{d}x \right|

A =\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} f(x) \ \text{d}x \right|

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Integral berechnen

Nun kannst du dein Integral berechnen:

\begin{aligned} A &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} f(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} x^2-1 \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \left[ \frac{1}{3}x^3-x\right]_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{3}\cdot \col[2]{1}^3-\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{3} \cdot(\col[1]{-1})^3 -(\col[1]{-1}) \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{3}-{1}\right) - \left( -\frac{1}{3}+{1}\right) \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( -\frac{2}{3}\right) - \left( \frac{2}{3} \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| - \frac{4}{3}\right| \\[3mm] &=\ \lsg{\frac{4}{3} \ \text{FE}} \end{aligned}

\begin{aligned} A &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} f(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} x^2-1 \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \left[ \frac{1}{3}x^3-x\right]_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{3}\cdot \col[2]{1}^3-\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{3} \cdot(\col[1]{-1})^3 -(\col[1]{-1}) \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{3}-{1}\right) - \left( -\frac{1}{3}+{1}\right) \right| \\[3mm] &=\ \left| \left( -\frac{2}{3}\right) - \left( \frac{2}{3} \right) \right| \\[3mm] &=\ \left| - \frac{4}{3}\right| \\[3mm] &=\ \lsg{\frac{4}{3} \ \text{FE}} \end{aligned}

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt A = \frac{4}{3} $A = \frac{4}{3}$ Flächeneinheiten.

Achtung: Das Integral ist hier negativ. Wenn aber explizit nach der eingeschlossenen Fläche gefragt ist, musst du den Betrag der Fläche angeben, denn eine Fläche an sich kann niemals negativ sein.

Graph ober- und unterhalb von der \large x $\large x$ -Achse

Aufgabenstellung

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion

f(x)=\frac{1}{2}x^2-1

f(x)=\frac{1}{2}x^2-1

und der x $x$ -Achse auf dem Intervall I[-2;2] $I[-2;2]$ . Runde auf zwei Nachkommastellen.

Lösung

Schiebe den Regler.

Schritte 1 bis 4

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Nullstellen von f(x) $f(x)$ berechnen

Zunächst berechnest du von der Funktion f(x) $f(x)$ die Nullstellen.

\begin{aligned} f(x) &= 0 \\[1mm] \frac{1}{2}x^2-1 &= 0 && \qquad |+1 \\[1mm] \frac{1}{2}x^2 &= 1 && \qquad |\cdot 2 \\[1mm] x^2 &= 2 && \qquad | \sqrt{\square} \end{aligned}

\begin{aligned} f(x) &= 0 \\[1mm] \frac{1}{2}x^2-1 &= 0 && \qquad |+1 \\[1mm] \frac{1}{2}x^2 &= 1 && \qquad |\cdot 2 \\[1mm] x^2 &= 2 && \qquad | \sqrt{\square} \end{aligned}

\implies \col[3]{x_1=-\sqrt{2}},\quad\col[4]{x_2=\sqrt{2}}

\implies \col[3]{x_1=-\sqrt{2}},\quad\col[4]{x_2=\sqrt{2}}

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Liegen Nullstellen im Intervall I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}] $I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}]$ ?

Nun überprüfst du, ob die Nullstellen \col[3]{x_1=-\sqrt{2}} $\col[3]{x_1=-\sqrt{2}}$ und \col[4]{x_2=\sqrt{2}} $\col[4]{x_2=\sqrt{2}}$ in dem Intervall I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}] $I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}]$ liegen.

Mit

\col[3]{x_1=-\sqrt{2}\approx-1,41}

\col[3]{x_1=-\sqrt{2}\approx-1,41}

und

\col[4]{x_2=\sqrt{2}\approx1,41}

\col[4]{x_2=\sqrt{2}\approx1,41}

liegen die Nullstellen in dem Intervall I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}] $I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}]$ . Somit kannst du nun abschnittsweise zwischen den Nullstellen integrieren.

\fcolorbox{grey}{grey}{3} $\fcolorbox{grey}{grey}{3}$ Integralgrenzen festlegen

Im vorletzten Schritt legst du die Integralgrenzen fest.

In diesem Fall besteht das Integral A $A$ aus drei Teilflächen: A_1 $A_1$ , A_2 $A_2$ und A_3 $A_3$ .

Du integrierst in dem Intervall I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}] $I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}]$ somit von Nullstelle zu Nullstelle:

\begin{aligned} &\qquad \bold{\cdot} A_1 = \ \left| \int \limits_{\col[1]{-2}}^{\col[3]{-\sqrt{2}}} f(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &\qquad \bold{\cdot} A_2 = \ \left| \int \limits_{\col[3]{-\sqrt{2}}}^{\col[4]{\sqrt{2}}} f(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &\qquad \bold{\cdot} A_3 = \ \left| \int \limits_{\col[4]{\sqrt{2}}}^{\col[2]{2}} f(x) \ \text{d}x \right| \end{aligned}

\begin{aligned} &\qquad \bold{\cdot} A_1 = \ \left| \int \limits_{\col[1]{-2}}^{\col[3]{-\sqrt{2}}} f(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &\qquad \bold{\cdot} A_2 = \ \left| \int \limits_{\col[3]{-\sqrt{2}}}^{\col[4]{\sqrt{2}}} f(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &\qquad \bold{\cdot} A_3 = \ \left| \int \limits_{\col[4]{\sqrt{2}}}^{\col[2]{2}} f(x) \ \text{d}x \right| \end{aligned}

\fcolorbox{grey}{grey}{4} $\fcolorbox{grey}{grey}{4}$ Integral berechnen

Du kannst nun dein Integral berechnen, indem du abschnittsweise integrierst. Achte dabei wieder darauf, die Betragsstriche zu setzen.

\begin{aligned} A &=\ A_1+A_2+A_3 \\ &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-2}}^{\col[3]{-\sqrt{2}}} f(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{-\sqrt{2}}}^{\col[4]{\sqrt{2}}} f(x) \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{\sqrt{2}}}^{\col[2]{2}} f(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-2}}^{\col[3]{-\sqrt{2}}} \frac{1}{2}x^2-1 \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{-\sqrt{2}}}^{\col[4]{\sqrt{2}}} \frac{1}{2}x^2-1 \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{\sqrt{2}}}^{\col[2]{2}} \frac{1}{2}x^2-1 \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \left[ \frac{1}{6}x^3-x\right]_{\col[1]{-2}}^{\col[3]{-\sqrt{2}}} \right| + \left| \left[ \frac{1}{6}x^3-x\right]_{\col[3]{-\sqrt{2}}}^{\col[4]{\sqrt{2}}} \right| + \left| \left[\frac{1}{6}x^3-x\right]_{\col[4]{\sqrt{2}}}^{\col[2]{2}} \right|\\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{6}\cdot(\col[3]{-\sqrt{2}})^3-(\col[3]{-\sqrt{2}})\right) - \left( \frac{1}{6}\cdot(\col[1]{-2})^3-(\col[1]{-2})\right) \right| \\[3mm] & \qquad + \left| \left( \frac{1}{6}\cdot\col[4]{\sqrt{2}}^3-\col[4]{\sqrt{2}}\right) - \left( \frac{1}{6}\cdot(\col[3]{-\sqrt{2}})^3-(\col[3]{-\sqrt{2}})\right) \right| \\[3mm] & \qquad + \left| \left(\frac{1}{6}\cdot\col[2]{2}^3-\col[2]{2}\right) - \left( \frac{1}{6}\cdot(\col[4]{\sqrt{2}})^3-\col[4]{\sqrt{2}}\right) \right| \\[3mm] &\approx \ \left| 0,28 \right| + \left| -1,89\right| + \left| 0,28\right|\\[3mm] &= 0,28 + 1,89+ 0,28\\[3mm] &=\ \lsg{2,45 \ \text{FE}} \end{aligned}

\begin{aligned} A &=\ A_1+A_2+A_3 \\ &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-2}}^{\col[3]{-\sqrt{2}}} f(x) \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{-\sqrt{2}}}^{\col[4]{\sqrt{2}}} f(x) \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{\sqrt{2}}}^{\col[2]{2}} f(x) \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \int \limits_{\col[1]{-2}}^{\col[3]{-\sqrt{2}}} \frac{1}{2}x^2-1 \ \text{d}x \right| + \ \left| \int \limits_{\col[3]{-\sqrt{2}}}^{\col[4]{\sqrt{2}}} \frac{1}{2}x^2-1 \ \text{d}x \right| \ + \left| \int \limits_{\col[4]{\sqrt{2}}}^{\col[2]{2}} \frac{1}{2}x^2-1 \ \text{d}x \right| \\[3mm] &=\ \left| \left[ \frac{1}{6}x^3-x\right]_{\col[1]{-2}}^{\col[3]{-\sqrt{2}}} \right| + \left| \left[ \frac{1}{6}x^3-x\right]_{\col[3]{-\sqrt{2}}}^{\col[4]{\sqrt{2}}} \right| + \left| \left[\frac{1}{6}x^3-x\right]_{\col[4]{\sqrt{2}}}^{\col[2]{2}} \right|\\[3mm] &=\ \left| \left( \frac{1}{6}\cdot(\col[3]{-\sqrt{2}})^3-(\col[3]{-\sqrt{2}})\right) - \left( \frac{1}{6}\cdot(\col[1]{-2})^3-(\col[1]{-2})\right) \right| \\[3mm] & \qquad + \left| \left( \frac{1}{6}\cdot\col[4]{\sqrt{2}}^3-\col[4]{\sqrt{2}}\right) - \left( \frac{1}{6}\cdot(\col[3]{-\sqrt{2}})^3-(\col[3]{-\sqrt{2}})\right) \right| \\[3mm] & \qquad + \left| \left(\frac{1}{6}\cdot\col[2]{2}^3-\col[2]{2}\right) - \left( \frac{1}{6}\cdot(\col[4]{\sqrt{2}})^3-\col[4]{\sqrt{2}}\right) \right| \\[3mm] &\approx \ \left| 0,28 \right| + \left| -1,89\right| + \left| 0,28\right|\\[3mm] &= 0,28 + 1,89+ 0,28\\[3mm] &=\ \lsg{2,45 \ \text{FE}} \end{aligned}

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt circa A = 2,45 $A = 2,45$ Flächeneinheiten.

\fcolorbox{grey}{grey}{5} $\fcolorbox{grey}{grey}{5}$ Flächenbilanz

In einer weiterführenden Aufgabe könnte im Gegensatz zur Gesamtfläche auch nach der Flächenbilanz in dem gleichen Intervall gefragt werden.

Diese Flächenbilanz berechnest du einfach immer, indem du einfach das Integral über das gesamte Intervall ausrechnest.

\begin{aligned} &\int\limits_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^2-1 \ \text{d} x=\left[\frac{1}{6}x^3-x\right]_{-2}^2 \\[3mm] &= \frac{1}{6}\cdot \col[2]2^3-\col[2]2-\left(\frac{1}{6}\cdot \col[2]{(-2)}^3-\col[2]{(-2)}\right) \\[3mm] &=-\frac{4}{3} \approx -1,33 \end{aligned}

\begin{aligned} &\int\limits_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^2-1 \ \text{d} x=\left[\frac{1}{6}x^3-x\right]_{-2}^2 \\[3mm] &= \frac{1}{6}\cdot \col[2]2^3-\col[2]2-\left(\frac{1}{6}\cdot \col[2]{(-2)}^3-\col[2]{(-2)}\right) \\[3mm] &=-\frac{4}{3} \approx -1,33 \end{aligned}

Schiebe den Regler nach rechts.

Flächenbilanz

Fläche zwischen Graph und \huge{x} $\huge{x}$ -Achse Zusammenfassung

Wenn du die gesamt eingeschlossene Fläche zwischen einem Graphen und der x $x$ -Achse bestimmen möchtest, musst du schrittweise vorgehen:

\begin{aligned} &\fcolorbox{grey}{grey}{1} \ \textsf{Nullstellen von}\ f(x)\ \textsf{berechnen} \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{2} \ \textsf{Liegen Nullstellen im Intervall}\ I [\col[1]{a}; \col[2]{b}] ? \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{3} \ \textsf{Integralgrenzen festlegen} \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{4} \ \textsf{Integral abschnittsweise berechnen} \end{aligned}

\begin{aligned} &\fcolorbox{grey}{grey}{1} \ \textsf{Nullstellen von}\ f(x)\ \textsf{berechnen} \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{2} \ \textsf{Liegen Nullstellen im Intervall}\ I [\col[1]{a}; \col[2]{b}] ? \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{3} \ \textsf{Integralgrenzen festlegen} \\[2mm] &\fcolorbox{grey}{grey}{4} \ \textsf{Integral abschnittsweise berechnen} \end{aligned}

Präge dir dieses Vorgehen möglichst gut ein. Wann immer du die gesamt eingeschlossene Fläche eines Graphen, der sowohl oberhalb und unterhalb der x $x$ -Achse verläuft, berechnen musst, kannst du dieses Vorgehen anwenden.

Nächstes Thema:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Fläche zwischen Funktionsgraph und Achse

Fläche zwischen Funktionsgraph und \huge{x} $\huge{x}$ -Achse einfach erklärt

Fläche zwischen Funktionsgraph und \Large{x} $\Large{x}$ -Achse Definition

Erklärung

Graph ober- oder unterhalb von \large x $\large x$ -Achse

Vorgehensweise

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Integralgrenzen festlegen

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Integral berechnen

Graph ober- und unterhalb von \large x $\large x$ -Achse

Vorgehensweise

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Nullstellen von f(x) $f(x)$ berechnen

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Liegen Nullstellen im Intervall I [\col[1]{a}; \col[2]{b}] $I [\col[1]{a}; \col[2]{b}]$ ?

\fcolorbox{grey}{grey}{3} $\fcolorbox{grey}{grey}{3}$ Integralgrenzen festlegen

\fcolorbox{grey}{grey}{4} $\fcolorbox{grey}{grey}{4}$ Integral abschnittsweise berechnen

Beispiele

Fläche unterhalb der \large x $\large x$ -Achse

Aufgabenstellung

Lösung

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Integralgrenzen festlegen

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Integral berechnen

Graph ober- und unterhalb von der \large x $\large x$ -Achse

Aufgabenstellung

Lösung

\fcolorbox{grey}{grey}{1} $\fcolorbox{grey}{grey}{1}$ Nullstellen von f(x) $f(x)$ berechnen

\fcolorbox{grey}{grey}{2} $\fcolorbox{grey}{grey}{2}$ Liegen Nullstellen im Intervall I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}] $I [\col[1]{-2}; \col[2]{2}]$ ?

\fcolorbox{grey}{grey}{3} $\fcolorbox{grey}{grey}{3}$ Integralgrenzen festlegen

\fcolorbox{grey}{grey}{4} $\fcolorbox{grey}{grey}{4}$ Integral berechnen

\fcolorbox{grey}{grey}{5} $\fcolorbox{grey}{grey}{5}$ Flächenbilanz

Fläche zwischen Graph und \huge{x} $\huge{x}$ -Achse Zusammenfassung

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Vorgehensweise

\fcolorbox{grey}{grey}{1}1\fcolorbox{grey}{grey}{1}1​ Nullstellen von f(x)f(x)f(x)f(x) berechnen

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\fcolorbox{grey}{grey}{3}3\fcolorbox{grey}{grey}{3}3​ Integralgrenzen festlegen

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Aufgabenstellung

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