Lineare Funktionen

Lineare Funktionen kommen in der Oberstufe fast in jeder Klausur vor und sind die absolute Grundlage, um sämtliche anderen Funktionen zu verstehen. Doch keine Angst: simpleclub ist zur Stelle und erklärt dir alles Schritt für Schritt. Von den Grundlagen bis zu Beispielaufgaben nehmen wir dich an die Hand, sodass die lineare Funktion ein Kinderspiel für dich wird!

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine Funktion 1. Grades, also eine Gerade.

y = m * x + c

m = Steigung

c = Schnittstelle mit y-Achse

H2 Lineare Funktionen: Erklärung

Lineare Funktionen sind nichts anderes als Geraden im Koordinatensystem. Wenn du dir so ne Gerade genauer anguckst, fällt dir bestimmt auf, dass sie immer die gleiche Steigung hat. Anders als bei Funktionen 2. oder höheren Grades ist die Funktion 1. Grades in ihrer Steigung konstant. So kann man die Steigung auch direkt in der allgemeinen Formeln nachlesen:

y = m * x + c

m ist dabei immer die Steigung und c der Punkt wo die Gerade mit der y-Achse schneidet. Gucken wir uns das mal genauer an:

Nehmen wir die Funktion f(x) = 2x + 4

Btw: y und f(x) bedeutet genau dasselbe. Lass dich davon nicht verwirren.

Bei dieser Funktion ist die Steigung m = 2, was man natürlich direkt von der Funktionsgleichung ablesen kann. Aber: Man kann sie auch an dem Graphen ablesen. Wie viel gehst du pro x-Wert, den du nach rechts gehst, nach oben oder unten? Wenn du bei einer Einheit nach rechts 2 nach oben gehst, dann weißt du, die Steigung ist 2. Würdest du 3 nach oben gehen, dann wäre die Steigung entsprechend 3. Würdest du 2 nach unten gehen, dann natürlich -2.

=> Die Steigung der Funktion ist m = 2

Und du siehst schon: Der Graph schneidet die Y-Achse im Punkt 4. C muss also 4 sein. Das kannst du auch ganz einfach dadurch begründen, dass das Ganze ja der y-Wert an der Stelle x = 0 ist. Setzt du für x = 0 in die Gleichung ein, bleibt nur noch die 4 stehen:

f(0) = 2 * 0 + 4

= 4

=> Der Graph der Funktion f(x) = 2x + 4 schneidet die y-Achse im Punkt (0/4).

Merke: Punkte werden immer in der Form (x-Wert/y-Wert) dargestellt.

Lineare Funktionen berechnen - wie geht das?

Aber wie stellt man jetzt selber so ne Gerade auf?

Wenn du lineare Funktionen berechnen willst, gibt es ganz klare Regeln, wie du vorgehen kannst:

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Geraden aufstellen

Wenn du zwei Punkte A und B gegeben hast und dadurch eine Gerade aufstellen willst, dann musst du natürlich m und c herausfinden.

A(xA/yA)

B(xB/yB)

Schritt 1: Steigung m berechnen

Und wie findest du m raus? Genauso wie wir es eben gemacht haben: Wie viel gehst du pro Einheit nach rechts nach oben oder unten?

Auf schlau kann man das Ganze auch so schreiben:

m = \frac{Δy}{Δx}=\frac{y_{B}-y_{A} ‍}{x_{B}-x_{A}}

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Sieht jetzt erstmal krasser aus als es ist. Damit berechnest du einfach wie stark der Graph zwischen den beiden Punkten ansteigt. Also wie groß m ist.

Hier musst du dann nur noch deine Punkte einfügen und du findest m heraus.

Schritt 2: Schnittstelle mit y-Achse c berechnen

Das ist jetzt gar nicht mal so schwierig. Du setzt einfach m und einen der Punkte in die Ursprungsgleichung ein und löst nach c auf:

yA = m*xA + c

Schritt 3: Gerade aufstellen

Jetzt kannst du die Ursprungsgleichung mit c vervollständigen.

Beispiel

Stelle eine Gerade aus den Punkte P und Q auf!

P(1 / -2)

Q(3 / 5)

Schritt 1: Steigung m berechnen

m = \frac{Δy}{Δx}=\frac{y_{B}-y_{A} ‍}{x_{B}-x_{A}} = \frac{5-(-2)}{3-1} = 7/2

Schritt 2: Schnittstelle mit y-Achse c berechnen

y = 7/2*x + c

Setze P oder Q in die Gleichung ein:

-> -2 = 7/2 + c  | - 7/2

-> c = - 11/2

Schritt 3: Gerade aufstellen

y = 7/2x - 11/2

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Geraden einzeichnen

Wenn du eine Funktionsgleichung für eine lineare Funktion hast und die Gerade jetzt einzeichnen willst, dann musst du folgendermaßen vorgehen

Gucke dir zunächst deine Schnittstelle mit der y-Achse an und markiere dir diese Stelle.

Von dort aus erstellst du mit der Steigung m ein Steigungsdreieck.

Schreibe die dir Steigung dafür als Bruch auf:

0,4 ist das gleiche wie ⅖

4 ist das gleiche wie 4/1

Dann gehst du von der Schnittstelle aus so viele Einheiten nach rechts, wie der Nenner anzeigt und so viele Einheiten nach oben (positiv) oder unten (negativ) wie der Zähler anzeigt.

Markiere den entstehenden Punkt und zeichne durch ihn und die Schnittstelle deine fertige Gerade.

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Nullstellen bestimmen

Wenn du eine Funktionsgleichung für eine lineare Funktion hast und dafür die Nullstellen bestimmen willst , dann musst du folgendermaßen vorgehen:

Als Beispiel überprüfst du folgenden Funktion:

f(x) = 2x + 4

Möchtest du die Nullstelle einer solchen Funktion bestimmen, setzt du zunächst den Funktionswert (y-Wert) gleich Null.

y = f(x) = 0

Du musst als die folgende Gleichung lösen und nach x umstellen:

0 = 2x + 4  | -4

-> -4 = 2x   | : 2

-> -2 = x

=> x0 = -2

Die Nullstelle liegt also bei x0 = -2. Für den Nullpunkt P0 ergänzt du noch den y-Wert mit y0 = 0.

-> P0 (x0 / y0 )

-> P0 (-2  / 0 )

Für die Anzahl von Nullstellen gibt es bei linearen Funktion 3 Möglichkeiten:

1. Eine Nullstelle (m ≠ 0)

-> keine konstante Funktion mit einer Steigung (wie im Beispiel)

2. keine Nullstelle (m = 0 und c ≠ 0)

-> konstante Funktion (auch Funktion 0. Grades genannt), die nur einen Funktionswert annimmt: f(x) = c

3. unendlich viele Nullstellen (m = 0 und c = 0)

-> konstante Funktion auf der x-Achse: f(x) = 0

Konstante Funktion: Eine konstante Funktion oder auch Funktion 0. Grades ist eine Funktion, die nur einen Funktionswert annimmt.

f(x) = c (ceR)

Beispiel (einfach)

Bestimme die Nullstellen der folgenden linearen Funktion:

f(x) = y = 2x - 6

Lösung:

Zuerst musst du natürlich f(x) = 0 setzen:

f(x) = 0

-> 0 = 2x - 6  | +6

-> 6 = 2x        | : 2

-> 3 = x

-> x0 = 3

Damit ist x0=3 die Nullstelle. Für den Nullpunkt folgt dann also:

-> P0 (3/0)

Beispiel (schwierig)

Bestimme die Nullstellen der folgenden linearen Funktion:

f(x) = y = 2/3x + 5/9

Lösung:

Zuerst musst du natürlich f(x) = 0 setzen:

f(x) = 0

-> 0 = 2/3x + 5/9   | -5/9

-> -5/9 = 2/3x        | : ⅔

-> (-5/9) : (⅔) = x

-> (-5/9) * 3/2 = x

-> - 15/18 = x

-> - ⅚ = x

-> x0 = - ⅚  ≈ -0,83

Damit ist x0 ≈ -0,83 die Nullstelle. Für den Nullpunkt folgt dann also:

-> P0 (-0,83/0)

Geraden schneiden

Wenn du zwei Geraden gegeben hast und davon den Schnittpunkt ausrechnen musst, dann musst du die beiden Geraden gleichsetzen und n nach x auflösen.

Gegeben sind die Geraden g und h.

Schritt 1: Geraden gleichsetzen

Setze g = h und damit y = y

Schritt 2: Nach x umstellen

Schritt 3: x = irgendwas in eine der Geraden einsetzen und y erhalten

Schritt 4: Schnittpunkt aufstellen

Beispiel 1

Berechne den Schnittpunkt der Geraden g und h.

g(x) = y = 3x - 4

h(x) = y = -2x + 3

Schritt 1: Geraden gleichsetzen

Setze g=h

3x - 4 = - 2x + 3

Schritt 2: Nach x umstellen

3x - 4 = -2x + 3| + 2x

5x - 4 = 3| + 4

5x = 7| : 5

x = 7/5

Schritt 3: x = irgendwas in eine der Geraden einsetzen und y erhalten

x = 7/5 in g

-> y = 3 * 7/5 - 4

-> y = ⅕

Schritt 4: Schnittpunkt aufstellen

-> S(7/5, ⅕)

H4 Beispiel 2

Berechne den Schnittpunkt der Geraden g und h.

g(x) = y = 3x - 2

h(x) = y = 3x + 1

Schritt 1: Geraden gleichsetzen

Setze g=h

3x - 2 = 3x + 1

Schritt 2: Nach x umstellen

3x - 2 = 3x + 1  | - 3x

-> -2 = 1 f.A.

Die Geraden haben keinen Schnittpunkt, sondern verlaufen parallel.

H2 Lerntipps Lineare Funktionen

Lineare Funktion kommen in der Oberstufe in fast jeder Klausur vor. Außerdem bauen die meisten Themen in Analysis auf lineare Funktionen auf. Erst, wenn du die Funktion q1. Grades richtig verstanden hast, wirst du auch Funktionen höheren Grades verstehen. Je besser und schneller du also mit linearen Funktionen rechnen kannst, desto leichter wirst du dir auch bei anderen Themen und in deinen Klausuren tun.

H3 Wie wirst du also zum Profi in linearen Funktionen?

Üben! Üben! Üben!

Bei simpleclub unlimited haben wir dir für alles rund um lineare Funktionen Aufgaben und Übungen erstellt, mit denen du zum absoluten Profi in Sachen lineare Funktionen wirst!

Wir bieten dir alles, was du zur perfekten Vorbereitung für deine Prüfungen brauchst. Von den Grundlagen bis zum Aufstellen und Einzeichnen von Geraden, der Berechnung von Nullstellen und Schnittpunkten bis zu Tangentengleichungen.

Außerdem zeigen wir dir auch Anwendungsbeispiele von linearen Funktionen, zum Beispiel wie du Ableitungen einzeichnest oder Tangentengleichungen bestimmst.

Zu allen Themen gibt es interaktive Übungsaufgaben. Die fangen erst leicht an und werden dann immer schwerer. Du musst selbst Geraden aufstellen, Nullstelle bestimmen, Schnittpunkte berechnen und Tangentengleichungen aufstellen.

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So bist du perfekt trainiert und vorbereitet auf deine nächste Prüfung.

Und das ohne Stress und mit Spaß an der Sache.

So machen wir dich Schritt für Schritt zum Profi in linearen Funktionen!  

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