Natürliche Logarithmusfunktion

Hast du im Matheunterricht gerade das Thema Analysis und beschäftigst dich mit verschiedenen Funktion?

Dann begegnet dir sicherlich auch die natürliche Logarithmusfunktion.

Was ist das für eine besondere Funktion? Wie sieht sie aus und was für Besonderheiten hat sie?

Die Antwort hat simpleclub für dich!


Logarithmusfunktion einfach erklärt

Die natürliche Logarithmusfunktion ist eine der wichtigsten Funktionen der Oberstufe.

Sie hat die folgende Form:

f(x) = \ln(x)f(x)=ln(x)f(x) = \ln(x)
Tippe den Schalter.

In der Animation kannst du den prinzipiellen Verlauf der \ln(x)ln(x)\ln(x) Funktion sehen. Diesen Verlauf solltest du dir im Kopf behalten, denn er hilft dir bei sehr vielen Aufgaben.

Definition natürliche Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

Sie hat die Folgende Form:

f(x) = \ln(x) f(x)=ln(x)f(x) = \ln(x)

Erklärung

Verlauf

Den prinzipiellen Verlauf der \lnln\ln-Funktion solltest du dir gut einprägen. Du kannst die gezeichnete Funktion in der Abbildung sehen.

Tippe auf den Schalter.

Wenn du den Button in der Animation drückst, siehst du einen Pfeil, der den Graphen entlang wandert. Dieser Pfeil zeigt dir, dass die Funktion \ln(x)ln(x)\ln(x) streng monoton steigend ist.

Auch wenn die Steigung immer weiter abnimmt, bleibt sie dennoch immer positiv.

Das bedeutet auch für das Verhalten sehr großer x-Werte:

\lim_{x \to \infty} \ln(x) = + \inftylimxln(x)=+\lim_{x \to \infty} \ln(x) = + \infty

Nullstelle

Argument

Bei der \ln(x)ln(x)\ln(x)-Funktion ist das Argument das, was in der Klammer der \lnln\ln-Funktion steht.

Beispiel 111:

f(x) = \ln(\col[1]{\underbrace{x}_{\textsf{Argument}}})f(x)=ln(xArgument)f(x) = \ln(\col[1]{\underbrace{x}_{\textsf{Argument}}})

Beispiel 222:

f(x) = \ln(\col[1]{\underbrace{x+1}_{\textsf{Argument}}})f(x)=ln(x+1Argument)f(x) = \ln(\col[1]{\underbrace{x+1}_{\textsf{Argument}}})

Nullstelle berechnen

Die Logarithmusfunktion ist immer dann 000, wenn das Argument des Logarithmus gleich 111 ist. Das kannst du in der Animation sehen.

Tippe auf den Schalter.

Um die Nullstelle zu berechnen, musst du also das Argument gleich 111 setzen.

Beispiel

f(x) = \ln\col[1]{\underbrace{(x+2)}_{\textsf{Argument}}}f(x)=ln(x+2)Argumentf(x) = \ln\col[1]{\underbrace{(x+2)}_{\textsf{Argument}}}

Um die Nullstelle zu berechnen, musst du das Argument gleich 111 setzen.

\begin{aligned} \col[1]{x+2} &= 1 \qquad \qquad |-2 \\x &=1-2 \\x &= -1 \end{aligned}x+2=12x=12x=1\begin{aligned} \col[1]{x+2} &= 1 \qquad \qquad |-2 \\x &=1-2 \\x &= -1 \end{aligned}

Die Nullstelle ist also bei x = -1x=1x = -1. Das kannst du auch in dem gezeichneten Graphen sehen.

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Definitionsbereich

In einer Logarithmusfunktion darf im Argument niemals eine negative Zahl oder eine 000 stehen. Das ist mathematisch verboten.

Deshalb gilt für die Funktion:

f(x) = \ln(x) f(x)=ln(x)f(x) = \ln(x) \implies \mathbb{D} = \R^+D=R+ \implies \mathbb{D} = \R^+

Um den Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion zu bestimmen, gibt es ein einfaches Vorgehen.

Schauen wir uns das direkt an einem Beispiel an:

Bestimmme den Definitionsbereich der Funktion f(x) =\ln(x-2)f(x)=ln(x2)f(x) =\ln(x-2).

Schritt 1: Bestimme das Argument der \lnln\ln-Funktion.

\implies \ln(\underbrace{\col[1]{x-2}}_{\col[1]{\textsf{Argument}}})ln(x2Argument)\implies \ln(\underbrace{\col[1]{x-2}}_{\col[1]{\textsf{Argument}}})

Schritt 2: Setze das Argument größer als 000.

\implies \col[1]{x-2} >0x2>0\implies \col[1]{x-2} >0

Schritt 3: Löse nach xxx auf.

\implies \col[1]{x-2}>0 \qquad |+2x2>0+2\implies \col[1]{x-2}>0 \qquad |+2

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>2x>2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>2

Schritt 4: Leite aus dem Ergebnis den Definitionsbereich ab.

xxx soll größer als 222 sein, also ist der Definitionsbereich

\implies \mathbb{D} = ]2;+\infty[D=]2;+[\implies \mathbb{D} = ]2;+\infty[

Wertebereich

Der Wertebereich der \lnln\ln-Funktion ist \mathbb{W} = \RW=R\mathbb{W} = \R.

Denn an der yyy-Achse läuft die Funktion gegen - \infty- \infty, während sie für immer größer werdende xxxauch immer größer wird.

Es gilt:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 0^+} &\ln(x) &= -\infty \\ &\lim_{x \to +\infty} &\ln(x) & = +\infty \end{aligned}limx0+ln(x)=limx+ln(x)=+\begin{aligned} &\lim_{x \to 0^+} &\ln(x) &= -\infty \\ &\lim_{x \to +\infty} &\ln(x) & = +\infty \end{aligned}

Definitions- und Wertebereich kannst du auch wieder gut anhand des Graphen sehen.

Tippe auf den Schalter.
  • Die \lnln\ln-Funktion ist nur für positive xxx-Werte gezeichnet \implies \mathbb{D} = \R^+D=R+\implies \mathbb{D} = \R^+

  • Die Werte erstrecken sich über die gesamte yyy-Achse \implies \mathbb{W} = \RW=R\implies \mathbb{W} = \R

Ableitung

Die Ableitung der \lnln\ln-Funktion ist eine festgelegte Regel. Es gilt:

\begin{aligned} f(x) &= \ln(x) \\ f'(x) &= \frac{1}{x} \end{aligned}f(x)=ln(x)f(x)=1x\begin{aligned} f(x) &= \ln(x) \\ f'(x) &= \frac{1}{x} \end{aligned}

Wenn die Logarithmusfunktion mit einer anderen Funktion verknüpft ist, dann musst du die Kettenregel anwenden.

Mit der Kettenregel kannst du die Ableitung von zwei zusammengesetzten (verketteten) Funktionen bestimmen.

f(x)= h(g(x))f(x)=h(g(x))f(x)= h(g(x))f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)f(x)=h(g(x))g(x)f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)

Schauen wir uns dazu direkt ein Beispiel an.

\begin{aligned} f(x) &= \ln(\col[1]{x^2+2}) \\ f'(x) &=\frac{1}{\col[1]{x^2+2}} \cdot \col[2]{2x} \end{aligned}f(x)=ln(x2+2)f(x)=1x2+22x\begin{aligned} f(x) &= \ln(\col[1]{x^2+2}) \\ f'(x) &=\frac{1}{\col[1]{x^2+2}} \cdot \col[2]{2x} \end{aligned}

Stammfunktion

Die Stammfunktion des Logarithmus musst du auch nach einer festen Regel bilden. Diese lautet:

\int \ln(x) \ \text{d}x = -x+x \cdot \ln(x)ln(x) dx=x+xln(x)\int \ln(x) \ \text{d}x = -x+x \cdot \ln(x)

Umkehrfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = \e^xf(x)=exf(x) = \e^x. Wenn du die \ee\e-Funktion also an der Winkelhalbierenden des 1.1.1. Quadranten spiegelst, erhältst du die \lnln\ln-Funktion

Drücke die Button.

Beispiele

Logarithmusfunktion verschieben

In der folgenden Animation kannst du sehen, wie man die Logarithmusfunktion nach rechts und links schieben kann durch Veränderung des Arguments. Dementsprechend ändert sich natürlich auch die Nullstelle sowie der Definitionsbereich.

Verschiebe den Regler.

Nullstelle berechnen

Kannst du die Nullstelle der Funktion f(x) = \ln(x+2 )f(x)=ln(x+2)f(x) = \ln(x+2 ) bestimmen.

Lösung

Die \lnln\ln-Funktion ist immer dann 000, wenn das Argument 111 ist.

In diesem Fall ist das Argument der Logarithmusfunktion (x+2)(x+2)(x+2), denn es gilt:

f(x) = \ln\col[1]{\underbrace{(x+2)}_{\textsf{Argument}}}f(x)=ln(x+2)Argumentf(x) = \ln\col[1]{\underbrace{(x+2)}_{\textsf{Argument}}}

Du musst also immer das Argument gleich 111setzen.

\begin{aligned} \col[1]{x+2} &= 1 \qquad \qquad |-2 \\x &=1-2 \\x &= -1 \end{aligned}x+2=12x=12x=1\begin{aligned} \col[1]{x+2} &= 1 \qquad \qquad |-2 \\x &=1-2 \\x &= -1 \end{aligned}

Beispiel Definitionsbereich

Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = \ln(x-3)f(x)=ln(x3)f(x) = \ln(x-3)

Lösung

Bei der Funktion f(x) = \ln(x+3)f(x)=ln(x+3)f(x) = \ln(x+3) könntest du den Definitionsbereich also bestimmen mit:

\begin{aligned} f(x) = \ln(\col[1]{\underbrace{x+3}_{\textsf{Argument}}}) \\ \implies (\col[1]{\underbrace{x+3}_{\textsf{Argument}}}) &>0 \\ x+3 &> 0 \qquad |-3 \\ x&>-3 \end{aligned}f(x)=ln(x+3Argument)(x+3Argument)>0x+3>03x>3\begin{aligned} f(x) = \ln(\col[1]{\underbrace{x+3}_{\textsf{Argument}}}) \\ \implies (\col[1]{\underbrace{x+3}_{\textsf{Argument}}}) &>0 \\ x+3 &> 0 \qquad |-3 \\ x&>-3 \end{aligned}

Du darfst also jede Zahl einsetzen, die größer als -33-3 ist.

\implies \mathbb{D} = ]-3; + \infty[D=]3;+[\implies \mathbb{D} = ]-3; + \infty[

Um den Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion zu berechnen, musst du das Argument der Logarithmusfunktion größer 000 setzen.

Zusammenfassung

Zu der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = \ln(x)f(x)=ln(x)f(x) = \ln(x) solltest du dir folgende Dinge merken.

  • Sie ist streng monton steigend.
  • Die Steigung ist für kleinere Werte als 111 recht groß, nimmt dann aber mit zunehmenden xxx-Werten stark ab, bleibt aber positiv.
  • Sie hat eine Nullstelle bei x= 1x=1x= 1.
  • Ihr Definitionsbereich ist eingeschränkt auf \mathbb{D} = \R ^+D=R+\mathbb{D} = \R ^+, du darfst also nur positive Werte einsetzen.
  • Ihr Wertebereich ist \mathbb{W} = \RW=R\mathbb{W} = \R. Die Funktion erreicht also alle yyy-Werte.
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