Steckbriefaufgaben

Wenn du in Mathe gerade Analysis hast, werden dir bestimmt auch Steckbriefaufgaben begegnen.

Diese Aufgaben sind eine spezielle Form von Textaufgabe. Häufig sind die Aufgaben mit längeren Rechnungen verbunden. Das Gute ist allerdings, dass die Berechnung eigentlich immer nach dem gleichen Schema abläuft, und du Sie deshalb einfach lösen kannst, wenn du die Vorgehensweise einmal verstanden hast.

simpleclub erklärt dir, was Steckbriefaufgaben sind und wie du sie lösen kannst!

Steckbriefaufgaben einfach erklärt

Steckbriefaufgaben laufen eigentlich immer nach dem gleichen Schema ab.

  • Du hast meistens einen Text gegeben, der die Eigenschaften einer Funktion beschreibt.
  • Diese Eigenschaften der Funktion musst du in dem Text finden.
  • Die im Text beschriebenen Eigenschaften lassen sich im Anschluss einer mathematischen Bedeutung zuordnen.
  • Diese mathematische Bedeutung musst du in mathematische Gleichungen übersetzen.
  • Aus diesen Gleichungen kannst du nun durch Auflösen die Funktion eindeutig bestimmen.
  • Besonders heikel ist dabei allerdings, dass aus einer Eigenschaft einer Funktion häufig auch zwei mathematische Bedeutungen und somit zwei mathematische Gleichungen folgen können.

Steckbriefaufgabe Definition

Bei einer Steckbriefaufgabe werden verschiedene Eigenschaften eines Funktionsgraphen vorgegeben. Das Ziel ist es, eine Gleichung der Funktion zu finden, deren Graph die gewünschten Eigenschaften erfüllt.


Vorgehensweise

Um die Funktionsgleichung einer Funktion f(x)f(x)f(x) zu bestimmen, welche die vorgebenen Eigenschaften erfüllt, kannst du schrittweise vorgehen:

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

Im ersten Schritt muss folgende Frage beantwortet werden:

  • Welchen Grad besitzt die ganzrationale Funktion?

In der Aufgabenstellung steht, welchen Grad die Funktion besitzt.

Stellst du nun die allgemeine Funktionsgleichung

f (x) = a_n \cdot x^\col[1]{n} + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + a_{n-2} \cdot x^{n-2} + ... + a_1 \cdot x + a_0f (x) = a_n \cdot x^\col[1]{n} + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + a_{n-2} \cdot x^{n-2} + ... + a_1 \cdot x + a_0

auf, so entspricht der höchste Exponent \large \textsf{\col[1]{n}}n\large \textsf{\col[1]{n}} dem Grad \large \textsf{\col[1]{n}}n\large \textsf{\col[1]{n}} der Funktion f(x)f(x)f(x).

Hier siehst du ein paar Beispiele:

Funktion \textsf{\col[1]{3 .Grades}}3.Grades\textsf{\col[1]{3 .Grades}}:

f (x) = a \cdot x^\col[1]{3} + b \cdot x^2 + c \cdot x + df (x) = a \cdot x^\col[1]{3} + b \cdot x^2 + c \cdot x + d

Funktion \textsf{\col[1]{5 .Grades}}5.Grades\textsf{\col[1]{5 .Grades}}:

f (x) = a \cdot x^\col[1]{5} + b \cdot x^4 + c \cdot x^3 + d \cdot x^2 + e \cdot x + ff (x) = a \cdot x^\col[1]{5} + b \cdot x^4 + c \cdot x^3 + d \cdot x^2 + e \cdot x + f
  • Ist die Funktion eventuell punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?

In diesem Fall kannst du bestimmte Potenzen wegstreichen:

Punktsymmetrisch: Die Funktion weist nur ungerade Exponenten auf.

Achsensymmetrisch: Die Funktion weist nur gerade Exponenten auf.

  • Weist die Funktion ein Extremum oder einen Wendepunkt auf? Ist die Steigung oder die Tangente an einer bestimmten Stelle gegeben?

Ist dies der Fall, musst du die 1. Ableitung und/oder 2. Ableitung von der ganzrationalen Funktion bestimmen.

Schritt 2: Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen

Im nächsten Schritt übersetzt du die gegebenen Informationen aus der Aufgabenstellung in mathematische Gleichungen.

Die folgende Tabelle zeigt dir einige Beispiele:

Bedingung

Formelschreibweise

Funktion fff verläuft durch den Punkt P (\col[2]{x}|\col[3]{y})P(xy)P (\col[2]{x}|\col[3]{y})

f (\col[2]{x})= \col[3]{y}f(x)=yf (\col[2]{x})= \col[3]{y}

fff hat eine Extremstelle bei \col[2]{x_E}xE\col[2]{x_E}

f' (\col[2]{x_E}) = 0f(xE)=0f' (\col[2]{x_E}) = 0

fff hat eine Nullstelle bei \col[2]{x_0}x0\col[2]{x_0}

f (\col[2]{x_0}) = 0f(x0)=0f (\col[2]{x_0}) = 0

Graph von fff schneidet yyy -Achse bei y = \col[3]{y_0}y=y0y = \col[3]{y_0}

f (0) = \col[3]{y_0}f(0)=y0f (0) = \col[3]{y_0}

fff hat eine Wendestelle bei \col[2]{x_W}xW\col[2]{x_W}

f''(\col[2]{x_W}) = 0f(xW)=0f''(\col[2]{x_W}) = 0

fff hat bei \col[2]{x_M}xM\col[2]{x_M} die Steigung \col[4]{m }m\col[4]{m }

f' (\col[2]{x_M}) = \col[4]mf(xM)=mf' (\col[2]{x_M}) = \col[4]m

An der Anzahl an unbekannten Parametern erkennst du, wie viele Bedingungen aufgestellt werden müssen, um die Funktion eindeutig zu bestimmen.

Für eine ganzrationale Funktion 3. Grades gilt beispielsweise:

f (x) = \col[5]{a} \cdot x^3 + \col[5]{b} \cdot x^2 + \col[5]{c} \cdot x + \col[5]{d}f(x)=ax3+bx2+cx+df (x) = \col[5]{a} \cdot x^3 + \col[5]{b} \cdot x^2 + \col[5]{c} \cdot x + \col[5]{d}

\textsf{\col[5]{4 Bedingungen}}4Bedingungen\textsf{\col[5]{4 Bedingungen}} müssen aufgestellt werden

Schritt 3: Aufstellen eines linearen Gleichungssystems

In diesem Schritt setzt du deine Bedingungen jeweils in die allgemeine Funktionsgleichung und ggf. in deren Ableitungen ein.

Du erhältst ein lineares Gleichungssystem.

Beispiel für eine Funktion 3. Grades:

Bedingungen

Lineares Gleichungssystem

P_1 ( \col[1]{1} | \col[1]{2})P1(12)P_1 ( \col[1]{1} | \col[1]{2})
\textit {I.} \ f (\col[1]{1}) = a \cdot \col[1]{1}^3 + b \cdot \col[1]{1}^2 + c\cdot \col[1]{1} + d = \col[1]{2} I.f(1)=a13+b12+c1+d=2\textit {I.} \ f (\col[1]{1}) = a \cdot \col[1]{1}^3 + b \cdot \col[1]{1}^2 + c\cdot \col[1]{1} + d = \col[1]{2}
P_2 ( \col[2]{2} | \col[2]{4})P2(24)P_2 ( \col[2]{2} | \col[2]{4})
\textit {II.} \ f (\col[2]{2}) = a \cdot \col[2]{2}^3 + b \cdot \col[2]{2}^2 + c \cdot \col[2]{2} + d = \col[2]{4} II.f(2)=a23+b22+c2+d=4 \textit {II.} \ f (\col[2]{2}) = a \cdot \col[2]{2}^3 + b \cdot \col[2]{2}^2 + c \cdot \col[2]{2} + d = \col[2]{4}
P_3 ( \col[3]{3} | \col[3]{16})P3(316)P_3 ( \col[3]{3} | \col[3]{16})
\textit {III.} \ f (\col[3]{3}) = a \cdot \col[3]{3}^3 + b \cdot \col[3]{3}^2 + c \cdot \col[3]{3} + d = \col[3]{16} III.f(3)=a33+b32+c3+d=16 \textit {III.} \ f (\col[3]{3}) = a \cdot \col[3]{3}^3 + b \cdot \col[3]{3}^2 + c \cdot \col[3]{3} + d = \col[3]{16}
P_4 ( \col[4]{0} | \col[4]{0})P4(00)P_4 ( \col[4]{0} | \col[4]{0})
\textit {IV.} \ f (\col[4]{0}) = a \cdot \col[4]{0}^3 + b \cdot \col[4]{0}^2 + c \cdot \col[4]{0} + d = \col[4]{0} IV.f(0)=a03+b02+c0+d=0\textit {IV.} \ f (\col[4]{0}) = a \cdot \col[4]{0}^3 + b \cdot \col[4]{0}^2 + c \cdot \col[4]{0} + d = \col[4]{0}

Schritt 4: Lineares Gleichungssystem lösen

Das lineare Gleichungssystem kannst du nun mit dem Gauß-Algorithmus lösen.

Übertrage hierzu die markierten Faktoren aus dem Gleichungssystem in eine Tabellenform und bringe es in die Stufenform.

Gauß-Algorithmus anwenden:

\begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{2}\\ \col[2]{8} & \col[2]{4} & \col[2]{2} & \col[2]{1} & \col[2]{4}\\ \col[3]{27} & \col[3]{9} & \col[3]{3} & \col[3]{1} & \col[3]{16} \\ \col[4]{0} & \col[4]{0} & \col[4]{0} & \col[4]{1} & \col[4]{0} \end{array}abcd1111284214279311600010\begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{2}\\ \col[2]{8} & \col[2]{4} & \col[2]{2} & \col[2]{1} & \col[2]{4}\\ \col[3]{27} & \col[3]{9} & \col[3]{3} & \col[3]{1} & \col[3]{16} \\ \col[4]{0} & \col[4]{0} & \col[4]{0} & \col[4]{1} & \col[4]{0} \end{array}.\\ .\\ . ....\\ .\\ . \begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{2}\\ 0 & \col[2]{-4} & \col[2]{-6} & \col[2]{-7} & \col[2]{-12}\\ 0 & 0 & \col[3]{3} & \col[3]{5,5} & \col[3]{16} \\ 0 & 0 & 0 & \col[4]{1} & \col[4]{0} \end{array}abcd111120467120035,51600010\begin{array}{rrrr|c} a & b & c & d ~ \\ \hline \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{1} & \col[1]{2}\\ 0 & \col[2]{-4} & \col[2]{-6} & \col[2]{-7} & \col[2]{-12}\\ 0 & 0 & \col[3]{3} & \col[3]{5,5} & \col[3]{16} \\ 0 & 0 & 0 & \col[4]{1} & \col[4]{0} \end{array}

Rückübersetzung:

Ist die Stufenform erreicht, kannst du das Gleichungssystem in die ursprüngliche Form überführen und die Parameter berechnen.

Du erhältst:

\begin{aligned} & \longrightarrow \col[1]{a = \frac{5}{3}} \\[1mm] & \longrightarrow \col[2]{b = -5} \\[1mm] & \longrightarrow \col[3]{c = \frac{16}{3}} \\[1mm] & \longrightarrow \col[4]{d = 0} \end{aligned}a=53b=5c=163d=0\begin{aligned} & \longrightarrow \col[1]{a = \frac{5}{3}} \\[1mm] & \longrightarrow \col[2]{b = -5} \\[1mm] & \longrightarrow \col[3]{c = \frac{16}{3}} \\[1mm] & \longrightarrow \col[4]{d = 0} \end{aligned}

Schritt 5: Exakte Funktionsgleichung

Am Ende setzt du die berechneten Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

\begin{aligned} f(x) &= \col[1]{\frac{5}{3}} \cdot x^3 + (\col[2]{-5}) \cdot x^2 + \col[3]{\frac{16}{3}} \cdot x + \col[4]{0} \\[2mm] &= \lsg{\col[1]{\frac{5}{3}} \cdot x^3 \col[2]{-5} \cdot x^2 + \col[3]{\frac{16}{3}} \cdot x} \end{aligned}f(x)=53x3+(5)x2+163x+0=53x35x2+163x\begin{aligned} f(x) &= \col[1]{\frac{5}{3}} \cdot x^3 + (\col[2]{-5}) \cdot x^2 + \col[3]{\frac{16}{3}} \cdot x + \col[4]{0} \\[2mm] &= \lsg{\col[1]{\frac{5}{3}} \cdot x^3 \col[2]{-5} \cdot x^2 + \col[3]{\frac{16}{3}} \cdot x} \end{aligned}

Beispiel

Aufgabenstellung

Der Graph einer ganzrationalen \textsf{\col[1]{Funktion 4. Grades } }Funktion4.Grades\textsf{\col[1]{Funktion 4. Grades } } verläuft \textsf{\col[2]{achsensymmetrisch zur y - Achse}}achsensymmetrischzury-Achse\textsf{\col[2]{achsensymmetrisch zur y - Achse}}. Die Funktion weist außerdem eine \textsf{\col[3]{Nullstelle bei}}Nullstellebei\textsf{\col[3]{Nullstelle bei}} \col[3]{x_0 = 2}x0=2\col[3]{x_0 = 2}, sowie einen \textsf{\col[5]{Hochpunkt }}Hochpunkt\textsf{\col[5]{Hochpunkt }} bei \col[4]{H (1|9)}H(19)\col[4]{H (1|9)} auf.

Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

Lösung

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen

Allgemeine Funktionsgleichung

Die gesuchte Funktion f (x)f(x)f (x) soll den \textsf{\col[1]{Grad 4 } }Grad4\textsf{\col[1]{Grad 4 } } besitzen.

Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen \textsf{\col[1]{Funktion 4. Grades } }Funktion4.Grades\textsf{\col[1]{Funktion 4. Grades } } sieht wie folgt aus:

f (x) = a \cdot x^\col[1]{4} + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x^1 + e f (x) = a \cdot x^\col[1]{4} + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x^1 + e

Nun soll die Funktion f (x)f(x)f (x) jedoch \textsf{\col[2]{achsensymmetrisch zur y - Achse}}achsensymmetrischzury-Achse\textsf{\col[2]{achsensymmetrisch zur y - Achse}} sein.

Die Funktion f (x)f(x)f (x) weist in diesem Fall nur gerade Exponenten auf.

Somit ergibt sich für die allgemeine Funktionsgleichung:

\begin{aligned} f (x) &= a \cdot x^\col[2]{4} + \cancel{b \cdot x^3} + c \cdot x^\col[2]{2} + \cancel{d \cdot x^1} + e \cdot x^\col[2]{0} \\ &= a \cdot x^\textsf{\col[2]{4}} + c \cdot x^\col[2]{2} + e \cdot 1 \\ &= a \cdot x^\textsf{\col[2]{4}} + c \cdot x^\col[2]{2} + e \end{aligned}\begin{aligned} f (x) &= a \cdot x^\col[2]{4} + \cancel{b \cdot x^3} + c \cdot x^\col[2]{2} + \cancel{d \cdot x^1} + e \cdot x^\col[2]{0} \\ &= a \cdot x^\textsf{\col[2]{4}} + c \cdot x^\col[2]{2} + e \cdot 1 \\ &= a \cdot x^\textsf{\col[2]{4}} + c \cdot x^\col[2]{2} + e \end{aligned}
Ableitung

Die gesuchte Funktion weist einen Hochpunkt auf. Um die Bedingung in eine mathematische Gleichung umwandeln zu können, musst du vorab die 1. Ableitung bilden:

\begin{aligned} f(x) &= a \cdot x^4 + c \cdot x^2 + e\\ f' (x) &= 4 \cdot a \cdot x^3 + 2 \cdot c \cdot x \end{aligned}f(x)=ax4+cx2+ef(x)=4ax3+2cx\begin{aligned} f(x) &= a \cdot x^4 + c \cdot x^2 + e\\ f' (x) &= 4 \cdot a \cdot x^3 + 2 \cdot c \cdot x \end{aligned}

Schritt 2: Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen

Schreibe nun alle Bedingungen in Formelschreibweise auf.

Bedingung

Formelschreibweise

Nullstelle bei \col[3]{x_0 = 2}x0=2\col[3]{x_0 = 2}

f (\col[3]{2}) = \col[3]{0}f(2)=0f (\col[3]{2}) = \col[3]{0}

Funktionsgraph verläuft durch den Punkt \col[4]{H (1|9)}H(19)\col[4]{H (1|9)}

f (\col[4]{1}) = \col[4] {9} f(1)=9f (\col[4]{1}) = \col[4] {9}

Hochpunkt bei \col[5]{x_1 = 1}x1=1\col[5]{x_1 = 1}

f' (\col[5]{1}) = \col[5] {0}f(1)=0f' (\col[5]{1}) = \col[5] {0}
ToDo_Illu_30_Punkte

Schritt 3: Aufstellen eines linearen Gleichungssystems

Setze alle Bedingungen jeweils in die allgemeine Funktionsgleichung und deren Ableitungsfunktion ein.

Du erhältst ein lineares Gleichungssystem:

\begin{aligned} & I. \ & f (\col[3]{2}) & = & a \cdot \col[3]{2}^4 & + & c \cdot \col[3]{2}^2 & + & e & = & \col[3]{0} \\ & II.\ & f (\col[4]{1}) & = & a \cdot \col[4]{1}^4 & + & c \cdot \col[4]{1}^2 & + & e & = & \col[4]{9} \\ & III.\ & f'(\col[5]{1}) & = & 4 \cdot a \cdot \col[5]{1}^3 & + & 2 \cdot c \cdot \col[5]{1} & & & = & \col[5]{0} \end{aligned}I.f(2)=a24+c22+e=0II.f(1)=a14+c12+e=9III.f(1)=4a13+2c1=0\begin{aligned} & I. \ & f (\col[3]{2}) & = & a \cdot \col[3]{2}^4 & + & c \cdot \col[3]{2}^2 & + & e & = & \col[3]{0} \\ & II.\ & f (\col[4]{1}) & = & a \cdot \col[4]{1}^4 & + & c \cdot \col[4]{1}^2 & + & e & = & \col[4]{9} \\ & III.\ & f'(\col[5]{1}) & = & 4 \cdot a \cdot \col[5]{1}^3 & + & 2 \cdot c \cdot \col[5]{1} & & & = & \col[5]{0} \end{aligned}

Vereinfache nun die Faktoren.

Ergänze außerdem die Nullen als Vorfaktoren. Das hilft dir im nächsten Schritt das Gleichungssystem zu lösen.

\begin{aligned} & I. \ & \col[3]{16} \cdot a & + \col[3]{4} \cdot c + \col[3]{1} \cdot e = \col[3]{0} \\ & II.\ & \col[4]{1} \cdot a & + \col[4]{1} \cdot c + \col[4]{1} \cdot e = \col[4]{9} \\ & III.\ & \col[5]{4} \cdot a & + \col[5]{2} \cdot c + \col[5]{0} \cdot e = \col[5]{0} \end{aligned}I.16a+4c+1e=0II.1a+1c+1e=9III.4a+2c+0e=0\begin{aligned} & I. \ & \col[3]{16} \cdot a & + \col[3]{4} \cdot c + \col[3]{1} \cdot e = \col[3]{0} \\ & II.\ & \col[4]{1} \cdot a & + \col[4]{1} \cdot c + \col[4]{1} \cdot e = \col[4]{9} \\ & III.\ & \col[5]{4} \cdot a & + \col[5]{2} \cdot c + \col[5]{0} \cdot e = \col[5]{0} \end{aligned}

Schritt 4: Lineares Gleichungssystem lösen

Das lineare Gleichungssystem kann nun mit dem Gauß-Algorithmus gelöst werden.

Übertrage hierzu die markierten Faktoren aus dem Gleichungssystem in eine Tabellenform und bringe es in die Stufenform.

Bemerke: Du kannst das lineare Gleichungssystem auf unterschiedliche Wege lösen. Die folgende Lösung ist nur eine mögliche Vorgehensweise.

Gauß-Algorithmus anwenden:
\begin{array}{rrr|c} a & c & e ~ \\ \hline \col[3]{16} & \col[3]{4} & \col[3]{1} & \col[3]{0}\\ \col[4]{1} & \col[4]{1} & \col[4]{1} & \col[4]{9} & \quad | \textsf{16} \cdot \textsf{II. Zeile} - \textsf{I. Zeile}\\ \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{0} & \col[5]{0} \end{array}ace16410111916II.ZeileI.Zeile4200\begin{array}{rrr|c} a & c & e ~ \\ \hline \col[3]{16} & \col[3]{4} & \col[3]{1} & \col[3]{0}\\ \col[4]{1} & \col[4]{1} & \col[4]{1} & \col[4]{9} & \quad | \textsf{16} \cdot \textsf{II. Zeile} - \textsf{I. Zeile}\\ \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{0} & \col[5]{0} \end{array}\begin{array}{rrr|c} a & c & e ~ \\ \hline \col[3]{16} & \col[3]{4} & \col[3]{1} & \col[3]{0}\\ 0 & \col[4]{12} & \col[4]{15} & \col[4]{144}\\ \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{0} & \col[5]{0} & \quad | \textsf{4} \cdot \textsf{III. Zeile} - \textsf{I. Zeile} \end{array}ace164100121514442004III.ZeileI.Zeile\begin{array}{rrr|c} a & c & e ~ \\ \hline \col[3]{16} & \col[3]{4} & \col[3]{1} & \col[3]{0}\\ 0 & \col[4]{12} & \col[4]{15} & \col[4]{144}\\ \col[5]{4} & \col[5]{2} & \col[5]{0} & \col[5]{0} & \quad | \textsf{4} \cdot \textsf{III. Zeile} - \textsf{I. Zeile} \end{array}\begin{array}{rrr|c} a & c & e ~ \\ \hline \col[3]{16} & \col[3]{4} & \col[3]{1} & \col[3]{0}\\ 0 & \col[4]{12} & \col[4]{15} & \col[4]{144}\\ 0 & \col[5]{4} & \col[5]{-1} & \col[5]{0} & \quad | \textsf{3} \cdot \textsf{III. Zeile} - \textsf{II. Zeile} \end{array}ace164100121514404103III.ZeileII.Zeile\begin{array}{rrr|c} a & c & e ~ \\ \hline \col[3]{16} & \col[3]{4} & \col[3]{1} & \col[3]{0}\\ 0 & \col[4]{12} & \col[4]{15} & \col[4]{144}\\ 0 & \col[5]{4} & \col[5]{-1} & \col[5]{0} & \quad | \textsf{3} \cdot \textsf{III. Zeile} - \textsf{II. Zeile} \end{array}\begin{array}{rrr|c} a & c & e ~ \\ \hline \col[3]{16} & \col[3]{4} & \col[3]{1} & \col[3]{0}\\ 0 & \col[4]{12} & \col[4]{15} & \col[4]{144}\\ 0 & 0 & \col[5]{-18} & \col[5]{-144} \end{array}ace16410012151440018144\begin{array}{rrr|c} a & c & e ~ \\ \hline \col[3]{16} & \col[3]{4} & \col[3]{1} & \col[3]{0}\\ 0 & \col[4]{12} & \col[4]{15} & \col[4]{144}\\ 0 & 0 & \col[5]{-18} & \col[5]{-144} \end{array}
Rückübersetzung:

Die Stufenform ist erreicht. Nun kannst du das Gleichungssystem in die ursprüngliche Form überführen:

\begin{aligned} & \textit {I.} \ & \col[3]{16} \cdot a & + & \col[3]{4} \cdot c & + & \col[3]{1} \cdot e & = & \col[3]{0} \\ & \textit {II.} \ & ~ & & \col[4]{12} \cdot c & + & \col[4]{15} \cdot e & = & \col[4]{144} \\ & \textit {III.} \ & ~ & & ~ & & \col[5]{-18} \cdot e & = & \col[5]{-144} \end{aligned}I.16a+4c+1e=0II.12c+15e=144III.18e=144\begin{aligned} & \textit {I.} \ & \col[3]{16} \cdot a & + & \col[3]{4} \cdot c & + & \col[3]{1} \cdot e & = & \col[3]{0} \\ & \textit {II.} \ & ~ & & \col[4]{12} \cdot c & + & \col[4]{15} \cdot e & = & \col[4]{144} \\ & \textit {III.} \ & ~ & & ~ & & \col[5]{-18} \cdot e & = & \col[5]{-144} \end{aligned}

Bestimme nun schrittweise die Parameter \large \col[3]{a}a\large \col[3]{a}, \large \col[4]{c}c\large \col[4]{c} und \large \col[5]{e}e\large \col[5]{e}.

Fange hierzu mit der III.III.III. Zeile an:

\begin{aligned} \col[5]{-18} \cdot \col[5]{e} &= \col[5]{-144} & \quad | :(-18) \\ \col[5]{e} &= \col[5]{8} \end{aligned}18e=144:(18)e=8\begin{aligned} \col[5]{-18} \cdot \col[5]{e} &= \col[5]{-144} & \quad | :(-18) \\ \col[5]{e} &= \col[5]{8} \end{aligned}

Du erhältst:

\col[5]{e = 8}e=8\col[5]{e = 8}

Setze nun das berechnete \large \col[5]{e = 8}e=8\large \col[5]{e = 8} in die II.II.II.Zeile ein und löse nach \large \col[4]{c}c\large \col[4]{c} auf.

\begin{aligned} \col[4]{12} \cdot \col[4]{c} + \col[4]{15} \cdot \col[5]{e} &= \col[4]{144} \\ \col[4]{12} \cdot \col[4]{c} + \col[4]{15} \cdot \col[5]{8} &= \col[4]{144} \\ \col[4]{12} \cdot \col[4]{c} + 120 &= \col[4]{144} && \quad |-120 \\ \col[4]{12} \cdot \col[4]{c} &= 24 && \quad |:12 \\ \col[4]{c} &= \col[4]{2} \end{aligned}12c+15e=14412c+158=14412c+120=14412012c=24:12c=2\begin{aligned} \col[4]{12} \cdot \col[4]{c} + \col[4]{15} \cdot \col[5]{e} &= \col[4]{144} \\ \col[4]{12} \cdot \col[4]{c} + \col[4]{15} \cdot \col[5]{8} &= \col[4]{144} \\ \col[4]{12} \cdot \col[4]{c} + 120 &= \col[4]{144} && \quad |-120 \\ \col[4]{12} \cdot \col[4]{c} &= 24 && \quad |:12 \\ \col[4]{c} &= \col[4]{2} \end{aligned}

Du erhältst:

\col[4]{c = 2}c=2\col[4]{c = 2}

Als nächstes setzt du das berechnete \large \col[4]{c = 2}c=2\large \col[4]{c = 2} und \large \col[5]{e = 8}e=8\large \col[5]{e = 8} in die I.I.I.Zeile ein und löst die Gleichung nach \large \col[3]{a}a\large \col[3]{a} auf.

\begin{aligned} \col[3]{16} \cdot \col[3]{a} + \col[3]{4} \cdot \col[4]{c} + \col[3]{1} \cdot \col[5]{e} &= \col[3]{0} \\ \col[3]{16} \cdot \col[3]{a} + \col[3]{4} \cdot \col[4]{2} + \col[3]{1} \cdot \col[5]{8} &= \col[3]{0} \\ \col[3]{16} \cdot \col[3]{a} +16 &= \col[3]{0} && \quad |-16 \\ \col[3]{16} \cdot \col[3]{a} &= -16 && \quad |:16 \\ \col[3]{a} &= \col[3]{-1} \end{aligned}16a+4c+1e=016a+42+18=016a+16=01616a=16:16a=1\begin{aligned} \col[3]{16} \cdot \col[3]{a} + \col[3]{4} \cdot \col[4]{c} + \col[3]{1} \cdot \col[5]{e} &= \col[3]{0} \\ \col[3]{16} \cdot \col[3]{a} + \col[3]{4} \cdot \col[4]{2} + \col[3]{1} \cdot \col[5]{8} &= \col[3]{0} \\ \col[3]{16} \cdot \col[3]{a} +16 &= \col[3]{0} && \quad |-16 \\ \col[3]{16} \cdot \col[3]{a} &= -16 && \quad |:16 \\ \col[3]{a} &= \col[3]{-1} \end{aligned}

Du erhältst:

\col[3]{a = -1}a=1\col[3]{a = -1}
Überblick über alle Parameter:
\begin{aligned} & \longrightarrow \col[3]{a = -1} \\ & \longrightarrow \col[4]{c = 2} \\ & \longrightarrow \col[5]{e = 8} \end{aligned}a=1c=2e=8\begin{aligned} & \longrightarrow \col[3]{a = -1} \\ & \longrightarrow \col[4]{c = 2} \\ & \longrightarrow \col[5]{e = 8} \end{aligned}

Schritt 5: Exakte Funktionsgleichung

Setze die Parameter \large \col[3]{a = -1}a=1\large \col[3]{a = -1}, \large \col[4]{c = 2}c=2\large \col[4]{c = 2} und \large \col[5]{e = 8}e=8\large \col[5]{e = 8} in die allgemeine Funktionsgleichung

f(x) = \col[3]{a} \cdot x^4 + \col[4]{c} \cdot x^2 + \col[5]{e}f(x)=ax4+cx2+ef(x) = \col[3]{a} \cdot x^4 + \col[4]{c} \cdot x^2 + \col[5]{e}

ein.

Du erhältst:

\lsg{f(x) = \col[3]{-1} \cdot x^4 + \col[4]{2} \cdot x^2 + \col[5]{8}}f(x)=1x4+2x2+8\lsg{f(x) = \col[3]{-1} \cdot x^4 + \col[4]{2} \cdot x^2 + \col[5]{8}}
Funktionsgraph von f(x)

Steckbriefaufgaben Zusammenfassung

Um eine Steckbriefaufgabe zu lösen, musst du schrittweise die folgenden Dinge anwenden.

  • Schritt 1: Zunächst musst du mithilfe des Textes einmal eine allgemeine Funktionsgleichung und deren allgemeinen Ableitungen bestimmen. Diese allgemeine Funktion und auch deren Ableitungen enthalten verschiedene Unbekannte, die du im Anschluss bestimmen wirst.

  • Schritt 2: Im Text sind verschiedene Eigenschaften der Funktion gegeben, aus denen du verschiedene mathematische Bedingungen ableiten kannst. In diesem Schritt geht es nun darum, diese mathematischen Bedingungen in mathematische Gleichungen zu übersetzen.

  • Schritt 3: Aus den in Schritt 2 bestimmten Gleichungen stellst du nun ein lineares Gleichungssystem auf.

  • Schritt 4: In Schritt 4 geht es darum, dieses lineare Gleichungssystem aufzulösen.

  • Schritt 5: Nachdem du das Gleichungssystem gelöst hast, kannst du in Schritt 5 die exakte Funktionsgleichung angeben.

No items found.

Jetzt unlimited holen!

Mit simpleclub unlimited bekommst du Vollzugang zur App: Du boostest deine Noten, hast mehr Freizeit und gehst sicher in jede Klausur!

Jetzt unlimited holen

Jetzt simpleclub Azubi holen!

Mit simpleclub Azubi bekommst du Vollzugang zur App: Wir bereiten dich in deiner Ausbildung optimal auf deine Prüfungen in der Berufsschule vor. Von Ausbilder*innen empfohlen.

Jetzt simpleclub Azubi holen