Schnittwinkel zwischen Gerade und Gerade

Wenn du dich in Mathe gerade mit Vektorgeometrie beschäftigst, werden dir auch Schnittwinkel begegnen.

Ein Schnittwinkel ist immer der kleinere der beiden Winkel, der sich beim Schnitt ergibt und somit kleiner oder gleich 90°.

Es können sich zum Beispiel zwei Geraden schneiden.

Aber: Wie berechnet man den Schnittwinkel von zwei Geraden?

Die Antwort hat simpleclub!


Schnittwinkel zweier Geraden einfach erklärt

Schnittwinkel zweier Geraden Definition

Für die Berechnung des Schnittwinkels zwischen zwei Geraden benötigst du folgende Formel.

\cos\gamma=\left|\frac{\textcolor{sc_color_1} { \vec{u_1}} \cdot \textcolor{sc_color_2} { \vec{u_2}}}{\left|\textcolor{sc_color_1} { \vec{u_1}}\right| \cdot \left|\textcolor{sc_color_2} { \vec{u_2}}\right|}\right|cosγ=u1u2u1u2\cos\gamma=\left|\frac{\textcolor{#7F7706} { \vec{u_1}} \cdot \textcolor{#0069FC} { \vec{u_2}}}{\left|\textcolor{#7F7706} { \vec{u_1}}\right| \cdot \left|\textcolor{#0069FC} { \vec{u_2}}\right|}\right|\textcolor{sc_color_1}{\vec{u_1} = \text{Richtungsvektor Gerade 1}}u1=Richtungsvektor Gerade 1\textcolor{#7F7706}{\vec{u_1} = \text{Richtungsvektor Gerade 1}}\textcolor{sc_color_2}{\vec{u_2} = \text{Richtungsvektor Gerade 2}}u2=Richtungsvektor Gerade 2\textcolor{#0069FC}{\vec{u_2} = \text{Richtungsvektor Gerade 2}}

Vorgehensweise Schnittwinkel von zwei Geraden berechnen

Es sind folgende zwei Geraden g und f in Parameterform gegeben.

g:\vec{x}=\vec{p_1}+r \cdot \vec{u_1}g:x=p1+ru1g:\vec{x}=\vec{p_1}+r \cdot \vec{u_1}f:\vec{x}=\vec{p_2}+r \cdot \vec{u_1}f:x=p2+ru1f:\vec{x}=\vec{p_2}+r \cdot \vec{u_1}

(Schritt 0: Falls die Geraden in einer anderen Form gegeben sind: Richtungsvektoren bestimmen.)

Schritt 1: Die jeweiligen Richtungsvektoren einsetzen.

\cos\gamma=\left|\frac{\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}}{\left|\vec{u_1}\right| \cdot \left|\vec{u_2}\right|}\right|cosγ=u1u2u1u2\cos\gamma=\left|\frac{\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}}{\left|\vec{u_1}\right| \cdot \left|\vec{u_2}\right|}\right|

Schritt 2: Skalarprodukt und Beträge ausrechnen.

\cos \gamma = blubcosγ=blub\cos \gamma = blub

Schritt 3: arccos bilden und Winkel errechnen.

\gamma = \arccos(blub)γ=arccos(blub)\gamma = \arccos(blub)

Schnittwinkel zweier Geraden Bemerkung

Wie in der folgenden Grafik zu sehen ist, berechnet man nichts anderes als den Winkel zwischen zwei Vektoren (Richtungsvektoren der Geraden).


Schnittwinkel zweier Geraden Beispiel

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden h und k.

h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}h:x=(432)+s(111)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}k:\vec{x}=\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}k:x=(341)+s(221)k:\vec{x}=\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Richtungsvektoren in die Formel einsetzen.

\cos\gamma=\left|\frac{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\right|}\right|cosγ=(111)(221)(111)(221)\cos\gamma=\left|\frac{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\right|}\right|

Schritt 2: Skalarprodukt und Beträge ausrechnen.

\cos \gamma = \left|\frac{-3}{|\sqrt{3}|\cdot|\sqrt{9}|}\right|= \frac{3}{\sqrt{3}\cdot3}= \frac{1}{\sqrt{3}}cosγ=339=333=13\cos \gamma = \left|\frac{-3}{|\sqrt{3}|\cdot|\sqrt{9}|}\right|= \frac{3}{\sqrt{3}\cdot3}= \frac{1}{\sqrt{3}}

Schritt 3: arccos bilden und Winkel errechnen.

\gamma = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)γ=arccos(13)\gamma = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\gamma=\underline{\underline{54,75°}}γ=54,75°\gamma=\underline{\underline{54,75°}}
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