Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Wenn du im Matheunterricht gerade das Thema Vektorgeometrie hast, werden dir auch Schnittwinkel begegnen.

Ein Schnittwinkel ist immer der kleinere der beiden Winkel, der sich beim Schnitt ergibt und somit kleiner oder gleich 90°.

Es können sich zum Beispiel eine Gerade und eine Ebene schneiden.

Aber: Wie berechnet man den Schnittwinkel von einer Gerade und einer Ebene?

simpleclub erklärt dir, wie es geht!


Schnittwinkel von Gerade und Ebene einfach erklärt

Schnittwinkel von Gerade und Ebene berechnen Definition

Für die Berechnung des Schnittwinkels zwischen einer Geraden und einer Ebene benötigst du folgende Formel.

\sin\gamma=\left|\frac{\textcolor{sc_color_1} {\vec{u}} \cdot \textcolor{sc_color_2} {\vec{n}}}{\left|\textcolor{sc_color_1} {\vec{u}}\right| \cdot \left|\textcolor{sc_color_2} {\vec{n}}\right|}\right|sinγ=unun\sin\gamma=\left|\frac{\textcolor{#7F7706} {\vec{u}} \cdot \textcolor{#0069FC} {\vec{n}}}{\left|\textcolor{#7F7706} {\vec{u}}\right| \cdot \left|\textcolor{#0069FC} {\vec{n}}\right|}\right|\textcolor{sc_color_1} { \vec{u} = \text{Richtungsvektor Gerade} }u=Richtungsvektor Gerade\textcolor{#7F7706} { \vec{u} = \text{Richtungsvektor Gerade} }\textcolor{sc_color_2} { \vec{n} = \text{Normalenvektor Ebene} }n=Normalenvektor Ebene\textcolor{#0069FC} { \vec{n} = \text{Normalenvektor Ebene} }

Vorgehensweise Schnittwinkel von Gerade und Ebene berechnen

Es ist eine Gerade g in Parameterform und eine Ebene E in Normalenform gegeben.

g:\vec{x}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}g:x=p+rug:\vec{x}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}E:~\vec{n}\cdot\left(\vec{x}-\vec{q}\right)=0E:n(xq)=0E:~\vec{n}\cdot\left(\vec{x}-\vec{q}\right)=0

(Schritt 0: Falls Ebene und Gerade in anderer Form gegeben: Richtungsvektor und Normalenvektor errechnen bzw. ablesen.)

Schritt 1: Richtungsvektor und Normalenvektor einsetzen.

\sin\gamma=\left|\frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{\left|\vec{u}\right| \cdot \left|\vec{n}\right|}\right|sinγ=unun\sin\gamma=\left|\frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{\left|\vec{u}\right| \cdot \left|\vec{n}\right|}\right|

Schritt 2: Skalarprodukt und Beträge ausrechnen.

\sin\gamma=\textit{blub}sinγ=blub\sin\gamma=\textit{blub}

Schritt 3: arcsin bilden und Winkel errechnen.

\gamma=\arcsin(blub)γ=arcsin(blub)\gamma=\arcsin(blub)

Schnittwinkel von Gerade und Ebene Bemerkung

Du kannst für die Berechnung des Schnittwinkels statt Sinus auch Kosinus verwenden.

\cos\delta=\left|\frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{\left|\vec{u}\right| \cdot \left|\vec{n}\right|}\right|cosδ=unun\cos\delta=\left|\frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{\left|\vec{u}\right| \cdot \left|\vec{n}\right|}\right|

Beachte dann aber, dass für den Schnittwinkel \gammaγ\gamma Folgendes gilt:

\gamma=90°-\deltaγ=90°δ\gamma=90°-\delta

Schnittwinkel von Gerade und Ebene Beispiel

Berechne den Schnittwinkel zwischen der Gerade h und der Ebene B.

h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}h:x=(832)+s(243)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}B:~\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix}\right)=0B:(124)(x(7211))=0B:~\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix}\right)=0

Schritt 1: Richtungsvektor und Normalenvektor einsetzen.

\sin\gamma=\left|\frac{\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}\right|}\right|sinγ=(243)(124)(243)(124)\sin\gamma=\left|\frac{\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}\right|}\right|

Schritt 2: Skalarprodukt und Beträge ausrechnen.

\sin\gamma=\left|\frac{18}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{21}}\right|=\frac{18}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{21}}sinγ=182921=182921\sin\gamma=\left|\frac{18}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{21}}\right|=\frac{18}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{21}}

Schritt 3: arcsin bilden und Winkel errechnen.

\gamma=\arcsin\left(\frac{18}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{21}}\right)γ=arcsin(182921)\gamma=\arcsin\left(\frac{18}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{21}}\right)\gamma\approx\underline{\underline{46,84°}}γ46,84°\gamma\approx\underline{\underline{46,84°}}
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