Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene

Wenn du dich im Matheunterricht gerade mit Vektorgeometrie beschäftigst, werden dir auch Schnittwinkel begegnen.

Ein Schnittwinkel ist immer der kleinere der beiden Winkel, der sich beim Schnitt ergibt und somit kleiner oder gleich 90°.

Es können sich zum Beispiel zwei Ebenen schneiden.

Aber: Wie berechnet man den Schnittwinkel von zwei Ebenen?

simpleclub erklärt dir, wie es geht!


Schnittwinkel von zwei Ebenen einfach erklärt

Schnittwinkel von zwei Ebenen berechnen Definition

Für die Berechnung des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen benötigst du folgende Formel.

\cos\gamma=\left|\frac{\textcolor{sc_color_1}{\vec{n_1}} \cdot \textcolor{sc_color_2}{\vec{n_2}}}{\left|\textcolor{sc_color_1}{\vec{n_1}}\right| \cdot \left|\textcolor{sc_color_2}{\vec{n_2}}\right|}\right|cosγ=n1n2n1n2\cos\gamma=\left|\frac{\textcolor{#7F7706}{\vec{n_1}} \cdot \textcolor{#0069FC}{\vec{n_2}}}{\left|\textcolor{#7F7706}{\vec{n_1}}\right| \cdot \left|\textcolor{#0069FC}{\vec{n_2}}\right|}\right|\textcolor{sc_color_1}{\vec{n_1} = \text{Normalenvektor Ebene 1}}n1=Normalenvektor Ebene 1\textcolor{#7F7706}{\vec{n_1} = \text{Normalenvektor Ebene 1}}\textcolor{sc_color_2}{\vec{n_2} = \text{Normalenvektor Ebene 2}}n2=Normalenvektor Ebene 2\textcolor{#0069FC}{\vec{n_2} = \text{Normalenvektor Ebene 2}}

Vorgehensweise Schnittwinkel von zwei Ebenen berechnen

Es sind folgende zwei Ebenen E und F in Normalenform gegeben.

E:~\vec{n_1}\cdot\left(\vec{x}-\vec{q_1}\right)=0E:n1(xq1)=0E:~\vec{n_1}\cdot\left(\vec{x}-\vec{q_1}\right)=0F:~\vec{n_2}\cdot\left(\vec{x}-\vec{q_2}\right)=0F:n2(xq2)=0F:~\vec{n_2}\cdot\left(\vec{x}-\vec{q_2}\right)=0

(Schritt 0: Falls die Ebenen in einer anderen Form gegeben: Normalenvektoren berechnen.)

Schritt 1: Normalenvektoren in die Formel einsetzen.

\cos\gamma=\left|\frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right| \cdot \left|\vec{n_2}\right|}\right|cosγ=n1n2n1n2\cos\gamma=\left|\frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right| \cdot \left|\vec{n_2}\right|}\right|

Schritt 2: Skalarprodukt und Beträge ausrechnen.

\cos \gamma= blubcosγ=blub\cos \gamma= blub

Schritt 3: arccos bilden und WInkel errechnen.

\gamma = \arccos(blub)γ=arccos(blub)\gamma = \arccos(blub)

Schnittwinkel von zwei Ebenen Bemerkung

Wie man in der folgenden Grafik erkennen kann berechnen wir immer den Schnittwinkel der Normalenvektoren der Ebenen. Dieser Winkel ist jedoch genau so groß, wie der Schnittwinkel der Ebene, da sie ja jeweils senkrecht auf ihrer Ebene stehen.


Schnittwinkel von zwei Ebenen Beispiel

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen G und K.

G:~\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)=0G:(123)(x(212))=0G:~\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)=0K:~\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)=0K:(627)(x(512))=0K:~\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)=0

Schritt 1: Normalenvektoren einsetzen.

\cos\gamma=\left|\frac{\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\7\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} -6\\-2\\7\end{pmatrix}\right|}\right|cosγ=(123)(627)(123)(627)\cos\gamma=\left|\frac{\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\7\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} -6\\-2\\7\end{pmatrix}\right|}\right|

Schritt 2: Skalarprodukt und Beträge ausrechnen.

\cos \gamma=\left|\frac{19}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{89}}\right|=\frac{19}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{89}}cosγ=191489=191489\cos \gamma=\left|\frac{19}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{89}}\right|=\frac{19}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{89}}

Schritt 3: arccos bilden und Winkel errechnen.

\gamma = \arccos\left(\frac{19}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{89}}\right)γ=arccos(191489)\gamma = \arccos\left(\frac{19}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{89}}\right)\gamma \approx \underline{\underline{ 57,43°}}γ57,43°\gamma \approx \underline{\underline{ 57,43°}}
No items found.

Jetzt unlimited holen!

Mit simpleclub unlimited bekommst du Vollzugang zur App: Du boostest deine Noten, hast mehr Freizeit und gehst sicher in jede Klausur!

Jetzt unlimited holen

Jetzt simpleclub Azubi holen!

Mit simpleclub Azubi bekommst du Vollzugang zur App: Wir bereiten dich in deiner Ausbildung optimal auf deine Prüfungen in der Berufsschule vor. Von Ausbilder*innen empfohlen.

Jetzt simpleclub Azubi holen