Nullstellen Lineare Funktion

Die Nullstelle von einer linearen Funktion (= Funktion 1. Grades) kannst du bestimmen, indem du die Gleichung f(x)=0f(x)=0f(x)=0 nach xxx umstellst.

Eine lineare Funktion besitzt maximal eine Nullstelle.


Vorgehensweise

Eine lineare Funktion ist eine Funktion 1. Grades und hat als Graph eine Gerade.

y = \textcolor{sc_color_1} {m} \cdot x + \textcolor{sc_color_2} {c}y=mx+cy = \textcolor{#7F7706} {m} \cdot x + \textcolor{#0069FC} {c}\textcolor{sc_color_1} {\textit{m = Steigung}}m=Steigung\textcolor{#7F7706} {\textit{m = Steigung}}\textcolor{sc_color_2} {\textit{c = Schnittstelle mit y-Achse}}c=Schnittstellemity-Achse\textcolor{#0069FC} {\textit{c = Schnittstelle mit y-Achse}}

Als Beispiel überprüfst du folgende Funktion:

f(x)=2x+4f(x)=2x+4f(x)=2x+4

Möchtest du die Nullstelle einer solchen Funktion bestimmen, setzt du zunächst den Funktionswert (y-Wert) gleich Null.

y=f(x)=0y=f(x)=0y=f(x)=0

Du musst also die folgende Gleichung lösen und nach x umstellen.

\begin{aligned} 0&=2x+4 &&\quad|-4 \\ -4&=2x &&\quad|:2 \\ -2&=x \\ & \underline{\underline{x_0=-2}} \end{aligned}0=2x+444=2x:22=xx0=2\begin{aligned} 0&=2x+4 &&\quad|-4 \\ -4&=2x &&\quad|:2 \\ -2&=x \\ & \underline{\underline{x_0=-2}} \end{aligned}

Die Nullstelle liegt also bei x_0 =-2x0=2x_0 =-2. Für den Nullpunkt P_0P0P_0 ergänzt du noch den yyy-Wert mit y_0=0y0=0y_0=0.

\begin{aligned} &\implies P_0~(x_0|y_0) \\ &\Leftrightarrow \underline{\underline{P_0~(-2|0)}} \end{aligned}P0(x0y0)P0(20)\begin{aligned} &\implies P_0~(x_0|y_0) \\ &\Leftrightarrow \underline{\underline{P_0~(-2|0)}} \end{aligned}

Sonderfall - Konstante Funktionen

Eine konstante Funktion oder auch Funktion 0. Grades ist eine Funktion, die nur einen Funktionswert annimmt.

f(x)=\textcolor{sc_color_4}{c} \quad \textcolor{sc_color_4}{(c \in \reals)}f(x)=c(cR)f(x)=\textcolor{#00856C}{c} \quad \textcolor{#00856C}{(c \in \reals)}

Es gilt:

c\neq0c0c\neq0

Die Funktion besitzt keine Nullstelle.

Beispiel: f(x)=3

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c=0c=0c=0

Die Funktion besitzt unendlich viele Nullstellen mit x∈ℝ.

f(x)=0

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Beispiele

Einfaches Beispiel

Bestimme die Nullstellen der folgenden linearen Funktion.

f(x)=y=2x-6f(x)=y=2x6f(x)=y=2x-6

Lösung

f(x)=0f(x)=0f(x)=0\begin{aligned} 0&=2x-6 \quad &&|+6 \\ 6&=2x &&|:2 \\ 3&=x \\ &\underline{\underline{x_0=3}} \end{aligned}0=2x6+66=2x:23=xx0=3\begin{aligned} 0&=2x-6 \quad &&|+6 \\ 6&=2x &&|:2 \\ 3&=x \\ &\underline{\underline{x_0=3}} \end{aligned}

Damit ist x_0=3x0=3x_0=3 die Nullstelle. Für den Nullpunkt folgt:

\implies \underline{\underline{P_0~(3|0)}}P0(30)\implies \underline{\underline{P_0~(3|0)}}
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Schweres Beispiel

Bestimme die Nullstellen der folgenden linearen Funktion.

g(x)=y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9}g(x)=y=23x+59g(x)=y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9}

Lösung

g(x)=0g(x)=0g(x)=0\begin{aligned} 0&=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9} &&\quad\mid-\frac{5}{9} \\[3mm] -\frac{5}{9}&=\frac{2}{3}x &&\quad \mid:\frac{2}{3} \\[3mm] \frac{\left(-\frac{5}{9}\right)}{\frac{2}{3}}&=x &\quad\\[3mm] \left(-\frac{5}{9}\right)\cdot\frac{3}{2}&=x \\[3mm] -\frac{15}{18}&=x \\[3mm] -\frac{5}{6}&=x \\[3mm] x_0&=\underline{\underline{-\frac{5}{6}\approx-0,83}} \end{aligned}0=23x+595959=23x:23(59)23=x(59)32=x1518=x56=xx0=560,83\begin{aligned} 0&=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9} &&\quad\mid-\frac{5}{9} \\[3mm] -\frac{5}{9}&=\frac{2}{3}x &&\quad \mid:\frac{2}{3} \\[3mm] \frac{\left(-\frac{5}{9}\right)}{\frac{2}{3}}&=x &\quad\\[3mm] \left(-\frac{5}{9}\right)\cdot\frac{3}{2}&=x \\[3mm] -\frac{15}{18}&=x \\[3mm] -\frac{5}{6}&=x \\[3mm] x_0&=\underline{\underline{-\frac{5}{6}\approx-0,83}} \end{aligned}

Damit ist x_0 \approx -0,83x00,83x_0 \approx -0,83 die Nullstelle. Für den Nullpunkt folgt:

\implies \underline{\underline{P_0~(-0,83|0)}}P0(0,830)\implies \underline{\underline{P_0~(-0,83|0)}}
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Lineare Funktion durch den Koordinatenursprung

Für eine lineare Funktion, die durch den Koordinatenursprung verläuft, gilt immer c=0c=0c=0. Eine solche Funktion sieht daher so aus:

f(x) = m \cdot xf(x)=mxf(x) = m \cdot x

Bestimme die Nullstellen der folgenden linearen Funktion.

f(x)=y=3x~f(x)=y=3xf(x)=y=3x~

Lösung

f(x)=0f(x)=0f(x)=0\begin{aligned} 0&=3x & \quad |:3 \\ 0&=x \\ &\underline{\underline{x_0=0}} \end{aligned}0=3x:30=xx0=0\begin{aligned} 0&=3x & \quad |:3 \\ 0&=x \\ &\underline{\underline{x_0=0}} \end{aligned}

Für lineare Funktionen, die durch den Koordinatenursprung verlaufen, ist die Nullstelle immer Null und der Nullpunkt entspricht dem Koordinatenursprung.

\implies \underline{\underline{P_0(0|0)}}P0(00)\implies \underline{\underline{P_0(0|0)}}
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