Die Nullstelle von einer linearen Funktion (= Funktion 1. Grades) kannst du bestimmen, indem du die Gleichung f(x)=0 $f(x)=0$ nach x $x$ umstellst.

Eine lineare Funktion besitzt maximal eine Nullstelle.

Vorgehensweise

Eine lineare Funktion ist eine Funktion 1. Grades und hat als Graph eine Gerade.
Ihre Funktionsgleichung (Zuordnungsvorschrift) lautet:

\boxed{ y=\col[1]{m} \cdot x + \col[2]{b} }

\boxed{ y=\col[1]{m} \cdot x + \col[2]{b} }

\small \textcolor{sc_color_1} {m = \textsf{Steigung}}

\small \textcolor{#7F7706} {m = \textsf{Steigung}}

\small \textcolor{sc_color_2} {b =\textsf{y-Achsenabschnitt}}

\small \textcolor{#0069FC} {b =\textsf{y-Achsenabschnitt}}

Als Beispiel überprüfst du folgende Funktion:

f(x)=2x+4

f(x)=2x+4

Möchtest du die Nullstelle einer solchen Funktion bestimmen, setzt du zunächst den Funktionswert (y-Wert) gleich Null.

y=f(x)=0

y=f(x)=0

Du musst also die folgende Gleichung lösen und nach x umstellen.

\begin{aligned} 0&=2x+4 &&\quad|-4 \\ -4&=2x &&\quad|:2 \\ -2&=x \\ & \underline{\underline{x_0=-2}} \end{aligned}

\begin{aligned} 0&=2x+4 &&\quad|-4 \\ -4&=2x &&\quad|:2 \\ -2&=x \\ & \underline{\underline{x_0=-2}} \end{aligned}

Die Nullstelle liegt also bei x_0 =-2 $x_0 =-2$ . Für den Nullpunkt P_0 $P_0$ ergänzt du noch den y $y$ -Wert mit y_0=0 $y_0=0$ .

\begin{aligned} &\implies P_0~(x_0|y_0) \\ &\Leftrightarrow \underline{\underline{P_0~(-2|0)}} \end{aligned}

\begin{aligned} &\implies P_0~(x_0|y_0) \\ &\Leftrightarrow \underline{\underline{P_0~(-2|0)}} \end{aligned}

Sonderfall - Konstante Funktionen

Eine konstante Funktion oder auch Funktion 0. Grades ist eine Funktion, die nur einen Funktionswert annimmt.

f(x)=\textcolor{sc_color_4}{c} \quad \textcolor{sc_color_4}{(c \in \reals)}

f(x)=\textcolor{#00856C}{c} \quad \textcolor{#00856C}{(c \in \reals)}

Es gilt:

c\neq0 $c\neq0$	Die Funktion besitzt keine Nullstelle.	Beispiel: f(x)=3 Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
c=0 $c=0$	Die Funktion besitzt unendlich viele Nullstellen mit x∈ℝ.	f(x)=0 Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Beispiele

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Einfaches Beispiel

Bestimme die Nullstellen der folgenden linearen Funktion.

f(x)=y=2x-6

f(x)=y=2x-6

Lösung

f(x)=0

f(x)=0

\begin{aligned} 0&=2x-6 \quad &&|+6 \\ 6&=2x &&|:2 \\ 3&=x \\ &\underline{\underline{x_0=3}} \end{aligned}

\begin{aligned} 0&=2x-6 \quad &&|+6 \\ 6&=2x &&|:2 \\ 3&=x \\ &\underline{\underline{x_0=3}} \end{aligned}

Damit ist x_0=3 $x_0=3$ die Nullstelle. Für den Nullpunkt folgt:

\implies \underline{\underline{P_0~(3|0)}}

\implies \underline{\underline{P_0~(3|0)}}

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Schweres Beispiel

Bestimme die Nullstellen der folgenden linearen Funktion.

g(x)=y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9}

g(x)=y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9}

Lösung

g(x)=0

g(x)=0

\begin{aligned} 0&=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9} &&\quad\mid-\frac{5}{9} \\[3mm] -\frac{5}{9}&=\frac{2}{3}x &&\quad \mid:\frac{2}{3} \\[3mm] \frac{\left(-\frac{5}{9}\right)}{\frac{2}{3}}&=x &\quad\\[3mm] \left(-\frac{5}{9}\right)\cdot\frac{3}{2}&=x \\[3mm] -\frac{15}{18}&=x \\[3mm] -\frac{5}{6}&=x \\[3mm] x_0&=\underline{\underline{-\frac{5}{6}\approx-0,83}} \end{aligned}

\begin{aligned} 0&=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9} &&\quad\mid-\frac{5}{9} \\[3mm] -\frac{5}{9}&=\frac{2}{3}x &&\quad \mid:\frac{2}{3} \\[3mm] \frac{\left(-\frac{5}{9}\right)}{\frac{2}{3}}&=x &\quad\\[3mm] \left(-\frac{5}{9}\right)\cdot\frac{3}{2}&=x \\[3mm] -\frac{15}{18}&=x \\[3mm] -\frac{5}{6}&=x \\[3mm] x_0&=\underline{\underline{-\frac{5}{6}\approx-0,83}} \end{aligned}

Damit ist x_0 \approx -0,83 $x_0 \approx -0,83$ die Nullstelle. Für den Nullpunkt folgt:

\implies \underline{\underline{P_0~(-0,83|0)}}

\implies \underline{\underline{P_0~(-0,83|0)}}

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Lineare Funktion durch den Koordinatenursprung

Für eine lineare Funktion, die durch den Koordinatenursprung verläuft, gilt immer c=0 $c=0$ . Eine solche Funktion sieht daher so aus:

f(x) = m \cdot x

f(x) = m \cdot x

Bestimme die Nullstellen der folgenden linearen Funktion.

f(x)=y=3x~

f(x)=y=3x~

Lösung

f(x)=0

f(x)=0

\begin{aligned} 0&=3x & \quad |:3 \\ 0&=x \\ &\underline{\underline{x_0=0}} \end{aligned}

\begin{aligned} 0&=3x & \quad |:3 \\ 0&=x \\ &\underline{\underline{x_0=0}} \end{aligned}

Für lineare Funktionen, die durch den Koordinatenursprung verlaufen, ist die Nullstelle immer Null und der Nullpunkt entspricht dem Koordinatenursprung.

\implies \underline{\underline{P_0(0|0)}}

\implies \underline{\underline{P_0(0|0)}}

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