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Lage zwischen Geraden

Für die gegenseitige Lage zwischen zwei Geraden gibt es vier Möglichkeiten.

  1. Sie sind identisch.
  2. Sie sind parallel.
  3. Sie schneiden sich.
  4. Sie sind windschief.

Vorgehensweise

Gegeben sind zwei Geraden.

Grundfrage: SInd die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander?

Möglichkeit 1: Ja = Punktprobe

  • Haben die Geraden einen Punkt gemeinsam?
  • Bsp.: Verwende den Punkt, der durch einen Stützvektor gegeben ist.
    • Ja = IDENTISCH
    • Nein = PARALLEL

Möglichkeit 2: Nein = Geraden gleichsetzen und Gleichungssystem lösen

  • Hat das Gleichungssystem eine Lösung?
    • Ja = SCHNEIDEN
    • Nein = WINDSCHIEF

Bemerkungen

Windschief

Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn sie sich weder schneiden, noch parallel zueinander sind. Dies ist nur im dreidimensionalen Raum möglich.

Schnittpunkt

Wenn zwei Geraden sich schneiden berechnest du den Schnittpunkt mit den Lösungen des Gleichungssystems.

Dafür setzt du einen der berechneten Werte für die Parameter in die passende Geradengleichung ein. Du erhältst einen Vektor und formst diesen in die Punktschreibweise um.

Beispiele

Identische Geraden

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix}g:x⃗=(−114)+r⋅(4−812)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}h:x⃗=(−231)+s⋅(2−46)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}

Richtungsvektoren Vielfache?

\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} = 2\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}(4−812)=2⋅(2−46)\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} = 2\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}

Möglichkeit 1: Ja = Punktprobe

Setze Punkt aus Stützvektor von g in h ein.

\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}(−114)=(−231)+s⋅(2−46)\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}\Rightarrow s=\frac{1}{2}⇒s=12\Rightarrow s=\frac{1}{2}

Der Punkt (-1 | 1 | 4) liegt auf beiden Geraden. Somit sind die Geraden identisch.

Parallele Geraden

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}g:x⃗=(124)+r⋅(2−13)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}h:x⃗=(3−41)+s⋅(6−39)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}

Richtungsvektoren Vielfache?

\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}(2−13)=13⋅(6−39)\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}

Möglichkeit 1: Ja = Punktprobe

Setze Punkt aus Stützvektor von g in h ein.

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}(124)=(3−41)+s⋅(6−39)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}\textit{I.)}~~~~1=3+s\cdot6 \ \ \Rightarrow s=-\frac{1}{3}I.)1=3+s⋅6⇒s=−13\textit{I.)}~~~~1=3+s\cdot6 \ \ \Rightarrow s=-\frac{1}{3}\textit{II.)}~~~2=-4+s\cdot(-3) \ \ \Rightarrow s=-2II.)2=−4+s⋅(−3)⇒s=−2\textit{II.)}~~~2=-4+s\cdot(-3) \ \ \Rightarrow s=-2\textit{III.)}~~4=1+s\cdot9 \ \ \Rightarrow s=\frac{1}{3}III.)4=1+s⋅9⇒s=13\textit{III.)}~~4=1+s\cdot9 \ \ \Rightarrow s=\frac{1}{3}

Es gibt kein eindeutiges s, dass die gesamte Gleichung erfüllt. Somit sind die Geraden parallel.

Schneidende Geraden

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}g:x⃗=(−3−4−1)+r⋅(221)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}h:x⃗=(431)+s⋅(−1−11)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Richtungsvektoren Vielfache?

\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}(221)=λ⋅(−1−11)\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\textit{I.)}~~~~2=-1\cdot\lambda \ \ \Rightarrow \lambda=-2I.)2=−1⋅λ⇒λ=−2\textit{I.)}~~~~2=-1\cdot\lambda \ \ \Rightarrow \lambda=-2\textit{II.)}~~~2=-1\cdot\lambda \ \ \Rightarrow \lambda=-2II.)2=−1⋅λ⇒λ=−2\textit{II.)}~~~2=-1\cdot\lambda \ \ \Rightarrow \lambda=-2\textit{III.)}~~1=1\cdot\lambda \ \ \Rightarrow \lambda=1III.)1=1⋅λ⇒λ=1\textit{III.)}~~1=1\cdot\lambda \ \ \Rightarrow \lambda=1

Möglichkeit 2: Nein = Geraden gleichsetzen und Gleichungssystem aufstellen

Setze g=h und erhalte als LGS:

\textit{I.)}~~~~-3+2r=4-sI.)−3+2r=4−s\textit{I.)}~~~~-3+2r=4-s\textit{II.)}~~~-4+2r=3-sII.)−4+2r=3−s\textit{II.)}~~~-4+2r=3-s\textit{III.)}~~-1+r=1+sIII.)−1+r=1+s\textit{III.)}~~-1+r=1+s

Aus der 3. Zeile ergibt sich:

r=2+sr=2+sr=2+s

Setze dies in die 2. Zeile ein:

-4+2\cdot(2+s)=3-s \\ \Leftrightarrow -4+4+2s=3-s \\ \Leftrightarrow 2s=3-s \\ \Leftrightarrow s=1 \\ \Rightarrow r=2+1=3−4+2⋅(2+s)=3−s⇔−4+4+2s=3−s⇔2s=3−s⇔s=1⇒r=2+1=3-4+2\cdot(2+s)=3-s \\ \Leftrightarrow -4+4+2s=3-s \\ \Leftrightarrow 2s=3-s \\ \Leftrightarrow s=1 \\ \Rightarrow r=2+1=3

Setze nun s=1 und r=3 in die 1. Zeile ein:

-3+2\cdot3=4-1 \\ \Leftrightarrow -3+6=4-1 \\ \Leftrightarrow 3=3 \textit{ w.A.}−3+2⋅3=4−1⇔−3+6=4−1⇔3=3w.A.-3+2\cdot3=4-1 \\ \Leftrightarrow -3+6=4-1 \\ \Leftrightarrow 3=3 \textit{ w.A.}

Es wurden Lösungen für die Parameter r und s gefunden. Somit schneiden sich die Geraden.

Schnittpunkt

Setze einen der Parameter in die jeweilige Geradengleichung ein.

s=1 \textit{ in } h \\ \\ \\ \begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix} \\ \Rightarrow S(3|2|2)s=1inh(431)+1⋅(−1−11)=(322)⇒S(3∣2∣2)s=1 \textit{ in } h \\ \\ \\ \begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix} \\ \Rightarrow S(3|2|2)

Somit liegt der Schnittpunkt bei S(3|2|2).

Windschiefe Geraden

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}g:x⃗=(101)+r⋅(221)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}h:x⃗=(431)+s⋅(1−22)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}

Richtungsvektoren Vielfache?

\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}(221)=λ⋅(1−22)\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\textit{I.)}~~~~2=\lambda \ \ \Rightarrow \lambda=2I.)2=λ⇒λ=2\textit{I.)}~~~~2=\lambda \ \ \Rightarrow \lambda=2\textit{II.)}~~~2=\lambda\cdot(-2) \ \ \Rightarrow \lambda=-1II.)2=λ⋅(−2)⇒λ=−1\textit{II.)}~~~2=\lambda\cdot(-2) \ \ \Rightarrow \lambda=-1\textit{III.)}~~1=\lambda\cdot2 \ \ \Rightarrow \lambda=\frac{1}{2}III.)1=λ⋅2⇒λ=12\textit{III.)}~~1=\lambda\cdot2 \ \ \Rightarrow \lambda=\frac{1}{2}

Möglichkeit 2: Nein = Geraden gleichsetzen und Gleichungssystem aufstellen

Setze g=h und erhalte als LGS:

\textit{I.)}~~~~1+2r=4+sI.)1+2r=4+s\textit{I.)}~~~~1+2r=4+s\textit{II.)}~~~0+2r=3-2sII.)0+2r=3−2s\textit{II.)}~~~0+2r=3-2s\textit{III.)}~~1+r=1+2sIII.)1+r=1+2s\textit{III.)}~~1+r=1+2s

Aus der 1. Zeile ergibt sich:

s=2r-3s=2r−3s=2r-3

Setze dies in die 2. Zeile ein:

2r=3-2\cdot(2r-3) \\ \Leftrightarrow 2r=3-4r+6 \\ \Leftrightarrow 2r=9-4r \\ \Leftrightarrow 6r=9 \\ \Leftrightarrow r=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow s=2\cdot\frac{3}{2}-3=02r=3−2⋅(2r−3)⇔2r=3−4r+6⇔2r=9−4r⇔6r=9⇔r=96=32⇒s=2⋅32−3=02r=3-2\cdot(2r-3) \\ \Leftrightarrow 2r=3-4r+6 \\ \Leftrightarrow 2r=9-4r \\ \Leftrightarrow 6r=9 \\ \Leftrightarrow r=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow s=2\cdot\frac{3}{2}-3=0

Setze r=3/2 und s=0 in die 3. Zeile ein:

1+\frac{3}{2}=1+2\cdot0 \\ \Leftrightarrow \frac{5}{2}=1\textit{ f.A.}1+32=1+2⋅0⇔52=1f.A.1+\frac{3}{2}=1+2\cdot0 \\ \Leftrightarrow \frac{5}{2}=1\textit{ f.A.}

Es wurden keine Lösungen für die Parameter r und s gefunden. Somit sind die Geraden windschief.

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