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Lage zwischen Ebenen in Parameterform/Koordinatenform

Beschäftigst du dich im Matheunterricht gerade mit dem Thema Lagebeziehungen von Ebenen?

Dann wirst du wahrscheinlich schon wissen, dass Ebenen identisch oder parallel sein können und sich auch schneiden können.

Wie bestimmt man die Lagebeziehung von einer Ebene in Koordinatenform und einer in Parameterform?

simpleclub zeigt dir Schritt für Schritt, wie es geht!

Lagebeziehung von einer Ebene in Koordinatenform und einer in Parameterform einfach erklärt

Lagebeziehung von einer Ebene in Koordinatenform und einer in Parameterform Definition

Ist eine Ebene in Parameterform und eine in Koordinatenform gegeben, kannst du die Lage über eine Gleichung aus beiden Ebenen bestimmen.

Das geht in drei Schritten:

Ebene in Parameterform in Ebene in Koordinatenform einsetzen
Gleichung lösen
Lösung interpretieren

Lagebeziehung von einer Ebene in Koordinatenform und einer in Parameterform Vorgehensweise

Schritt 1: Ebene in Parameterform in Ebene in Koordinatenform einsetzen.

Stelle dafür zunächst die Ebene in Parameterform in die Schreibweise x=..., y=..., z=... um.

Schritt 2: Gleichung lösen.

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Ebenen sind identisch

Parameter lösen sich auf und die Gleichung ergibt eine wahre Aussage.
Bsp.: 7=7, 10=10, 4=4

Ebenen sind parallel

Parameter lösen sich auf und die Gleichung ergibt eine falsche Aussage.
Bsp.: 8=12, 4=7, 2=1

Ebenen schneiden sich entlang einer Schnittgerade

Die Gleichung lässt sich soweit umstellen, bis maximal zwei Parameter in einer Gleichung stehen. Diese müssen dann in die passende Ebenengleichung eingesetzt werden und du erhältst eine Schnittgerade.
Bsp.: s=2r+3, s=4, r=5, r=8s

Lagebeziehung von einer Ebene in Koordinatenform und einer in Parameterform Beispiele

Identische Ebenen

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}

E_2:~-4x+18y+40z=32

E_2:~-4x+18y+40z=32

Schritt 1: Ebene in Parameterform in Ebene in Koordinatenform einsetzen.

Setze

x=2+r+9s \\ y=-2r+2s \\ z=1+r

x=2+r+9s \\ y=-2r+2s \\ z=1+r

in E₂ ein.

\implies -4\cdot(2+r+9s)+18\cdot(-2r+2s)+40\cdot(1+r)=32

\implies -4\cdot(2+r+9s)+18\cdot(-2r+2s)+40\cdot(1+r)=32

Schritt 2: Gleichung lösen.

\Leftrightarrow -8-4r-36s-36r+36s+40+40r=32 \\ \Leftrightarrow 32=32~~\textit{ w.A.}

\Leftrightarrow -8-4r-36s-36r+36s+40+40r=32 \\ \Leftrightarrow 32=32~~\textit{ w.A.}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Beide Parameter lösen sich auf und die Gleichung ergibt eine wahre Aussage. Damit sind die Ebenen identisch.

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Parallele Ebenen

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

E_2:~-2x-2y+6z=2

E_2:~-2x-2y+6z=2

Schritt 1: Ebene in Parameterform in Ebene in Koordinatenform einsetzen.

Setze

x=1+3r+2s \\ y=-1+s \\ z=2+r+s

x=1+3r+2s \\ y=-1+s \\ z=2+r+s

in E₂ ein.

\implies -2\cdot(1+3r+2s)-2\cdot(-1+s)+6\cdot(2+r+s)=2

\implies -2\cdot(1+3r+2s)-2\cdot(-1+s)+6\cdot(2+r+s)=2

Schritt 2: Gleichung lösen.

\Leftrightarrow -2-6r-4s+2-2s+12+6r+6s=2 \\ \Leftrightarrow 12=2~~\textit{ f.A.}

\Leftrightarrow -2-6r-4s+2-2s+12+6r+6s=2 \\ \Leftrightarrow 12=2~~\textit{ f.A.}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Beide Parameter lösen sich auf und die Gleichung ergibt eine falsche Aussage bzw. hat keine Lösung. Damit sind die Ebenen parallel.

Schneidende Ebenen

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

E_2:~2x+y-z=1

E_2:~2x+y-z=1

Schritt 1: Ebene in Parameterform in Ebene in Koordinatenform einsetzen.

Setze

x=1+2s \\ y=2r+s \\ z=-1+2r

x=1+2s \\ y=2r+s \\ z=-1+2r

in E₂ ein.

\implies 2\cdot(1+2s)+(2r+s)-(-1+2r)=1

\implies 2\cdot(1+2s)+(2r+s)-(-1+2r)=1

Schritt 2: Gleichung lösen.

\Leftrightarrow 2+4s+2r+s+1-2r=1 \\ \Leftrightarrow 3+5s=1 \ \ \ |-3 \\ \Leftrightarrow 5s=-2 \ \ \ |:5 \\ \Leftrightarrow s=-\frac{2}{5}

\Leftrightarrow 2+4s+2r+s+1-2r=1 \\ \Leftrightarrow 3+5s=1 \ \ \ |-3 \\ \Leftrightarrow 5s=-2 \ \ \ |:5 \\ \Leftrightarrow s=-\frac{2}{5}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Du erhältst einen Wert für den Parameter s. Damit schneiden sich die Ebenen entlang einer Schnittgerade.

Schnittgerade

Setze s in E₁ ein.

\implies \vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} -\frac{2}{5}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

\implies \vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} -\frac{2}{5}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

\implies

\implies

g_s:\vec{x}=\begin{pmatrix} \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} \\ -1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

g_s:\vec{x}=\begin{pmatrix} \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} \\ -1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

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