Lage zwischen Ebenen in Koordinatenform

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Lage zwischen Ebenen in Koordinatenform

Du hast im Matheunterricht gerade das Thema Lagebeziehungen von Ebenen?

Dann wirst du wahrscheinlich schon wissen, dass Ebenen identisch oder parallel sein können und sich auch schneiden können.

Wie bestimmt man die Lagebeziehung von Ebenen in Koordinatenform?

simpleclub zeigt dir Schritt für Schritt, wie es geht!

Lagebeziehung von Ebenen in Koordinatenform einfach erklärt

Lagebeziehung von Ebenen in Koordinatenform bestimmen Definition

Sind beide Ebenen in Koordinatenform gegeben, kannst du die Lage über die Normalenvektoren bestimmen.

Das geht in drei Schritten:

  1. Normalenvektoren ablesen
  2. Normalenvektoren auf Vielfaches überprüfen
  3. Koordinatengleichungen auf Vielfaches überprüfen

Lagebeziehung von Ebenen in Koordinatenform Vorgehensweise

Schritt 1: Normalenvektoren ablesen.

Schritt 2: Überprüfen, ob Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.

  • Ja: Weiter mit Schritt 3.
  • Nein: Ebenen schneiden sich entlang einer Schnittgerade.

Schritt 3: Überprüfen, ob Koordinatengleichungen Vielfache voneinander sind.

  • Ja: Die Ebenen sind identisch.
  • Nein: Die Ebenen sind parallel.

Lagebeziehung von Ebenen in Koordinatenform Beispiele

Identische Ebenen

E_1:~2x-3y+z=10E1:2x−3y+z=10E_1:~2x-3y+z=10E_2:~-4x+6y-2z=-20E2:−4x+6y−2z=−20E_2:~-4x+6y-2z=-20

Schritt 1: Normalenvektoren ablesen.

\vec{n_1}=\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix};\vec{n_2}=\begin{pmatrix}-4 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix}n1⃗=(2−31);n2⃗=(−46−2)\vec{n_1}=\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix};\vec{n_2}=\begin{pmatrix}-4 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix}

Schritt 2: Überprüfen, ob Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.

\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = (-\frac{1}{2})\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}(2−31)=(−12)⋅(−46−2)\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = (-\frac{1}{2})\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}

Damit sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander.

Schritt 3: Überprüfen, ob Koordinatengleichungen Vielfache voneinander sind.

E_1=(-\frac{1}{2})\cdot E_2 \\ \textit{da } \vec{n_1}=(-\frac{1}{2})\cdot\vec{n_2} \\ \textit{und } 10=(-\frac{1}{2})\cdot(-20)E1=(−12)⋅E2dan1⃗=(−12)⋅n2⃗und10=(−12)⋅(−20)E_1=(-\frac{1}{2})\cdot E_2 \\ \textit{da } \vec{n_1}=(-\frac{1}{2})\cdot\vec{n_2} \\ \textit{und } 10=(-\frac{1}{2})\cdot(-20)

Die Ebenengleichungen sind Vielfache voneinander. Damit sind die Ebenen identisch.

Parallele Ebenen

E_1:~4x-2y+3z=1E1:4x−2y+3z=1E_1:~4x-2y+3z=1E_2:~12x-6y+9z=18E2:12x−6y+9z=18E_2:~12x-6y+9z=18

Schritt 1: Normalenvektoren ablesen.

\vec{n_1}=\begin{pmatrix}4 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix};\vec{n_2}=\begin{pmatrix}12 \\ -6 \\ 9\end{pmatrix}n1⃗=(4−23);n2⃗=(12−69)\vec{n_1}=\begin{pmatrix}4 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix};\vec{n_2}=\begin{pmatrix}12 \\ -6 \\ 9\end{pmatrix}

Schritt 2: Überprüfen, ob Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.

\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 12 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix}(4−23)=13⋅(12−69)\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 12 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix}

Damit sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander.

Schritt 3: Überprüfen, ob Koordinatengleichungen Vielfache voneinander sind.

Es gilt zwar

\vec{n_1}=\frac{1}{3}\cdot\vec{n_2}n1⃗=13⋅n2⃗\vec{n_1}=\frac{1}{3}\cdot\vec{n_2}

aber

1=\frac{1}{3}\cdot18=6 ~~ \textit{ f.A.}1=13⋅18=6f.A.1=\frac{1}{3}\cdot18=6 ~~ \textit{ f.A.}

Die Ebenengleichungen sind keine Vielfachen voneinander. Damit sind die Ebenen parallel.

Schneidende Ebenen

E_1:~2x-y+z=1E1:2x−y+z=1E_1:~2x-y+z=1E_2:~3x+2y-z=3E2:3x+2y−z=3E_2:~3x+2y-z=3

Schritt 1: Normalenvektoren ablesen.

\vec{n_1}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix};\vec{n_2}=\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}n1⃗=(2−11);n2⃗=(32−1)\vec{n_1}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix};\vec{n_2}=\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}

Schritt 2: Überprüfen, ob Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.

\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = r\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}(2−11)=r⋅(32−1)\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = r\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\textit{I.)}~~~~2 = r \cdot 3 \implies \frac{2}{3}I.)2=r⋅3⟹23\textit{I.)}~~~~2 = r \cdot 3 \implies \frac{2}{3}\textit{II.)}~~~-1 = r \cdot 2 \implies r=-\frac{1}{2}II.)−1=r⋅2⟹r=−12\textit{II.)}~~~-1 = r \cdot 2 \implies r=-\frac{1}{2}\textit{III.)}~~1 = r \cdot (-1) \implies r=-1III.)1=r⋅(−1)⟹r=−1\textit{III.)}~~1 = r \cdot (-1) \implies r=-1

Es gibt kein eindeutiges r, demzufolge sind die Normalenvektoren keine Vielfache voneinander.

Schritt 3: Überprüfen, ob Koordinatengleichungen Vielfache voneinander sind.

Dieser Schritt entfällt. Damit schneiden sich die Ebenen entlang einer Schnittgerade.

Schnittgerade

Zunächst erweiterst du eine Koordinatengleichung so, dass du mit dem Additionsverfahren eine Variable eliminieren kannst.

\textit{I.)}~~~~2x-y+z=1 \ \ \ | \cdot 2I.)2x−y+z=1∣⋅2\textit{I.)}~~~~2x-y+z=1 \ \ \ | \cdot 2\textit{II.)}~~~3x+2y-z=3II.)3x+2y−z=3\textit{II.)}~~~3x+2y-z=3\Leftrightarrow⇔\Leftrightarrow\textit{I.)}~~~~4x-2y+2z=2I.)4x−2y+2z=2\textit{I.)}~~~~4x-2y+2z=2\textit{II.)}~~~3x+2y-z=3II.)3x+2y−z=3\textit{II.)}~~~3x+2y-z=3\textit{I.) + II.)}I.)+II.)\textit{I.) + II.)}\implies 7x+z=5 \implies z=5-7x⟹7x+z=5⟹z=5−7x\implies 7x+z=5 \implies z=5-7x

Nun setzt du z=5-7x in eine der Gleichungen ein und stellst nach y um.

\textit{z in I.)}zinI.)\textit{z in I.)}\implies 2x-y+5-7x=1 \\ \Leftrightarrow -5x-y=-4 \ \ \ |+y,+4 \\ \Leftrightarrow y=4-5x⟹2x−y+5−7x=1⇔−5x−y=−4∣+y,+4⇔y=4−5x\implies 2x-y+5-7x=1 \\ \Leftrightarrow -5x-y=-4 \ \ \ |+y,+4 \\ \Leftrightarrow y=4-5x

Stelle nun die Geradengleichung auf.

\vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 4-5x \\ 5-7x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ -5x \\ -7x \end{pmatrix}x⃗=(xyz)=(x4−5x5−7x)=(045)+(x−5x−7x)\vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 4-5x \\ 5-7x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ -5x \\ -7x \end{pmatrix}

Damit ergibt sich abschließend für die Schnittgerade:

g_s:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -7 \end{pmatrix}gs:x⃗=(045)+s⋅(1−5−7)g_s:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -7 \end{pmatrix}
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