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Hessesche Normalenform einer Geraden

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Hessesche Normalenform einer Geraden

Beschäftigst du dich in Mathe momentan mit dem Thema Geraden in zweidimensionalen Räumen?

Dann sollst du sicherlich auch Geraden in der Hesseschen Normalenform aufstellen können.

Wie das funktioniert, erklärt dir simpleclub.

Hessesche Normalenform einfach erklärt

Hessesche Normalenform Definition

Eine Gerade im zweidimensionalen Raum lässt sich durch einen Stützvektor und einen normierten Normalenvektor beschreiben.

g:~\textcolor{sc_color_4} { \vec{n_0} }\cdot\left(\vec{x}-\textcolor{sc_color_5} { \vec{p} }\right)=0g:n0⃗⋅(x⃗−p⃗)=0g:~\textcolor{#00856C} { \vec{n_0} }\cdot\left(\vec{x}-\textcolor{#A86500} { \vec{p} }\right)=0\textcolor{sc_color_5} { \vec{p} = \textit{Stützvektor} }p⃗=Stu¨tzvektor\textcolor{#A86500} { \vec{p} = \textit{Stützvektor} }\textcolor{sc_color_4} { \vec{n_0} = \textit{normierter Normalenvektor} }n0⃗=normierterNormalenvektor\textcolor{#00856C} { \vec{n_0} = \textit{normierter Normalenvektor} }

Hessesche Normalenform Besonderheit

Eine Gerade lässt sich nur im zweidimensionalen Raum als Hessesche Normalenform darstellen, da es im dreidimensionalen Raum keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Normierter Normalenvektor

Die Hessesche Normalenform verwendet im Gegensatz zur Normalenform einen normierten Normalenvektor.

Ein normierter Normalenvektor ist ein Normalenvektor mit dem Betrag bzw. der Länge 1. Er wird auch als Normaleneinheitsvektor bezeichnet.

Jeder Normalenvektor kann in einen normierten Normalenvektor umgewandelt werden.

\textcolor{sc_color_4}{\vec{n_0}}=\frac{\textcolor{sc_color_6}{\vec{n}}}{|\textcolor{sc_color_6}{\vec{n}}|}n0⃗=n⃗∣n⃗∣\textcolor{#00856C}{\vec{n_0}}=\frac{\textcolor{#9F35A5}{\vec{n}}}{|\textcolor{#9F35A5}{\vec{n}}|}\textcolor{sc_color_4} {\vec{n_0}=\textit{normierter Normalenvektor}}n0⃗=normierterNormalenvektor\textcolor{#00856C} {\vec{n_0}=\textit{normierter Normalenvektor}}\textcolor{sc_color_6} {\vec{n}=\textit{Normalenvektor}}n⃗=Normalenvektor\textcolor{#9F35A5} {\vec{n}=\textit{Normalenvektor}}

Hessesche Normalenform Umwandlung

Normalenform in Hessesche Normalenform

Für diese Umwandlung ersetzt du einfach den gegebenen Normalenvektor durch den dazu passenden normierten Normalenvektor.

Koordinatenform in Hessesche Normalenform

Hierfür berechnest du nur den Betrag des Normalenvektors und formst wie folgt um:

g:~a x +b y = cg:ax+by=cg:~a x +b y = c\Leftrightarrow g:~ax+by-c=0⇔g:ax+by−c=0\Leftrightarrow g:~ax+by-c=0\implies g:~\frac{1}{|\vec{n}|}\cdot[ax+by-c]=0⟹g:1∣n⃗∣⋅[ax+by−c]=0\implies g:~\frac{1}{|\vec{n}|}\cdot[ax+by-c]=0

Hessesche Normalenform Beispiele

Gerade in Normalenform gegeben

Wandle die Gerade g in die Hessesche Normalenform um!

g:~\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}\right)=0g:(2−4)⋅(x⃗−(18))=0g:~\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}\right)=0

Mit der Definition der Normalenform weißt du, dass

\vec{n}=\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}n⃗=(2−4)\vec{n}=\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}

Berechne nun den normierten Normalenvektor:

\vec{n_0}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}n0⃗=n⃗∣n⃗∣\vec{n_0}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\vec{n_0}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}}{|\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}|}n0⃗=n⃗∣n⃗∣=(2−4)∣(2−4)∣\vec{n_0}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}}{|\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}|}= \frac{1}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}=122+(−4)2⋅(2−4)= \frac{1}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{20}}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}=120⋅(2−4)= \frac{1}{\sqrt{20}}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}~~

Wenn sich die Wurzel nicht weiter vereinfachen lässt, kannst du den normierten Normalenvektor als Produkt stehen lassen. Damit ergibt sich für die Hessesche Normalenform:

g:~\frac{1}{\sqrt{20}}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}\right)=0g:120⋅(2−4)⋅(x⃗−(18))=0g:~\frac{1}{\sqrt{20}}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}\right)=0

Gerade in Koordinatenform gegeben

Wandle die Gerade h in die Hessesche Normalenform um!

h:~-3 x +5 y = 8h:−3x+5y=8h:~-3 x +5 y = 8

Forme die Gerade zunächst um:

h:~-3x+5y-8=0h:−3x+5y−8=0h:~-3x+5y-8=0

Für den Betrag des Normalenvektors gilt:

\left| \vec{n} \right|=\left|\begin{pmatrix} -3 \\ 5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(5)^2}∣n⃗∣=∣(−35)∣=(−3)2+(5)2\left| \vec{n} \right|=\left|\begin{pmatrix} -3 \\ 5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(5)^2}= \sqrt{9+25} = \underline{\underline{\sqrt{34}\textit{ LE}}}=9+25=34LE‾‾= \sqrt{9+25} = \underline{\underline{\sqrt{34}\textit{ LE}}}

Damit ergibt sich für die Hessesche Normalenform:

h:~\frac{1}{\sqrt{34}}\cdot[-3x+5y-8]=0h:134⋅[−3x+5y−8]=0h:~\frac{1}{\sqrt{34}}\cdot[-3x+5y-8]=0
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