Gemischte Zahlen & unechte Brüche

Ein Bruch heißt unechter Bruch (auch gemeiner Bruch), wenn sein Zähler größer oder gleich groß wie sein Nenner ist.


Erklärung

Unechte Brüche werden auch oft gemeine Brüche genannt und haben die Besonderheit, dass deren Zähler größer ist als der Nenner.

Zum Beispiel:

\implies \large\frac{\col[1]{13}}{\col[2]{8}} \quad \normalsize\textsf{ mit: }~ \col[1]{13}>\col[2]{8}138mit:13>8\implies \large\frac{\col[1]{13}}{\col[2]{8}} \quad \normalsize\textsf{ mit: }~ \col[1]{13}>\col[2]{8}

Du kannst dir die \col[1]{13}13\col[1]{13} Achtzehntel auch bildlich vorstellen und die einzelnen Teilchen auch zu einer gemischten Zahl zusammenfassen:

Wechsle die Anicht!
unechter Bruch
gemischte Zahl

Gemischte Zahlen und unechte Brüche sind immer größer oder gleich \bold{1}1\bold{1}.

Zum Beispiel:

\begin{aligned} &\cdot \quad \frac{1}{2} && \quad < 1 ~~ \rarr \textsf{ echter Bruch} \\[2mm] &\cdot \quad \frac{2}{2} =1 && \quad \geq 1 ~~ \rarr \textsf{ unechter Bruch} \\[2mm] &\cdot \quad \frac{3}{2} =1~\frac{1}{2} && \quad\geq 1 ~~ \rarr \textsf{ unechter Bruch} \end{aligned}12<1echterBruch22=11unechterBruch32=1121unechterBruch\begin{aligned} &\cdot \quad \frac{1}{2} && \quad < 1 ~~ \rarr \textsf{ echter Bruch} \\[2mm] &\cdot \quad \frac{2}{2} =1 && \quad \geq 1 ~~ \rarr \textsf{ unechter Bruch} \\[2mm] &\cdot \quad \frac{3}{2} =1~\frac{1}{2} && \quad\geq 1 ~~ \rarr \textsf{ unechter Bruch} \end{aligned}

Gemischte Zahlen setzen sich also immer aus einer natürlichen Zahl (die Ganzen) und einem Bruch (dem Rest) zusammen:

\boxed{ \large \underbrace{\col[4]{2} ~ \col[3]{\frac{2}{3}}}_{\textsf{gemischte Zahl}} = \underbrace{~\col[4]{2}~}_{\col[4]{ \textsf{natürliche Zahl}}} + \underbrace{\col[3]{\frac{2}{3}}}_{\col[3]{\textsf{Bruch}}} }223gemischteZahl=2natu¨rlicheZahl+23Bruch\boxed{ \large \underbrace{\col[4]{2} ~ \col[3]{\frac{2}{3}}}_{\textsf{gemischte Zahl}} = \underbrace{~\col[4]{2}~}_{\col[4]{ \textsf{natürliche Zahl}}} + \underbrace{\col[3]{\frac{2}{3}}}_{\col[3]{\textsf{Bruch}}} }\\\\

Gemischte Zahlen & unechte Brüche ineinander umwandeln

Du kannst einen unechten Bruch und eine gemischte Zahl jeweils ineinander umwandeln:

\boxed{ ~\underset{\textsf{unechter Bruch}}{\frac{8}{3}} \quad \leftrightarrows \quad \underset{\textsf{gemischte Zahl}}{2~ \frac{2}{3}}~ }83unechterBruch223gemischteZahl\boxed{ ~\underset{\textsf{unechter Bruch}}{\frac{8}{3}} \quad \leftrightarrows \quad \underset{\textsf{gemischte Zahl}}{2~ \frac{2}{3}}~ }

Unechter Bruch \huge \rarr\huge \rarr gemischte Zahl

Schreibe als gemischte Zahl: \quad \Large \frac{9}{4}94\quad \Large \frac{9}{4}

Klicke auf den Button.

Die \large \frac{9}{4}94\large \frac{9}{4} kannst du also umschreiben zu \col[4]{2}2\col[4]{2} Ganze und ein Viertel.
Du rechnest wie folgt:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Zuerst teilst du die \col[2]{9}9\col[2]{9} durch die \col[1]{4}4\col[1]{4} und erhätst dadurch \col[4]{2}2\col[4]{2} Rest 111:

\qquad \col[1]{9}:\col[2]{4}=\col[4]{2} ~~\text{ Rest } 19:4=2 Rest 1\qquad \col[1]{9}:\col[2]{4}=\col[4]{2} ~~\text{ Rest } 1

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Das schreibst du nun als gemischte Zahl auf: Die Ganze kommen als natürliche Zahl nach vorne und der Rest bleibt im Zähler stehen.

\qquad \frac{\col[1]{9}}{\col[2]{4}} ~=~ \lsg{\col[4]{2}~\frac{\col[1]{1}}{\col[2]{4}}}94=214\qquad \frac{\col[1]{9}}{\col[2]{4}} ~=~ \lsg{\col[4]{2}~\frac{\col[1]{1}}{\col[2]{4}}}\\\\

Gemischte Zahl \huge \rarr\huge \rarr unechter Bruch

Schreibe als Bruch: \quad 2 ~\Large \frac{2}{3}223\quad 2 ~\Large \frac{2}{3}

Klicke auf den Button.

Die zwei Ganze und zwei Drittel kannst du also umschrieben zu acht Drittel.

Du rechnest wie folgt:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Zuerst musst du dienatürliche Zahl mit dem Nenner multiplizieren

\qquad \col[4]{2} \cdot \col[2]{3} = \col[1]{6}23=6\qquad \col[4]{2} \cdot \col[2]{3} = \col[1]{6}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Danach zählst du das was herauskommt (hier \col[1]{6}6\col[1]{6}) zum Zähler dazu. Der Nenner bleibt gleich:

\qquad \col[4]{2}~\frac{\col[1]{2}}{\col[2]{3}} = \frac{ \col[1]{6}+\col[1]{2}}{\col[2]{3}} = \lsg{\frac{\col[1]{8}}{\col[2]{3}}}223=6+23=83\qquad \col[4]{2}~\frac{\col[1]{2}}{\col[2]{3}} = \frac{ \col[1]{6}+\col[1]{2}}{\col[2]{3}} = \lsg{\frac{\col[1]{8}}{\col[2]{3}}}

Beispiele

Unechter Bruch \Large \rarr\Large \rarr gemischte Zahl

Aufgabe:

Schreibe als gemischte Zahl: \quad \Large \frac{4}{3}43\quad \Large \frac{4}{3}

Lösung:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Zähler durch Nenner dividieren (mit Rest):

\quad \col[1]{ 4 } : \col[2]{ 3 } = \col[4]{ 1 } ~ \text{Rest} ~ 14:3=1 Rest 1\quad \col[1]{ 4 } : \col[2]{ 3 } = \col[4]{ 1 } ~ \text{Rest} ~ 1

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Notieren:

\quad \frac{\col[1]{ 4 }}{ \col[2]{ 3 }} = \lsg{ \col[4]{1} ~ \frac{\col[1]{ 1 }}{\col[2]{ 3 }} }43=113\quad \frac{\col[1]{ 4 }}{ \col[2]{ 3 }} = \lsg{ \col[4]{1} ~ \frac{\col[1]{ 1 }}{\col[2]{ 3 }} }\\\\

Gemischte Zahl \Large \rarr\Large \rarr unechter Bruch

Aufgabe:

Schreibe als Bruch: \quad 2 ~\Large \frac{2}{7}227\quad 2 ~\Large \frac{2}{7}

Lösung:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Natürliche Zahl mit dem Nenner multiplizieren

\qquad \col[4]{ 2 } \cdot \col[2]{ 7 } = \col[1]{ 14 }27=14\qquad \col[4]{ 2 } \cdot \col[2]{ 7 } = \col[1]{ 14 }

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Die \col[1]{ 14 }14\col[1]{ 14 } zum Zähler dazu addieren:

\qquad \col[4]{ 2 } ~ \frac{ \col[1]{ 2 } }{ \col[2]{ 7 }} = \frac{ \col[1]{ 14} + \col[1]{ 2 }}{ \col[2]{7}} = \lsg{ \frac{ \col[1]{ 16}}{ \col[2]{ 7}} }227=14+27=167\qquad \col[4]{ 2 } ~ \frac{ \col[1]{ 2 } }{ \col[2]{ 7 }} = \frac{ \col[1]{ 14} + \col[1]{ 2 }}{ \col[2]{7}} = \lsg{ \frac{ \col[1]{ 16}}{ \col[2]{ 7}} }
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