Brüche vergleichen

Brüche lassen sich, genauso wie die Ganzen Zahlen \ZZ\Z, hinsichtlich ihrer Größe vergleichen. Manchmal muss man die Brüche vorher noch erweitern oder kürzen, um sie besser vergleichen zu können.


Brüche mit gleichem Nenner vergleichen

Brüche, die den gleichen Nenner haben, sind also Anteile, deren Stücke gleich groß sind.

\frac{\col[1]{7}}{8}~; \quad \frac{\col[1]{9}}{8}~; \quad \frac{\col[1]{5}}{8} ~~ \rarr \col[1]{7} \textsf{ Achtel}, ~ \col[1]{9} \textsf{ Achtel},~ \col[1]{5} \textsf{ Achtel}78;98;587Achtel,9Achtel,5Achtel\frac{\col[1]{7}}{8}~; \quad \frac{\col[1]{9}}{8}~; \quad \frac{\col[1]{5}}{8} ~~ \rarr \col[1]{7} \textsf{ Achtel}, ~ \col[1]{9} \textsf{ Achtel},~ \col[1]{5} \textsf{ Achtel}

Um diese Brüche ihrer Größe nach zu ordnen, musst du also nur die **Zähler** vergleichen.

\col[1]{5} <\col[1]{7} < \col[1]{9}5<7<9\col[1]{5} <\col[1]{7} < \col[1]{9}, also gilt:

\lsg{\frac{\col[1]{5}}{8} < \frac{\col[1]{7}}{8} < \frac{\col[1]{9}}{8}} \quad \checkmark58<78<98\lsg{\frac{\col[1]{5}}{8} < \frac{\col[1]{7}}{8} < \frac{\col[1]{9}}{8}} \quad \checkmark\\\\

Brüche mit gleichem Zähler vergleichen

Brüche mit gleichem Zähler, haben gleich viele Stücke, aber ihre Größe ist unterschiedlich. Du musst hier also die **Nenner** vergleichen!

\frac{3}{\col[2]{7}}~; \quad \frac{3}{\col[2]{2}}~; \quad \frac{3}{\col[2]{10}} \quad \rarr 3\col[2]{\textsf{ Siebtel}}, ~ 3\col[2]{\textsf{ Halbe}}, ~ 3\col[2]{\textsf{ Zehntel}}37;32;3103Siebtel,3Halbe,3Zehntel\frac{3}{\col[2]{7}}~; \quad \frac{3}{\col[2]{2}}~; \quad \frac{3}{\col[2]{10}} \quad \rarr 3\col[2]{\textsf{ Siebtel}}, ~ 3\col[2]{\textsf{ Halbe}}, ~ 3\col[2]{\textsf{ Zehntel}}

Da Siebtel-Stücke ja kleiner sind als Halbe-Stücke, musst du bei der Ordnung hier gut aufpassen!

Zehntel <<< Siebtel <<< Halbe

\lsg{\frac{3}{\col[2]{10}} < \frac{3}{\col[2]{7}} < \frac{3}{\col[2]{2}}} \qquad \checkmark310<37<32\lsg{\frac{3}{\col[2]{10}} < \frac{3}{\col[2]{7}} < \frac{3}{\col[2]{2}}} \qquad \checkmark\\\\

Andere Brüche vergleichen

Wenn du nun Brüche vergleichen sollst, die weder den gleichen Nenner noch Zähler haben, ist das nicht so einfach:

\frac{2}{3} ~; \quad \frac{1}{6}~; \quad \frac{10}{12}23;16;1012\frac{2}{3} ~; \quad \frac{1}{6}~; \quad \frac{10}{12}

Hier musst du nun die Brüche so erweitern oder kürzen, dass sie den gleichen Nenner haben. Dafür bestimmst du aber zunächst den Hauptnenner über den \text{kgV}kgV\text{kgV}.

\small \fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\small \fcolorbox{white}{grey}{1.} Zuerst bestimmst du dafür den Hauptnenner, indem du das kleinste gemeinsame Vielfache (\text{kgV}kgV\text{kgV}) der Nenner berechnest:

\text{kgV}(3,6,12)=12kgV(3,6,12)=12\text{kgV}(3,6,12)=12

\small \fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\small \fcolorbox{white}{grey}{2.} Danach musst du die Brüche noch gleichnamig machen, also so erweitern, dass beide 121212 als Nenner haben.

\begin{alignedat}{3} & \overset{\cdot 4} \frown \\ \frac{2}{3} & = \frac{\col[1]{8}}{12} \\ & \underset{\cdot 4}\smile \end{alignedat} ~; \quad \begin{alignedat}{3} & \overset{\cdot 2} \frown \\ \frac{1}{6} & = \frac{\col[1]{2}}{12} \\ & \underset{\cdot 2}\smile \end{alignedat} ~; \quad \frac{\col[1]{10}}{12}423=8124;216=2122;1012\begin{alignedat}{3} & \overset{\cdot 4} \frown \\ \frac{2}{3} & = \frac{\col[1]{8}}{12} \\ & \underset{\cdot 4}\smile \end{alignedat} ~; \quad \begin{alignedat}{3} & \overset{\cdot 2} \frown \\ \frac{1}{6} & = \frac{\col[1]{2}}{12} \\ & \underset{\cdot 2}\smile \end{alignedat} ~; \quad \frac{\col[1]{10}}{12}

\small \fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\small \fcolorbox{white}{grey}{3.} Nun kannst du die Brüche wieder einfach vergleichen, indem du die Zähler vergleichst:

Es gilt: \col[1]{2}<\col[1]{8}<\col[1]{10}2<8<10\col[1]{2}<\col[1]{8}<\col[1]{10}, also:

\frac{\col[1]{2}}{12} < \frac{\col[1]{8}}{12} < \frac{\col[1]{10}}{12} ~\implies ~ \lsg{ \frac{1}{6} < \frac{2}{3} < \frac{10}{12} }212<812<101216<23<1012\frac{\col[1]{2}}{12} < \frac{\col[1]{8}}{12} < \frac{\col[1]{10}}{12} ~\implies ~ \lsg{ \frac{1}{6} < \frac{2}{3} < \frac{10}{12} }

Beispiele

Brüche mit gleichem Nenner vergleichen

Aufgabe

Vergleiche die Brüche. Setze <, >, =<,>,=<, >, =.

\frac{3}{5} \quad ? \quad \frac{7}{5}35?75\frac{3}{5} \quad ? \quad \frac{7}{5}

Lösung

Da \col[1]{3}<\col[1]{7}3<7\col[1]{3}<\col[1]{7} gilt:

\implies \lsg{\frac{\col[1]{3}}{5} < \frac{\col[1]{7}}{5}}35<75\implies \lsg{\frac{\col[1]{3}}{5} < \frac{\col[1]{7}}{5}}\\\\

Brüche mit gleichem Zähler vergleichen

Aufgabe

Vergleiche die Brüche. Setze <, >, =<,>,=<, >, =.

\frac{7}{9} \quad ? \quad \frac{7}{5}79?75\frac{7}{9} \quad ? \quad \frac{7}{5}

Lösung

Es gilt Neuntel <<< Fünftel, also gilt:

\lsg{\frac{7}{\col[2]{9}} < \frac{7}{\col[2]{5}}}79<75\lsg{\frac{7}{\col[2]{9}} < \frac{7}{\col[2]{5}}}\\\\

Verschiedene Brüche vergleichen

Aufgabe

Vergleiche die Brüche. Setze <, >, =<,>,=<, >, =.

\frac{6}{9} \quad ? \quad \frac{8}{12}69?812\frac{6}{9} \quad ? \quad \frac{8}{12}

Lösung

\small \fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\small \fcolorbox{white}{grey}{1.} Hauptnenner (\text{kgV}kgV\text{kgV}) bestimmen.

\quad \text{kgV}(9,12)=36kgV(9,12)=36\quad \text{kgV}(9,12)=36

\small \fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\small \fcolorbox{white}{grey}{2.} Brüche gleichnamig machen.

\quad \begin{alignedat}{3} & \overset{\cdot 4} \frown \\ \frac{6}{9} & = \frac{\col[1]{24}}{36} \\ & \underset{\cdot 4}\smile \end{alignedat} \quad \textsf{und} \quad \begin{alignedat}{3} & \overset{\cdot 3} \frown \\ \frac{8}{12} & = \frac{\col[1]{24}}{36} \\ & \underset{\cdot 3}\smile \end{alignedat} 469=24364und3812=24363\quad \begin{alignedat}{3} & \overset{\cdot 4} \frown \\ \frac{6}{9} & = \frac{\col[1]{24}}{36} \\ & \underset{\cdot 4}\smile \end{alignedat} \quad \textsf{und} \quad \begin{alignedat}{3} & \overset{\cdot 3} \frown \\ \frac{8}{12} & = \frac{\col[1]{24}}{36} \\ & \underset{\cdot 3}\smile \end{alignedat}

\small \fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\small \fcolorbox{white}{grey}{3.} Brüche vergleichen.

\quad \frac{\col[1]{24}}{36}=\frac{\col[1]{24}}{36} \quad \textsf{somit} \quad \lsg{\frac{6}{9} = \frac{8}{12} }2436=2436somit69=812\quad \frac{\col[1]{24}}{36}=\frac{\col[1]{24}}{36} \quad \textsf{somit} \quad \lsg{\frac{6}{9} = \frac{8}{12} }
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