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Brüche multiplizieren & dividieren

Um einen Bruch mit einem anderen Bruch zu multiplizieren, musst du nur jeweils die Nenner und Zähler multiplizieren.
Um einen Bruch durch einen anderen Bruch zu dividieren, musst du ihn mit dem Kehrbruch multiplizieren.

Erklärung

Brüche multiplizieren

Bei der Multiplikation von Brüchen ist es egal, ob du „Bruch-1 mal Bruch-2“ oder „Bruch-2 mal Bruch-1“ rechnest.

\underbrace{\frac{2}{3}}_{\textsf{Bruch 1}} \cdot \underbrace{\frac{1}{7}}_{\textsf{Bruch 2}} = \underbrace{\frac{1}{7}}_{\textsf{Bruch 2}} \cdot \underbrace{\frac{2}{3}}_{\textsf{Bruch 1}}

\underbrace{\frac{2}{3}}_{\textsf{Bruch 1}} \cdot \underbrace{\frac{1}{7}}_{\textsf{Bruch 2}} = \underbrace{\frac{1}{7}}_{\textsf{Bruch 2}} \cdot \underbrace{\frac{2}{3}}_{\textsf{Bruch 1}}

Um einen Bruch mit einem anderen Bruch zu multiplizieren, rechnest du einfach Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler.

\boxed{ \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \cdot \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}} = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}\cdot \col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}} \cdot \col[2]{\textsf{Nenner 2}}} }

\boxed{ \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \cdot \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}} = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}\cdot \col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}} \cdot \col[2]{\textsf{Nenner 2}}} }

Beispiel:

Mai möchte folgende Rechnung lösen:

\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}= ~?

\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}= ~?

Sie malt sich die Anteile auf zwei leere Blätter und multipliziert sie, indem sie die Blätter aufeinander legt und den Anteil ermittelt, der doppelt gefärbt ist.
Welches Ergebnis erhält Mai?

Verschiebe den Regler.

Rechnung

\rarr $\rarr$ Mai erhält \Large\frac{3}{12} $\Large\frac{3}{12}$ als Ergebnis.

Achtung: Das Ergebnis lässt sich nun noch kürzen: \Large\frac{3}{12}=\lsg{\frac{1}{4}} $\Large\frac{3}{12}=\lsg{\frac{1}{4}}$

Weitere Beispiele:

\textsf{a)} ~ \frac{\col[1]{3}}{\col[2]{4} } \cdot \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{7}} = \frac{\col[1]{3 \cdot 5}}{\col[2]{4 \cdot 7}} = \lsg{\frac{15}{28}}

\textsf{a)} ~ \frac{\col[1]{3}}{\col[2]{4} } \cdot \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{7}} = \frac{\col[1]{3 \cdot 5}}{\col[2]{4 \cdot 7}} = \lsg{\frac{15}{28}}

\textsf{b)} ~ \frac{\col[1]{7}}{\col[2]{11} } \cdot \frac{\col[1]{6}}{\col[2]{9}} = \frac{\col[1]{7 \cdot 6}}{\col[2]{11 \cdot 9}} = \begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:3} \frown} \\ \frac{42}{99} & = \lsg{\frac{14}{33}} && \\ & \col[5]{\underset{:3}\smile} \end{alignedat}

\textsf{b)} ~ \frac{\col[1]{7}}{\col[2]{11} } \cdot \frac{\col[1]{6}}{\col[2]{9}} = \frac{\col[1]{7 \cdot 6}}{\col[2]{11 \cdot 9}} = \begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:3} \frown} \\ \frac{42}{99} & = \lsg{\frac{14}{33}} && \\ & \col[5]{\underset{:3}\smile} \end{alignedat}

\textsf{c)} ~ 2 ~\frac{\col[1]{7}}{\col[2]{12} } \cdot \frac{\col[1]{2}}{\col[2]{3}} = \frac{\col[1]{31}}{\col[2]{12} } \cdot \frac{\col[1]{2}}{\col[2]{3}} = \frac{\col[1]{31 \cdot 2}}{\col[2]{12 \cdot 3}} = \begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:2} \frown} \\ \frac{62}{36} & = \frac{31}{18} && \\ & \col[5]{\underset{:2}\smile} \end{alignedat} =\lsg{1~\frac{13}{18}}

\textsf{c)} ~ 2 ~\frac{\col[1]{7}}{\col[2]{12} } \cdot \frac{\col[1]{2}}{\col[2]{3}} = \frac{\col[1]{31}}{\col[2]{12} } \cdot \frac{\col[1]{2}}{\col[2]{3}} = \frac{\col[1]{31 \cdot 2}}{\col[2]{12 \cdot 3}} = \begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:2} \frown} \\ \frac{62}{36} & = \frac{31}{18} && \\ & \col[5]{\underset{:2}\smile} \end{alignedat} =\lsg{1~\frac{13}{18}}

Gemischte Zahlen solltest du hier immer in einen Bruch umwandeln. Das Ergebnis kannst du dann wieder kürzen und als gemischte Zahl schreiben.

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Brüche dividieren

Um einen Bruch durch einen anderen Bruch zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchs multiplizieren.

\boxed{ \begin{aligned} \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \col[3]{:} \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}} & = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \col[3]{\cdot} \frac{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}}{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}} & = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}} \cdot \col[2]{\textsf{Nenner 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}\cdot \col[1]{\textsf{Zähler 2}}} \end{aligned} }

\boxed{ \begin{aligned} \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \col[3]{:} \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}} & = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}} \col[3]{\cdot} \frac{\col[2]{\textsf{Nenner 2}}}{\col[1]{\textsf{Zähler 2}}} & = \frac{\col[1]{\textsf{Zähler 1}} \cdot \col[2]{\textsf{Nenner 2}}}{\col[2]{\textsf{Nenner 1}}\cdot \col[1]{\textsf{Zähler 2}}} \end{aligned} }

Beispiel:

Mai möchte die Rechnung \Large \frac{2}{5} : \frac{3}{7}= ~? $\Large \frac{2}{5} : \frac{3}{7}= ~?$ lösen.

Sie rechnet folgendermaßen:

Verschiebe den Regler.

Rechnung

\rarr $\rarr$ Mai erhält also \Large \frac{14}{15} $\Large \frac{14}{15}$ als Ergebnis. Das lässt sich auch nicht weiter vereinfachen oder kürzen.

Weitere Beispiele:

\textsf{a)} ~ \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{7} } : \frac{\col[1]{3}}{\col[2]{4}} = \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{7} } \cdot \frac{\col[2]{4}}{\col[1]{3}} = \frac{\col[1]{5} \cdot \col[2]{4}}{\col[2]{7} \cdot \col[1]{3}} = \lsg{\frac{20}{21}}

\textsf{a)} ~ \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{7} } : \frac{\col[1]{3}}{\col[2]{4}} = \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{7} } \cdot \frac{\col[2]{4}}{\col[1]{3}} = \frac{\col[1]{5} \cdot \col[2]{4}}{\col[2]{7} \cdot \col[1]{3}} = \lsg{\frac{20}{21}}

\textsf{b)} ~ \frac{\col[1]{9}}{\col[2]{15} } : \frac{\col[1]{3}}{\col[2]{5}} = \frac{\col[1]{9}}{\col[2]{15} } \cdot \frac{\col[2]{5}}{\col[1]{3}} = \frac{\col[1]{9} \cdot \col[2]{5}}{\col[2]{15} \cdot \col[1]{3}} = \frac{45}{45} = \lsg{1}

\textsf{b)} ~ \frac{\col[1]{9}}{\col[2]{15} } : \frac{\col[1]{3}}{\col[2]{5}} = \frac{\col[1]{9}}{\col[2]{15} } \cdot \frac{\col[2]{5}}{\col[1]{3}} = \frac{\col[1]{9} \cdot \col[2]{5}}{\col[2]{15} \cdot \col[1]{3}} = \frac{45}{45} = \lsg{1}

\textsf{c)} ~ 3~\frac{\col[1]{7}}{\col[2]{11} } : \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{6}} = \frac{\col[1]{40}}{\col[2]{11} } : \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{6}} = \frac{\col[1]{40}}{\col[2]{11} } \cdot \frac{\col[2]{6}}{\col[1]{5}} = \frac{\col[1]{40} \cdot \col[2]{6}}{\col[2]{11} \cdot \col[1]{5}} = \begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:5} \frown} \\ \frac{240}{55} & = \frac{48}{11} && \\ & \col[5]{\underset{:5}\smile} \end{alignedat} = \lsg{4~\frac{4}{11}}

\textsf{c)} ~ 3~\frac{\col[1]{7}}{\col[2]{11} } : \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{6}} = \frac{\col[1]{40}}{\col[2]{11} } : \frac{\col[1]{5}}{\col[2]{6}} = \frac{\col[1]{40}}{\col[2]{11} } \cdot \frac{\col[2]{6}}{\col[1]{5}} = \frac{\col[1]{40} \cdot \col[2]{6}}{\col[2]{11} \cdot \col[1]{5}} = \begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:5} \frown} \\ \frac{240}{55} & = \frac{48}{11} && \\ & \col[5]{\underset{:5}\smile} \end{alignedat} = \lsg{4~\frac{4}{11}}

Wandle auch hier gemischte Zahlen zum rechnen in einen Bruch um und schreibe dann das Ergebnis wieder als gemischte Zahl.

Beispiele

Brüche multiplizieren

Aufgabe

Wie viel ist das? Gib als Bruch an.

Ein Drittel von einer halben Stunde

Lösung

Ein Drittel von einer halben Stunde berechnest du wie folgt:

\frac{1}{3} \col[3]{\cdot} \frac{1}{2}\text{ h} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2}\text{ h} =\lsg{\frac{1}{6}\text{ h}}

\frac{1}{3} \col[3]{\cdot} \frac{1}{2}\text{ h} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2}\text{ h} =\lsg{\frac{1}{6}\text{ h}}

Brüche dividieren

Aufgabe

Mai möchte \large \frac{3}{4} \text{ l} $\large \frac{3}{4} \text{ l}$ Wasser in Gläser füllen, die ein Fassungsvermögen von \large \frac{1}{4} \text{ l} $\large \frac{1}{4} \text{ l}$ haben.

Wie viele Gläser kann Mai füllen?

Lösung

Schiebe den Regler.

Rechnung

Rechnung:

\frac{3}{4} : \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{1}=\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 1}=\frac{12}{4}=\lsg{3}

\frac{3}{4} : \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{1}=\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 1}=\frac{12}{4}=\lsg{3}

\rarr $\rarr$ Mai kann 3 $3$ Gläser füllen.

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