Brüche erweitern & kürzen

Brüche kann man erweitern und kürzen, indem man den Zähler und Nenner des Bruchs mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert. Der Wert des Bruchs bleibt dabei immer gleich.


Erklärung

Brüche kann man erweitern und kürzen. Das kannst du dir vorstellen wie verfeinern und vergröbern.

Klicke auf die Buttons.

Der Wert des Bruchs bleibt beim Erweitern und Kürzen immer gleich!

Erweitern (Verfeinern)

Um einen Bruch rechnerisch zu erweitern, musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der Erweiterungszahl multiplizieren.

Zum Beispiel:

  • \large \frac{3}{4}34\large \frac{3}{4} mit \col[5]{3}3\col[5]{3} erweitern:
\qquad \frac{3\col[5]{\cdot 3}}{4\col[5]{\cdot 3}}=\frac{9}{12}3343=912\qquad \frac{3\col[5]{\cdot 3}}{4\col[5]{\cdot 3}}=\frac{9}{12}
  • 3~ \large \frac{4}{6}3463~ \large \frac{4}{6} mit \col[5]{5}5\col[5]{5} erweitern:
\qquad 3~\frac{4\col[5]{\cdot 5}}{6\col[5]{\cdot 5}}=3~\frac{20}{30}34565=32030\qquad 3~\frac{4\col[5]{\cdot 5}}{6\col[5]{\cdot 5}}=3~\frac{20}{30}

\qquad ~ \rarr\qquad ~ \rarr Die Ganzen bleiben beim Erweitern gleich!

Kürzen (Vergröbern)

Um einen Bruch rechnerisch zu kürzen, musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner durch die Kürzungszahl dividieren.

Zum Beispiel:

  • \large \frac{8}{10}810\large \frac{8}{10} mit \col[5]{2}2\col[5]{2} kürzen:
\qquad \frac{8\col[5]{:2}}{10\col[5]{:2}}=\frac{4}{5}8:210:2=45\qquad \frac{8\col[5]{:2}}{10\col[5]{:2}}=\frac{4}{5}
  • 2~\large \frac{12}{36}212362~\large \frac{12}{36} mit \col[5]{6}6\col[5]{6} kürzen:
\qquad 2~\frac{12\col[5]{:6}}{36\col[5]{:6}}=2~\frac{2}{6}212:636:6=226\qquad 2~\frac{12\col[5]{:6}}{36\col[5]{:6}}=2~\frac{2}{6}

\qquad ~ \rarr\qquad ~ \rarr Die Ganzen bleiben auch beim Kürzen gleich!

Vollständig Kürzen

Um einen Bruch vollständig zu kürzen hast du zwei Möglichkeiten:

  • Entweder kürzt du den Bruch direkt mit der größtmöglichen Zahl, also dem größten, gemeinsamen Teiler (\text{ggT}ggT\text{ggT}) von Nenner und Zähler.

  • Oder du kürzt schrittweise bis es nichts mehr zu kürzen gibt.

Wir zeigen dir beide Varianten:

Aufgabe: Kürze den Bruch vollständig:

\qquad \qquad \frac{12}{36} 1236\qquad \qquad \frac{12}{36}

Vollständig Kürzen mit dem \text{ggT}ggT\text{ggT}:

Bei der ersten Variante kürzt du den Bruch einfach mit dem größten gemeinsamen Teiler (\text{ggT}ggT\text{ggT}) vom Zähler (hier 121212) und Nenner (hier 363636) des Bruchs.

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Dafür musst du zunächt aber den \text{ggT}(12,36)ggT(12,36)\text{ggT}(12,36) bestimmen. Schreibe dir dazu erst einmal alle Teiler von 121212 und 363636 auf:

\begin{aligned} \quad & \text{T}(12)=\{ 1,2,3,4,6, \col[5]{12} \}\\ & \text{T}(36)=\{ 1,2,3,4,6,9, \col[5]{12}, 18, 36 \} \\[1mm] & \implies \col[5]{\text{ggT}(12,36)=\lsg{12}} \end{aligned}T(12)={1,2,3,4,6,12}T(36)={1,2,3,4,6,9,12,18,36}ggT(12,36)=12\begin{aligned} \quad & \text{T}(12)=\{ 1,2,3,4,6, \col[5]{12} \}\\ & \text{T}(36)=\{ 1,2,3,4,6,9, \col[5]{12}, 18, 36 \} \\[1mm] & \implies \col[5]{\text{ggT}(12,36)=\lsg{12}} \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Danach kürzt du einfach den Bruch mit dem errechneten \col[5]{\text{ggT}}ggT\col[5]{\text{ggT}}:

\quad \frac{12\col[5]{:12}}{36\col[5]{:12}}=\frac{1}{3}12:1236:12=13\quad \frac{12\col[5]{:12}}{36\col[5]{:12}}=\frac{1}{3}\\\\

Vollständig Kürzen - Schritt für Schritt:

Wenn du keine Lust hast, den \text{ggT}ggT\text{ggT} zu berechnen, kannst du auch einfach schrittweise kürzen, indem du immer mit irgendeinen gemeinsamen Teiler von Nenner und Zähler kürzt, bis es nicht mehr weiter geht.

Du kürzt also beispielsweise zuerst mit der \col[5]{2}2\col[5]{2}, dann mit der \col[5]{3}3\col[5]{3} und zum Schluss nochmal mit der \col[5]{2}2\col[5]{2}:

\begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:2} \frown} && \col[5]{\overset{:3} \frown} && \col[5]{\overset{:2} \frown} \\ \frac{12}{36} & = \frac{6}{18} && = \frac{2}{6} && = \lsg{\frac{1}{3}} \\ & \col[5]{\underset{:2}\smile} && \col[5]{\underset{:3}\smile} && \col[5]{\underset{:2}\smile} \end{alignedat}:2:3:21236=618=26=13:2:3:2\begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:2} \frown} && \col[5]{\overset{:3} \frown} && \col[5]{\overset{:2} \frown} \\ \frac{12}{36} & = \frac{6}{18} && = \frac{2}{6} && = \lsg{\frac{1}{3}} \\ & \col[5]{\underset{:2}\smile} && \col[5]{\underset{:3}\smile} && \col[5]{\underset{:2}\smile} \end{alignedat}

Die \large \frac{1}{3}13\large \frac{1}{3} lässt sich nun nicht mehr weiter kürzen, da die 111 und die 333 keinen gemeinsamen Teiler (außer die 111) haben. Du bist also fertig!


Beispiele

Erweitern

Aufgabe:

Erweitere mit \col[5]{3}3\col[5]{3}.

\frac{2}{5}25\frac{2}{5}

Lösung:

\frac{2 \col[5]{\cdot 3}}{5\col[5]{\cdot 3}} = \lsg{\frac{6}{15}}2353=615\frac{2 \col[5]{\cdot 3}}{5\col[5]{\cdot 3}} = \lsg{\frac{6}{15}}\\\\

Kürzen

Aufgabe:

Kürze mit \col[5]{4}4\col[5]{4}.

\frac{16}{24}1624\frac{16}{24}

Lösung:

\frac{16\col[5]{: 4}}{24\col[5]{:4}}= \lsg{ \frac{4}{6}}16:424:4=46\frac{16\col[5]{: 4}}{24\col[5]{:4}}= \lsg{ \frac{4}{6}}\\\\

Erweiterungszahl finden

Aufgabe:

Mit welcher Zahl wurde erweitert?

\frac{7}{12}=\frac{28}{48}712=2848\frac{7}{12}=\frac{28}{48}

Lösung:

Für den Zähler musst du herausfinden:

7 \col[5]{ \cdot \square}=28 ~~\rarr~~ 28:7=\lsg{\col[5]{ 4 }}7=2828:7=47 \col[5]{ \cdot \square}=28 ~~\rarr~~ 28:7=\lsg{\col[5]{ 4 }}

Überprüfe nun mit dem Nenner:

12 \col[5]{\cdot 4 }= 48 \quad \checkmark124=4812 \col[5]{\cdot 4 }= 48 \quad \checkmark

\implies\implies Es wurde also mit \col[5]{ 4 }4\col[5]{ 4 } erweitert, denn es gilt:

\frac{ 7 \col[5]{\cdot 4 }}{12 \col[5]{\cdot 4 }} =\frac{ 28 }{ 48 } \quad \checkmark74124=2848\frac{ 7 \col[5]{\cdot 4 }}{12 \col[5]{\cdot 4 }} =\frac{ 28 }{ 48 } \quad \checkmark\\\\

Kürzungszahl finden

Aufgabe:

Mit welcher Zahl wurde gekürzt?

\frac{32}{40}=\frac{16}{20}3240=1620\frac{32}{40}=\frac{16}{20}

Lösung:

Für den Zähler musst du herausfinden:

32 \col[5]{ : \square }=16 ~~\rarr~~ 32 : 16=\lsg{\col[5]{ 2 }}32:=1632:16=232 \col[5]{ : \square }=16 ~~\rarr~~ 32 : 16=\lsg{\col[5]{ 2 }}

Überprüfe nun mit dem Nenner:

40 \col[5]{: 2 }= 20 \quad \checkmark40:2=2040 \col[5]{: 2 }= 20 \quad \checkmark

\implies\implies Es wurde also mit \col[5]{ 2 }2\col[5]{ 2 } gekürzt, denn es gilt:

\frac{ 32 \col[5]{: 2 }}{40 \col[5]{: 2 }} =\frac{ 16 }{ 20 } \quad \checkmark32:240:2=1620\frac{ 32 \col[5]{: 2 }}{40 \col[5]{: 2 }} =\frac{ 16 }{ 20 } \quad \checkmark\\\\

Vollständig kürzen

Aufgabe:

Kürze den Bruch vollständig:

\frac{12}{60}1260\frac{12}{60}\\\\

Lösung 1 (\text{ggT}ggT\text{ggT}):

\fcolorbox{white}{grey}{1.} ~~ \text{ggT}1. ggT\fcolorbox{white}{grey}{1.} ~~ \text{ggT} bestimmen

\quad \text{T}( 12 )= \lbrace 1,2,3,4,6,\col[5]{12} \rbraceT(12)={1,2,3,4,6,12}\quad \text{T}( 12 )= \lbrace 1,2,3,4,6,\col[5]{12} \rbrace\quad \text{T}( 60 )= \lbrace 1,2,3,4,5,6,10,\col[5]{12},15,20,30,60 \rbraceT(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\quad \text{T}( 60 )= \lbrace 1,2,3,4,5,6,10,\col[5]{12},15,20,30,60 \rbrace\quad \implies \text{ggT}( 12, 60 )= \col[5]{12}ggT(12,60)=12\quad \implies \text{ggT}( 12, 60 )= \col[5]{12}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} mit \text{ggT}ggT\text{ggT} kürzen:

\quad \frac{ 12 : \col[5]{12} }{ 60 : \col[5]{12} } = \lsg{ \frac{ 1 }{ 5 } }12:1260:12=15\quad \frac{ 12 : \col[5]{12} }{ 60 : \col[5]{12} } = \lsg{ \frac{ 1 }{ 5 } }\\\\

Lösung 2 (schrittweise):

Du kannst auch, ohne den \text{ggT}ggT\text{ggT} zu bestimmen, vollständig kürzen: Kürze dafür einfach Schritt für Schritt, bis du nicht mehr weiter kürzen kannst:

\begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:2} \frown} && \col[5]{\overset{:2} \frown} && \col[5]{\overset{:3} \frown} \\ \frac{12}{60} & = \frac{6}{30} && = \frac{3}{15} && = \lsg{\frac{1}{5}} \\ & \col[5]{\underset{:2}\smile} && \col[5]{\underset{:2}\smile} && \col[5]{\underset{:3}\smile} \end{alignedat}:2:2:31260=630=315=15:2:2:3\begin{alignedat}{3} & \col[5]{\overset{:2} \frown} && \col[5]{\overset{:2} \frown} && \col[5]{\overset{:3} \frown} \\ \frac{12}{60} & = \frac{6}{30} && = \frac{3}{15} && = \lsg{\frac{1}{5}} \\ & \col[5]{\underset{:2}\smile} && \col[5]{\underset{:2}\smile} && \col[5]{\underset{:3}\smile} \end{alignedat}
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