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Abstand zwischen Gerade und Ebene

Du beschäftigst dich im Matheunterricht gerade mit dem Thema Vektorgeometrie und hast den Sonderfall, dass du den Abstand von einer Gerade zu einer Ebene berechnen sollst?

Hierfür kannst du die Hessesche Normalenform oder einen Lotfußpunkt verwenden.

Was das ist und wie du den Abstand berechnest, zeigt dir simpleclub!

Abstand von einer Gerade zu einer Ebene einfach erklärt

Die Berechnung des Abstandes von einer Gerade zu einer Ebene macht nur Sinn, wenn die Gerade und die Ebene parallel zueinander sind, denn:

Der Abstand zwischen einer Ebene E $E$ und einer Geraden g $g$ , die

ineinander (g \subseteq E $g \subseteq E$ ) liegen, ist \bold{0} $\bold{0}$ .
sich schneiden (g \cap E\neq \emptyset $g \cap E\neq \emptyset$ ), ist \bold{0} $\bold{0}$ .
parallel zueinander sind (g || E $g || E$ ), ist der Abstand eines beliebigen Punktes auf g $g$ zur Ebene E $E$ .

Tippe auf die Flächen.

Relative Position

Abstand von einer Gerade zu einer Ebene Definition

Der Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene lässt sich nur sinnvoll berechnen, wenn die beiden Objekte parallel zueinander sind. Dann wird der Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden zur Ebene berechnet.

Vorgehensweise Abstand von einer Gerade zu einer Ebene berechnen

Wie in der Erklärung schon geschildert, kannst du bei der Berechnung des Abstandes von einer Geraden und einer Ebene (die parallel zueinander sind) einfach

zuvor einen beliebigen Punkt P $P$ auf der Geraden wählen und
dann die Schritte 1 bis 3 zur Berechnung des Abstandes von einem Punkt zur Ebene befolgen.
Es bleibt dir überlassen, ob du hier die Variante über das Lotfußpunkverfahren oder über die Hessesche Normalenform nimmst.

Beispiel Abstand von einer Gerade zu einer Ebene mit Lotfußpunktverfahren

Berechne den Abstand der parallelen Geraden g $g$ und der Ebene H $H$ .

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}+\mu \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}+\mu \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}

H:~3x+y+2z=4

H:~3x+y+2z=4

Schritt 0: Punkt \large P \in g $\large P \in g$ wählen

Als Punkt P $P$ nimmst du am besten den Punkt, auf den der Stützvektor der Geraden g $g$ zeigt, also den Aufpunkt. Der liegt sicher auf g $g$ :

\implies \col[2]{P(4|2|2)}

\implies \col[2]{P(4|2|2)}

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n} $\vec{n}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden l $l$ und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

Da die Ebene in Koordinatenform vorliegt, kannst du \col[1]{\vec{n}} $\col[1]{\vec{n}}$ einfach aus den Vorfaktoren vor x, y, z $x, y, z$ auslesen:

\begin{aligned} l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}} \\ l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} + s\cdot \col[1]{\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}} \end{aligned}

\begin{aligned} l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}} \\ l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} + s\cdot \col[1]{\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}} \end{aligned}

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Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) F $F$ von der Lotgeraden l $l$ mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden l $l$ in die Ebenengleichung ein.

\begin{aligned} & & 3x+y+2z &= 4 \\ & & 3\cdot(4+3s)+(2+1s)+2\cdot (2+2s) &= 4 \\ & & 12+9s+2+s+4+4s &= 4 \\ & & 18+14s&=4 && \quad \mid -18 \\ & & 14s&=-14 && \quad \mid :14 \\ & & \col[3]{s}&\col[3]{=-1} \end{aligned}

\begin{aligned} & & 3x+y+2z &= 4 \\ & & 3\cdot(4+3s)+(2+1s)+2\cdot (2+2s) &= 4 \\ & & 12+9s+2+s+4+4s &= 4 \\ & & 18+14s&=4 && \quad \mid -18 \\ & & 14s&=-14 && \quad \mid :14 \\ & & \col[3]{s}&\col[3]{=-1} \end{aligned}

Wenn du nun \col[3]{s=-1} $\col[3]{s=-1}$ in die Gleichung von l $l$ einsetzt, erhältst du den Ortsvektor des Lotfußpunkts F $F$ .

\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \col[3]{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix}\\[2mm] &=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \col[3]{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix}\\[2mm] &=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand d $d$ vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt F $F$ berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

\begin{aligned} d &= | \col[4]{\vec{PF}} |\\[2mm] &= |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}} | \\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &=\left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-2)^2} \\ &= \lsg{\sqrt{14} \text{ LE}} \end{aligned}

\begin{aligned} d &= | \col[4]{\vec{PF}} |\\[2mm] &= |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}} | \\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &=\left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-2)^2} \\ &= \lsg{\sqrt{14} \text{ LE}} \end{aligned}

Der Punkt P $P$ hat also einen Abstand von \sqrt{14} \text{ LE} $\sqrt{14} \text{ LE}$ zur Ebene E $E$ .

\implies $\implies$ Und damit hat auch die Gerade g $g$ einen Abstand von \sqrt{14} \text{ LE} $\sqrt{14} \text{ LE}$ zur Ebene H $H$ .

\\

\\

Beispiel mit Hesse'sche Normalenform

Berechne den Abstand von der Geraden f $f$ zur parallelen Ebene G $G$ .

f:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\-2\\2,5 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\2 \end{pmatrix}

f:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\-2\\2,5 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\2 \end{pmatrix}

G:~-2x+2y-5z=-4

G:~-2x+2y-5z=-4

Schritt 0: Punkt \large P \in f $\large P \in f$ wählen

Als Punkt P $P$ nimmst du am besten den Punkt, auf den der Stützvektor der Geraden f $f$ zeigt, also den Aufpunkt. Der liegt sicher auf f $f$ :

\implies \col[2]{P(2|-2|2,5)}

\implies \col[2]{P(2|-2|2,5)}

Schritt 1: Ebene in Koordinatenform

Zuerst musst du die Ebenengleichung in Koordinatenform umstellen, falls das nicht bereits der Fall ist.

Hier hast du aber Glück, denn die Ebene ist schon in Koordinatenform:

G: ~-2x+2y-5z=-4

G: ~-2x+2y-5z=-4

Schritt 2: Normalenvektor \large \vec{n} $\large \vec{n}$

Anschließend kannst du den Normalenvektor \vec{n} $\vec{n}$ ablesen, indem du bei der Koordinatenform die Faktoren vor den x, y, z $x, y, z$ abliest.

\implies \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-5\end{pmatrix}}

\implies \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-5\end{pmatrix}}

Schritt 3: Ebenengleichung umstellen

Du musst die Koordinatengleichung der Ebene so umstellen, dass "...=0" $"...=0"$ da steht.

\begin{aligned} & G: & ~-2x+2y-5z&=-4 && \quad \mid +4\\[2mm] & G: & ~ -2x+2y-5z+4 &=0 \quad \checkmark \end{aligned}

\begin{aligned} & G: & ~-2x+2y-5z&=-4 && \quad \mid +4\\[2mm] & G: & ~ -2x+2y-5z+4 &=0 \quad \checkmark \end{aligned}

Schritt 4: Abstand berechnen

Zum Schluss musst du nur noch den Punkt und die Ebene in die Hesse'sche Normalenform einsetzen und Abstand berechnen.

\begin{aligned} d&=\left| \frac{E}{|\vec{n}|} \right| =\left| \frac{-2\cdot \col[2]{2}+2\cdot (\col[2]{-2})-5\cdot \col[2]{2,5}+4}{\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\-5\end{pmatrix} \right|} \right| \\ \\ &=\left| \frac{-4-4-12,5+4}{\sqrt{(-2)^2+2^2+(-5)^2}} \right| \\[2mm] &=\left| \frac{-16,5}{\sqrt{33}} \right| \\[2mm] &=\frac{16,5}{\sqrt{33}} &&\quad \mid \text{mit 2 erweitern}\\[2mm] &=\frac{33}{2\cdot\sqrt{33}} && \quad \mid \text{33 umschreiben} \\[2mm] &=\frac{\sqrt{33}\cdot \cancel{\sqrt{33}}}{2\cdot\cancel{\sqrt{33}}} \\[2mm] &= \lsg{\frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE}} \end{aligned}

\begin{aligned} d&=\left| \frac{E}{|\vec{n}|} \right| =\left| \frac{-2\cdot \col[2]{2}+2\cdot (\col[2]{-2})-5\cdot \col[2]{2,5}+4}{\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\-5\end{pmatrix} \right|} \right| \\ \\ &=\left| \frac{-4-4-12,5+4}{\sqrt{(-2)^2+2^2+(-5)^2}} \right| \\[2mm] &=\left| \frac{-16,5}{\sqrt{33}} \right| \\[2mm] &=\frac{16,5}{\sqrt{33}} &&\quad \mid \text{mit 2 erweitern}\\[2mm] &=\frac{33}{2\cdot\sqrt{33}} && \quad \mid \text{33 umschreiben} \\[2mm] &=\frac{\sqrt{33}\cdot \cancel{\sqrt{33}}}{2\cdot\cancel{\sqrt{33}}} \\[2mm] &= \lsg{\frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE}} \end{aligned}

Der Punkt \col[2]{P} \in f $\col[2]{P} \in f$ hat also einen Abstand von \frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE} $\frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE}$ von der Ebene G $G$ .

\implies $\implies$ Und damit hat auch die Gerade f $f$ einen Abstand von \frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE} $\frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE}$ von der Ebene G $G$ .

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