Abstand zwischen Gerade und Ebene

Du beschäftigst dich im Matheunterricht gerade mit dem Thema Vektorgeometrie und hast den Sonderfall, dass du den Abstand von einer Gerade zu einer Ebene berechnen sollst?

Hierfür kannst du die Hessesche Normalenform oder einen Lotfußpunkt verwenden.

Was du das ist und wie den Abstand berechnest, zeigt dir simpleclub!


Abstand von einer Gerade zu einer Ebene einfach erklärt

Die Berechnung des Abstandes von einer Gerade zu einer Ebene macht nur Sinn, wenn die Gerade und die Ebene parallel zueinander sind, denn:

Der Abstand zwischen einer Ebene EEE und einer Geraden ggg, die

  • ineinander (g \subseteq EgEg \subseteq E) liegen, ist \bold{0}0\bold{0}.

  • sich schneiden (g \cap E\neq \emptysetgEg \cap E\neq \emptyset), ist \bold{0}0\bold{0}.

  • parallel zueinander sind (g || EgEg || E), ist der Abstand eines beliebigen Punktes auf ggg zur Ebene EEE.

Tippe auf die Flächen.

Abstand von einer Gerade zu einer Ebene Definition

Der Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene lässt sich nur sinnvoll berechnen, wenn die beiden Objekte parallel zueinander sind. Dann wird der Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden zur Ebene berechnet.

Vorgehensweise Abstand von einer Gerade zu einer Ebene berechnen

Wie in der Erklärung schon geschildert, kannst du bei der Berechnung des Abstandes von einer Geraden und einer Ebene (die parallel zueinander sind) einfach

  1. zuvor einen beliebigen Punkt PPP auf der Geraden wählen und
  2. dann die Schritte 1 bis 3 zur Berechnung des Abstandes von einem Punkt zur Ebene befolgen.
    Es bleibt dir überlassen, ob du hier die Variante über das Lotfußpunkverfahren oder über die Hessesche Normalenform nimmst.

Beispiel Abstand von einer Gerade zu einer Ebene mit Lotfußpunktverfahren

Berechne den Abstand der parallelen Geraden ggg und der Ebene HHH.

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}+\mu \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}g:x=(422)+μ(xyz)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}+\mu \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}H:~3x+y+2z=4H:3x+y+2z=4H:~3x+y+2z=4

Schritt 0: Punkt \large P \in gPg\large P \in g wählen

Als Punkt PPP nimmst du am besten den Punkt, auf den der Stützvektor der Geraden ggg zeigt, also den Aufpunkt. Der liegt sicher auf ggg:

\implies \col[2]{P(4|2|2)}P(422)\implies \col[2]{P(4|2|2)}

Schritt 1: Lotgerade \large ll\large l

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden lll und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

Da die Ebene in Koordinatenform vorliegt, kannst du \col[1]{\vec{n}}n\col[1]{\vec{n}} einfach aus den Vorfaktoren vor x, y, zx,y,zx, y, z auslesen:

\begin{aligned} l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}} \\ l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} + s\cdot \col[1]{\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}} \end{aligned}l:x=OP+snl:x=(422)+s(312)\begin{aligned} l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}} \\ l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} + s\cdot \col[1]{\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}} \end{aligned}

Schritt 2: Lotfußpunkt \large FF\large F

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) FFF von der Lotgeraden lll mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden lll in die Ebenengleichung ein.

\begin{aligned} & & 3x+y+2z &= 4 \\ & & 3\cdot(4+3s)+(2+1s)+2\cdot (2+2s) &= 4 \\ & & 12+9s+2+s+4+4s &= 4 \\ & & 18+14s&=4 && \quad \mid -18 \\ & & 14s&=-14 && \quad \mid :14 \\ & & \col[3]{s}&\col[3]{=-1} \end{aligned}3x+y+2z=43(4+3s)+(2+1s)+2(2+2s)=412+9s+2+s+4+4s=418+14s=41814s=14:14s=1\begin{aligned} & & 3x+y+2z &= 4 \\ & & 3\cdot(4+3s)+(2+1s)+2\cdot (2+2s) &= 4 \\ & & 12+9s+2+s+4+4s &= 4 \\ & & 18+14s&=4 && \quad \mid -18 \\ & & 14s&=-14 && \quad \mid :14 \\ & & \col[3]{s}&\col[3]{=-1} \end{aligned}

Wenn du nun \col[3]{s=-1}s=1\col[3]{s=-1} in die Gleichung von lll einsetzt, erhältst du den Ortsvektor des Lotfußpunkts FFF.

\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \col[3]{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix}\\[2mm] &=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}OF=(422)1(312)=(432122)=(110)\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \col[3]{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix}\\[2mm] &=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

Schritt 3: Abstand \large dd\large d

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand ddd vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt FFF berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

\begin{aligned} d &= | \col[4]{\vec{PF}} |\\[2mm] &= |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}} | \\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &=\left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-2)^2} \\ &= \lsg{\sqrt{14} \text{ LE}} \end{aligned}d=PF=OFOP=(110)(422)=(312)=(3)2+(1)2+(2)2=14 LE\begin{aligned} d &= | \col[4]{\vec{PF}} |\\[2mm] &= |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}} | \\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &=\left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-2)^2} \\ &= \lsg{\sqrt{14} \text{ LE}} \end{aligned}

Der Punkt PPP hat also einen Abstand von \sqrt{14} \text{ LE}14 LE\sqrt{14} \text{ LE} zur Ebene EEE.

\implies\implies Und damit hat auch die Gerade ggg einen Abstand von \sqrt{14} \text{ LE}14 LE\sqrt{14} \text{ LE} zur Ebene HHH.

\\\\

Beispiel mit Hesse'sche Normalenform

Berechne den Abstand von der Geraden fff zur parallelen Ebene GGG.

f:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\-2\\2,5 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\2 \end{pmatrix}f:x=(222,5)+λ(142)f:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\-2\\2,5 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\2 \end{pmatrix}G:~-2x+2y-5z=-4G:2x+2y5z=4G:~-2x+2y-5z=-4

Schritt 0: Punkt \large P \in fPf\large P \in f wählen

Als Punkt PPP nimmst du am besten den Punkt, auf den der Stützvektor der Geraden fff zeigt, also den Aufpunkt. Der liegt sicher auf fff:

\implies \col[2]{P(2|-2|2,5)}P(222,5)\implies \col[2]{P(2|-2|2,5)}

Schritt 1: Ebene in Koordinatenform

Zuerst musst du die Ebenengleichung in Koordinatenform umstellen, falls das nicht bereits der Fall ist.

Hier hast du aber Glück, denn die Ebene ist schon in Koordinatenform:

G: ~-2x+2y-5z=-4G:2x+2y5z=4G: ~-2x+2y-5z=-4

Schritt 2: Normalenvektor \large \vec{n}n\large \vec{n}

Anschließend kannst du den Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} ablesen, indem du bei der Koordinatenform die Faktoren vor den x, y, zx,y,zx, y, z abliest.

\implies \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-5\end{pmatrix}} n=(225)\implies \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-5\end{pmatrix}}

Schritt 3: Ebenengleichung umstellen

Du musst die Koordinatengleichung der Ebene so umstellen, dass "...=0""...=0""...=0" da steht.

\begin{aligned} & G: & ~-2x+2y-5z&=-4 && \quad \mid +4\\[2mm] & G: & ~ -2x+2y-5z+4 &=0 \quad \checkmark \end{aligned}G:2x+2y5z=4+4G:2x+2y5z+4=0\begin{aligned} & G: & ~-2x+2y-5z&=-4 && \quad \mid +4\\[2mm] & G: & ~ -2x+2y-5z+4 &=0 \quad \checkmark \end{aligned}

Schritt 4: Abstand berechnen

Zum Schluss musst du nur noch den Punkt und die Ebene in die Hesse'sche Normalenform einsetzen und Abstand berechnen.

\begin{aligned} d&=\left| \frac{E}{|\vec{n}|} \right| =\left| \frac{-2\cdot \col[2]{2}+2\cdot (\col[2]{-2})-5\cdot \col[2]{2,5}+4}{\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\-5\end{pmatrix} \right|} \right| \\ \\ &=\left| \frac{-4-4-12,5+4}{\sqrt{(-2)^2+2^2+(-5)^2}} \right| \\[2mm] &=\left| \frac{-16,5}{\sqrt{33}} \right| \\[2mm] &=\frac{16,5}{\sqrt{33}} &&\quad \mid \text{mit 2 erweitern}\\[2mm] &=\frac{33}{2\cdot\sqrt{33}} && \quad \mid \text{33 umschreiben} \\[2mm] &=\frac{\sqrt{33}\cdot \cancel{\sqrt{33}}}{2\cdot\cancel{\sqrt{33}}} \\[2mm] &= \lsg{\frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE}} \end{aligned}d=En=22+2(2)52,5+4(225)=4412,5+4(2)2+22+(5)2=16,533=16,533mit 2 erweitern=3323333 umschreiben=3333233=332 LE\begin{aligned} d&=\left| \frac{E}{|\vec{n}|} \right| =\left| \frac{-2\cdot \col[2]{2}+2\cdot (\col[2]{-2})-5\cdot \col[2]{2,5}+4}{\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\-5\end{pmatrix} \right|} \right| \\ \\ &=\left| \frac{-4-4-12,5+4}{\sqrt{(-2)^2+2^2+(-5)^2}} \right| \\[2mm] &=\left| \frac{-16,5}{\sqrt{33}} \right| \\[2mm] &=\frac{16,5}{\sqrt{33}} &&\quad \mid \text{mit 2 erweitern}\\[2mm] &=\frac{33}{2\cdot\sqrt{33}} && \quad \mid \text{33 umschreiben} \\[2mm] &=\frac{\sqrt{33}\cdot \cancel{\sqrt{33}}}{2\cdot\cancel{\sqrt{33}}} \\[2mm] &= \lsg{\frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE}} \end{aligned}

Der Punkt \col[2]{P} \in fPf\col[2]{P} \in f hat also einen Abstand von \frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE}332 LE\frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE} von der Ebene GGG.

\implies\implies Und damit hat auch die Gerade fff einen Abstand von \frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE}332 LE\frac{\sqrt{33}}{2} \text{ LE} von der Ebene GGG.

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