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Abstand zwischen Ebenen

Du hast in Mathe gerade das Thema Vektorgeometrie und hast den Sonderfall, dass du den Abstand von zwei Ebenen berechnen sollst?

Hierfür kannst du die Hessesche Normalenform oder einen Lotfußpunkt verwenden.

Wie du den Abstand von zwei Ebenen bestimmst, erklärt dir simpleclub!

Abstand von zwei Ebenen berechnen einfach erklärt

Die Berechnung des Abstandes zweier Ebenen macht nur Sinn, wenn die beiden Ebenen parallel zueinander sind, denn:

Der Abstand zwischen zwei Ebenen E_1 $E_1$ und E_2 $E_2$ , die

identisch (E_1 = E_2 $E_1 = E_2$ ) sind, ist \bold{0} $\bold{0}$ .
sich schneiden (E_1 \cap E_2\neq \emptyset $E_1 \cap E_2\neq \emptyset$ ), ist \bold{0} $\bold{0}$ .
parallel zueinander sind (E_1 || E_2 $E_1 || E_2$ ), ist der Abstand eines beliebigen Punktes P \in E_1 $P \in E_1$ zur anderen Ebene E_2 $E_2$ .

Beim Abstand zweier Objekte geht man immer von der kürzesten Strecke aus. Die ist hier bei zwei parallelen Ebenen überall gleich.

Number 1

parallel

identisch

geschnitten

Vorgehensweise Abstand von zwei Ebenen berechnen

Wie in der Erklärung schon geschildert, kannst du bei der Berechnung des Abstandes zweier Ebenen E_1 $E_1$ und E_2 $E_2$ (die parallel zueinander sind) einfach

zuvor einen beliebigen Punkt P $P$ auf einer der Ebenen wählen (z.B. P \in E_1 $P \in E_1$ ) und
dann die Schritte 1 bis 3 zur Berechnung des Abstandes von diesem Punkt P $P$ zur Ebene E_2 $E_2$ befolgen.
\implies $\implies$ Es bleibt dir überlassen, ob du hier die Variante über das Lotfußpunkverfahren oder über die Hesse'sche Normalenform nimmst.

Abstand von zwei Ebenen berechnen Definition

Der Abstand zwischen zwei Ebenen lässt sich nur sinnvoll berechnen, wenn die beiden Ebenen parallel zueinander sind. Dann wird der Abstand eines beliebigen Punktes P $P$ der einen Ebene zur anderen Ebene berechnet.

Beispiel Abstand von zwei Ebenen berechnen mit Lotfußpunktverfahren

Berechne den Abstand d $d$ der parallelen Ebenen G $G$ und H $H$ .

G:~6x+2y+4z=0

G:~6x+2y+4z=0

H:~3x+y+2z=4

H:~3x+y+2z=4

Schritt 0: Punkt \large P \in G $\large P \in G$ wählen

Um einen Punkt \col[2]{P(x|y|z)} \in G $\col[2]{P(x|y|z)} \in G$ zu bestimmen, legst du einfach zwei Koordinaten fest, also z.B. \col[2]{y=z=2} $\col[2]{y=z=2}$ und wählst \col[2]{x} $\col[2]{x}$ so, dass die Gleichung beim einsetzten in G $G$ stimmt:

\begin{aligned} 6 \col[2]{x} +2 \cdot \col[2]{2} +4 \cdot\col[2]{2}&=36 \\ 6 \col[2]{x}+12&=36 && \qquad \mid -12\\ 6 \col[2]{x}&=24 && \qquad \mid :6\\ \col[2]{x}&=4 \end{aligned}

\begin{aligned} 6 \col[2]{x} +2 \cdot \col[2]{2} +4 \cdot\col[2]{2}&=36 \\ 6 \col[2]{x}+12&=36 && \qquad \mid -12\\ 6 \col[2]{x}&=24 && \qquad \mid :6\\ \col[2]{x}&=4 \end{aligned}

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n} $\vec{n}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden l $l$ und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

Da die Ebene H $H$ in Koordinatenform vorliegt, kannst du \col[1]{\vec{n}} $\col[1]{\vec{n}}$ einfach aus den Vorfaktoren vor x, y, z $x, y, z$ auslesen:

\begin{aligned} l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}} \\ l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} + s\cdot \col[1]{\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}} \end{aligned}

\begin{aligned} l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}} \\ l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} + s\cdot \col[1]{\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}} \end{aligned}

Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) F $F$ von der Lotgeraden l $l$ mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden l $l$ in die Ebenengleichung ein.

\begin{aligned} & & 3x+y+2z &= 4 \\ & & 3\cdot(4+3s)+(2+1s)+2\cdot (2+2s) &= 4 \\ & & 12+9s+2+s+4+4s &= 4 \\ & & 18+14s&=4 && \quad \mid -18 \\ & & 14s&=-14 && \quad \mid :14 \\ & & \col[3]{s}&\col[3]{=-1} \end{aligned}

\begin{aligned} & & 3x+y+2z &= 4 \\ & & 3\cdot(4+3s)+(2+1s)+2\cdot (2+2s) &= 4 \\ & & 12+9s+2+s+4+4s &= 4 \\ & & 18+14s&=4 && \quad \mid -18 \\ & & 14s&=-14 && \quad \mid :14 \\ & & \col[3]{s}&\col[3]{=-1} \end{aligned}

Wenn du nun \col[3]{s=-1} $\col[3]{s=-1}$ in die Gleichung von l $l$ einsetzt, erhältst du den Ortsvektor des Lotfußpunkts F $F$ .

\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \col[3]{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix}\\[2mm] &=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \col[3]{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix}\\[2mm] &=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

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Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand d $d$ vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt F $F$ berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

\begin{aligned} d &= | \col[4]{\vec{PF}} |\\[2mm] &= |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}} | \\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &=\left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-2)^2} \\ &= \lsg{\sqrt{14} \text{ LE}} \end{aligned}

\begin{aligned} d &= | \col[4]{\vec{PF}} |\\[2mm] &= |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}} | \\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &=\left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-2)^2} \\ &= \lsg{\sqrt{14} \text{ LE}} \end{aligned}

Der Punkt P $P$ hat also einen Abstand von \sqrt{14} \text{ LE} $\sqrt{14} \text{ LE}$ zur Ebene H $H$ .

\implies $\implies$ Und damit hat auch die Ebene G $G$ einen Abstand von \sqrt{14} \text{ LE} $\sqrt{14} \text{ LE}$ zur Ebene H $H$ .

\\

\\

Beispiel Abstand von zwei Ebenen berechnen mit Hesse'scher Normalenform

Berechne den Abstand d $d$ der parallelen Ebenen E $E$ und F $F$ .

E:~-6x+3y+3z=3

E:~-6x+3y+3z=3

F:~-2x+y+z=3

F:~-2x+y+z=3

Schritt 0: Punkt \large P \in E $\large P \in E$ wählen

Um einen Punkt \col[2]{P(x|y|z)} \in E $\col[2]{P(x|y|z)} \in E$ zu bestimmen, setzt du einfach \col[2]{x=y=0} $\col[2]{x=y=0}$ und wählst \col[2]{z} $\col[2]{z}$ so, dass die Gleichung beim Einsetzen in E $E$ stimmt:

\begin{aligned} -6 \cdot \col[2]{0} +3 \cdot \col[2]{0} +3 \col[2]{z}&=3 \\ 3 \col[2]{z}&=3 \\ \col[2]{z}&=1 \end{aligned}

\begin{aligned} -6 \cdot \col[2]{0} +3 \cdot \col[2]{0} +3 \col[2]{z}&=3 \\ 3 \col[2]{z}&=3 \\ \col[2]{z}&=1 \end{aligned}

\implies \col[2]{P(0|0|1)}

\implies \col[2]{P(0|0|1)}

Schritt 1: Ebene in Koordinatenform

Zuerst musst du die Ebenengleichung in Koordinatenform umstellen, falls das nicht bereits der Fall ist.

Hier hast du aber Glück, denn die Ebene ist schon in Koordinatenform gegeben:

F:~-2x+y+z=3

F:~-2x+y+z=3

Schritt 2: Normalenvektor \large \vec{n} $\large \vec{n}$

Anschließend kannst du den Normalenvektor \vec{n} $\vec{n}$ ablesen, indem du bei der Koordinatenform die Faktoren vor den x, y, z $x, y, z$ abliest.

\implies \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}}

\implies \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}}

Schritt 3: Ebenengleichung umstellen

Du musst die Koordinatengleichung der Ebene so umstellen, dass "...=0" $"...=0"$ da steht.

\begin{aligned} & F: & ~-2x+y+z&=3 && \quad \mid -3\\[2mm] & F: & ~ -2x+y+z-3 &=0 \quad \checkmark \end{aligned}

\begin{aligned} & F: & ~-2x+y+z&=3 && \quad \mid -3\\[2mm] & F: & ~ -2x+y+z-3 &=0 \quad \checkmark \end{aligned}

Schritt 4: Abstand berechnen

Zum Schluss musst du nur noch den Punkt und die Ebene in die Hesse'sche Normalenform einsetzen und Abstand berechnen.

\begin{aligned} d&=\left| \frac{E}{|\vec{n}|} \right| =\left| \frac{-2\cdot \col[2]{0}+\col[2]{0}+ \col[2]{1}-3}{\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|} \right| \\ \\ &=\left| \frac{1-3}{\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} \right| \\[2mm] &=\left| \frac{-2}{\sqrt{6}} \right| \\[2mm] &=\lsg{\frac{2}{\sqrt{6}}\text{ LE}} \end{aligned}

\begin{aligned} d&=\left| \frac{E}{|\vec{n}|} \right| =\left| \frac{-2\cdot \col[2]{0}+\col[2]{0}+ \col[2]{1}-3}{\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|} \right| \\ \\ &=\left| \frac{1-3}{\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} \right| \\[2mm] &=\left| \frac{-2}{\sqrt{6}} \right| \\[2mm] &=\lsg{\frac{2}{\sqrt{6}}\text{ LE}} \end{aligned}

Der Punkt P $P$ hat also einen Abstand von \frac{2}{\sqrt{6}} \text{ LE} $\frac{2}{\sqrt{6}} \text{ LE}$ zur Ebene F $F$ .

\implies $\implies$ Und damit hat auch die Ebene E $E$ einen Abstand von \frac{2}{\sqrt{6}} \text{ LE} $\frac{2}{\sqrt{6}} \text{ LE}$ zur Ebene F $F$ .

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