Abstand zwischen Ebenen

Du hast in Mathe gerade das Thema Vektorgeometrie und hast den Sonderfall, dass du den Abstand von zwei Ebenen berechnen sollst?

Hierfür kannst du die Hessesche Normalenform oder einen Lotfußpunkt verwenden.

Wie du den Abstand von zwei Ebenen bestimmst, erklärt dir simpleclub!


Abstand von zwei Ebenen berechnen einfach erklärt

Die Berechnung des Abstandes zweier Ebenen macht nur Sinn, wenn die beiden Ebenen parallel zueinander sind, denn:

Der Abstand zwischen zwei Ebenen E_1E1E_1 und E_2E2E_2, die

  • identisch (E_1 = E_2E1=E2E_1 = E_2) sind, ist \bold{0}0\bold{0}.

  • sich schneiden (E_1 \cap E_2\neq \emptysetE1E2E_1 \cap E_2\neq \emptyset), ist \bold{0}0\bold{0}.

  • parallel zueinander sind (E_1 || E_2E1E2E_1 || E_2), ist der Abstand eines beliebigen Punktes P \in E_1PE1P \in E_1 zur anderen Ebene E_2E2E_2.

Beim Abstand zweier Objekte geht man immer von der kürzesten Strecke aus. Die ist hier bei zwei parallelen Ebenen überall gleich.

Tippe auf die Flächen.
parallel
identisch
geschnitten

Vorgehensweise Abstand von zwei Ebenen berechnen

Wie in der Erklärung schon geschildert, kannst du bei der Berechnung des Abstandes zweier Ebenen E_1E1E_1 und E_2E2E_2 (die parallel zueinander sind) einfach

  1. zuvor einen beliebigen Punkt PPP auf einer der Ebenen wählen (z.B. P \in E_1PE1P \in E_1) und
  2. dann die Schritte 1 bis 3 zur Berechnung des Abstandes von diesem Punkt PPP zur Ebene E_2E2E_2 befolgen.
    \implies\implies Es bleibt dir überlassen, ob du hier die Variante über das Lotfußpunkverfahren oder über die Hesse'sche Normalenform nimmst.

Abstand von zwei Ebenen berechnen Definition

Der Abstand zwischen zwei Ebenen lässt sich nur sinnvoll berechnen, wenn die beiden Ebenen parallel zueinander sind. Dann wird der Abstand eines beliebigen Punktes PPP der einen Ebene zur anderen Ebene berechnet.


Beispiel Abstand von zwei Ebenen berechnen mit Lotfußpunktverfahren

Berechne den Abstand ddd der parallelen Ebenen GGG und HHH.

G:~6x+2y+4z=0G:6x+2y+4z=0G:~6x+2y+4z=0H:~3x+y+2z=4H:3x+y+2z=4H:~3x+y+2z=4

Schritt 0: Punkt \large P \in GPG\large P \in G wählen

Um einen Punkt \col[2]{P(x|y|z)} \in GP(xyz)G\col[2]{P(x|y|z)} \in G zu bestimmen, legst du einfach zwei Koordinaten fest, also z.B. \col[2]{y=z=2}y=z=2\col[2]{y=z=2} und wählst \col[2]{x}x\col[2]{x} so, dass die Gleichung beim einsetzten in GGG stimmt:

\begin{aligned} 6 \col[2]{x} +2 \cdot \col[2]{2} +4 \cdot\col[2]{2}&=36 \\ 6 \col[2]{x}+12&=36 && \qquad \mid -12\\ 6 \col[2]{x}&=24 && \qquad \mid :6\\ \col[2]{x}&=4 \end{aligned}6x+22+42=366x+12=36126x=24:6x=4\begin{aligned} 6 \col[2]{x} +2 \cdot \col[2]{2} +4 \cdot\col[2]{2}&=36 \\ 6 \col[2]{x}+12&=36 && \qquad \mid -12\\ 6 \col[2]{x}&=24 && \qquad \mid :6\\ \col[2]{x}&=4 \end{aligned}

Schritt 1: Lotgerade \large ll\large l

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden lll und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

Da die Ebene HHH in Koordinatenform vorliegt, kannst du \col[1]{\vec{n}}n\col[1]{\vec{n}} einfach aus den Vorfaktoren vor x, y, zx,y,zx, y, z auslesen:

\begin{aligned} l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}} \\ l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} + s\cdot \col[1]{\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}} \end{aligned}l:x=OP+snl:x=(422)+s(312)\begin{aligned} l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}} \\ l: \quad \vec{x}&= \col[2]{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} + s\cdot \col[1]{\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}} \end{aligned}

Schritt 2: Lotfußpunkt \large FF\large F

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) FFF von der Lotgeraden lll mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden lll in die Ebenengleichung ein.

\begin{aligned} & & 3x+y+2z &= 4 \\ & & 3\cdot(4+3s)+(2+1s)+2\cdot (2+2s) &= 4 \\ & & 12+9s+2+s+4+4s &= 4 \\ & & 18+14s&=4 && \quad \mid -18 \\ & & 14s&=-14 && \quad \mid :14 \\ & & \col[3]{s}&\col[3]{=-1} \end{aligned}3x+y+2z=43(4+3s)+(2+1s)+2(2+2s)=412+9s+2+s+4+4s=418+14s=41814s=14:14s=1\begin{aligned} & & 3x+y+2z &= 4 \\ & & 3\cdot(4+3s)+(2+1s)+2\cdot (2+2s) &= 4 \\ & & 12+9s+2+s+4+4s &= 4 \\ & & 18+14s&=4 && \quad \mid -18 \\ & & 14s&=-14 && \quad \mid :14 \\ & & \col[3]{s}&\col[3]{=-1} \end{aligned}

Wenn du nun \col[3]{s=-1}s=1\col[3]{s=-1} in die Gleichung von lll einsetzt, erhältst du den Ortsvektor des Lotfußpunkts FFF.

\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \col[3]{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix}\\[2mm] &=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}OF=(422)1(312)=(432122)=(110)\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \col[3]{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix}\\[2mm] &=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

Schritt 3: Abstand \large dd\large d

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand ddd vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt FFF berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

\begin{aligned} d &= | \col[4]{\vec{PF}} |\\[2mm] &= |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}} | \\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &=\left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-2)^2} \\ &= \lsg{\sqrt{14} \text{ LE}} \end{aligned}d=PF=OFOP=(110)(422)=(312)=(3)2+(1)2+(2)2=14 LE\begin{aligned} d &= | \col[4]{\vec{PF}} |\\[2mm] &= |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}} | \\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &=\left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-2)^2} \\ &= \lsg{\sqrt{14} \text{ LE}} \end{aligned}

Der Punkt PPP hat also einen Abstand von \sqrt{14} \text{ LE}14 LE\sqrt{14} \text{ LE} zur Ebene HHH.

\implies\implies Und damit hat auch die Ebene GGG einen Abstand von \sqrt{14} \text{ LE}14 LE\sqrt{14} \text{ LE} zur Ebene HHH.

\\\\

Beispiel Abstand von zwei Ebenen berechnen mit Hesse'scher Normalenform

Berechne den Abstand ddd der parallelen Ebenen EEE und FFF.

E:~-6x+3y+3z=3E:6x+3y+3z=3E:~-6x+3y+3z=3F:~-2x+y+z=3F:2x+y+z=3F:~-2x+y+z=3

Schritt 0: Punkt \large P \in EPE\large P \in E wählen

Um einen Punkt \col[2]{P(x|y|z)} \in EP(xyz)E\col[2]{P(x|y|z)} \in E zu bestimmen, setzt du einfach \col[2]{x=y=0}x=y=0\col[2]{x=y=0} und wählst \col[2]{z}z\col[2]{z} so, dass die Gleichung beim Einsetzen in EEE stimmt:

\begin{aligned} -6 \cdot \col[2]{0} +3 \cdot \col[2]{0} +3 \col[2]{z}&=3 \\ 3 \col[2]{z}&=3 \\ \col[2]{z}&=1 \end{aligned}60+30+3z=33z=3z=1\begin{aligned} -6 \cdot \col[2]{0} +3 \cdot \col[2]{0} +3 \col[2]{z}&=3 \\ 3 \col[2]{z}&=3 \\ \col[2]{z}&=1 \end{aligned}\implies \col[2]{P(0|0|1)}P(001)\implies \col[2]{P(0|0|1)}

Schritt 1: Ebene in Koordinatenform

Zuerst musst du die Ebenengleichung in Koordinatenform umstellen, falls das nicht bereits der Fall ist.

Hier hast du aber Glück, denn die Ebene ist schon in Koordinatenform gegeben:

F:~-2x+y+z=3F:2x+y+z=3F:~-2x+y+z=3

Schritt 2: Normalenvektor \large \vec{n}n\large \vec{n}

Anschließend kannst du den Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} ablesen, indem du bei der Koordinatenform die Faktoren vor den x, y, zx,y,zx, y, z abliest.

\implies \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}} n=(211)\implies \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}}

Schritt 3: Ebenengleichung umstellen

Du musst die Koordinatengleichung der Ebene so umstellen, dass "...=0""...=0""...=0" da steht.

\begin{aligned} & F: & ~-2x+y+z&=3 && \quad \mid -3\\[2mm] & F: & ~ -2x+y+z-3 &=0 \quad \checkmark \end{aligned}F:2x+y+z=33F:2x+y+z3=0\begin{aligned} & F: & ~-2x+y+z&=3 && \quad \mid -3\\[2mm] & F: & ~ -2x+y+z-3 &=0 \quad \checkmark \end{aligned}

Schritt 4: Abstand berechnen

Zum Schluss musst du nur noch den Punkt und die Ebene in die Hesse'sche Normalenform einsetzen und Abstand berechnen.

\begin{aligned} d&=\left| \frac{E}{|\vec{n}|} \right| =\left| \frac{-2\cdot \col[2]{0}+\col[2]{0}+ \col[2]{1}-3}{\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|} \right| \\ \\ &=\left| \frac{1-3}{\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} \right| \\[2mm] &=\left| \frac{-2}{\sqrt{6}} \right| \\[2mm] &=\lsg{\frac{2}{\sqrt{6}}\text{ LE}} \end{aligned}d=En=20+0+13(211)=13(2)2+12+12=26=26 LE\begin{aligned} d&=\left| \frac{E}{|\vec{n}|} \right| =\left| \frac{-2\cdot \col[2]{0}+\col[2]{0}+ \col[2]{1}-3}{\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|} \right| \\ \\ &=\left| \frac{1-3}{\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} \right| \\[2mm] &=\left| \frac{-2}{\sqrt{6}} \right| \\[2mm] &=\lsg{\frac{2}{\sqrt{6}}\text{ LE}} \end{aligned}

Der Punkt PPP hat also einen Abstand von \frac{2}{\sqrt{6}} \text{ LE}26 LE\frac{2}{\sqrt{6}} \text{ LE} zur Ebene FFF.

\implies\implies Und damit hat auch die Ebene EEE einen Abstand von \frac{2}{\sqrt{6}} \text{ LE}26 LE\frac{2}{\sqrt{6}} \text{ LE} zur Ebene FFF.

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