Abstand windschiefer Geraden über Lotfußpunktverfahren

Du beschäftigst dich in Mathe gerade mit dem Thema Vektorgeometrie und sollst den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen?

Hierfür kannst du das Lotfußpunktverfahren verwenden.

simpleclub erklärt dir, wie das funktioniert!


Abstand zweier windschiefer Geraden mit Lotfußpunktverfahren einfach erklärt

Abstand zweier windschiefer Geraden mit Lotfußpunktverfahren Definition

Beim Lotfußpunktverfahren wird der Abstand zwischen zwei Geraden über ein Lot berechnet. Dies ist eine Gerade oder eine Strecke, die senkrecht auf beiden Geraden steht. Meistens wird ein Lotvektor verwendet.

Vorgehensweise Abstand zweier windschiefer Geraden mit Lotfußpunktverfahren berechnen

Um das Lot, was in diesem Fall gleichzeitig der kürzeste Abstand ist, zu erzeugen, musst du auf beiden Geraden einen Lotfußpunkt markieren.

Auf der Grafik siehst du, wie das Lot zwischen den beiden Geraden definiert ist und auf beiden Geraden senkrecht steht.

Schritt 1: Verbindungsvektor

Zuerst musst du den Verbindungsvektor \overrightarrow{ G H }GH\overrightarrow{ G H } zwischen den beiden Geraden ggg und hhh definieren, indem du die Geraden voneinander abziehst.

\overrightarrow{GH}=h-gGH=hg\overrightarrow{GH}=h-g

Schritt 2: Gleichungssystem

Danach stellst du mit der Bedingung, dass der Verbindungsvektor \overrightarrow{ G H }GH\overrightarrow{ G H } senkrecht zu beiden Richtungsvektoren \vec{u}u\vec{u} und \vec{v}v\vec{v} der Geraden steht, ein Gleichungssystem auf.
\implies\implies Wenn zwei Vektoren nämlich senkrecht aufeinander stehen, ist deren Skalarprodukt Null.

\textit{I.)}~~~~\overrightarrow{GH}\cdot\vec{u}=0I.)GHu=0\textit{I.)}~~~~\overrightarrow{GH}\cdot\vec{u}=0\textit{II.)}~~~\overrightarrow{GH}\cdot\vec{v}=0II.)GHv=0\textit{II.)}~~~\overrightarrow{GH}\cdot\vec{v}=0

Schritt 3: Lotvektor

Nun kannst du die Werte des Gleichungssystems in Verbindungsvektor \overrightarrow{ G H }GH\overrightarrow{ G H } einsetzen und damit den Lotvektor bestimmen.

\overrightarrow{GH} = \begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix} GH=(???)\overrightarrow{GH} = \begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}

Schritt 4: Abstand berechnen

Zum Schluss kannst du dann über den Betrag des erhaltenen Lotvektors den Abstand berechnen.

d= \left| \overrightarrow{GH} \right| =... d=GH=...d= \left| \overrightarrow{GH} \right| =...

Abstand zweier windschiefer Geraden mit Lotfußpunktverfahren Beispiel

Bestimme den Abstand der windschiefen Geraden ggg und hhh.

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}g:x=(101)+s(221)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}h:x=(431)+r(122)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}

Schritt 1: Verbindungsvektor

Zuerst musst du den Verbindungsvektor \overrightarrow{ G H }GH\overrightarrow{ G H } zwischen den beiden Geraden ggg und hhh definieren, indem du die Geraden voneinander abziehst.

\overrightarrow{GH}=h-g=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} - s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}GH=hg=(330)+r(122)s(221)\overrightarrow{GH}=h-g=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} - s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 2: Gleichungssystem

Danach stellst du mit der Bedingung, dass der Verbindungsvektor \overrightarrow{ G H }GH\overrightarrow{ G H } senkrecht zu beiden Richtungsvektoren \vec{u}u\vec{u} und \vec{v}v\vec{v} der Geraden steht, ein Gleichungssystem auf.
\implies\implies Wenn zwei Vektoren nämlich senkrecht aufeinander stehen, ist deren Skalarprodukt Null.

\textit{I.)}~~~~\overrightarrow{GH}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=0I.)GH(221)=0\textit{I.)}~~~~\overrightarrow{GH}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=0\textit{II.)}~~~\overrightarrow{GH}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}=0II.)GH(122)=0\textit{II.)}~~~\overrightarrow{GH}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}=0\Leftrightarrow\Leftrightarrow\textit{I.)}~~~~6+2r-4s+6-4r-4s+2r-s=0I.)6+2r4s+64r4s+2rs=0\textit{I.)}~~~~6+2r-4s+6-4r-4s+2r-s=0\textit{II.)}~~~3+r-2s-6+4r+4s+4r-2s=0II.)3+r2s6+4r+4s+4r2s=0\textit{II.)}~~~3+r-2s-6+4r+4s+4r-2s=0\Leftrightarrow\Leftrightarrow\textit{I.)}~~~~-9s=-12I.)9s=12\textit{I.)}~~~~-9s=-12\textit{II.)}~~~-9r=-3II.)9r=3\textit{II.)}~~~-9r=-3\implies \underline{s=\frac{4}{3}}; \underline{r=\frac{1}{3}}s=43;r=13\implies \underline{s=\frac{4}{3}}; \underline{r=\frac{1}{3}}

Schritt 3: Lotvektor

Nun kannst du die Werte des Gleichungssystems in Verbindungsvektor \overrightarrow{ G H }GH\overrightarrow{ G H } einsetzen und damit den Lotvektor bestimmen.

\overrightarrow{GH}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{4}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}GH=(330)+13(122)43(221)=13(212)\overrightarrow{GH}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{4}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}

Schritt 4: Abstand berechnen

Zum Schluss kannst du dann über den Betrag des erhaltenen Lotvektors den Abstand berechnen.

d=|\overrightarrow{GH}|\approx\underline{\underline{1\text{ LE}}}d=GH1 LEd=|\overrightarrow{GH}|\approx\underline{\underline{1\text{ LE}}}
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