Abstand windschiefer Geraden über Hilfsebene

Du hast in Mathe gerade das Thema Vektorgeometrie und sollst den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen?

Hierfür kannst du eine Hilfsebene verwenden.

simpleclub zeigt dir, wie das geht!


Abstand zweier windschiefer Geraden mit einer Hilfsebene berechnen einfach erklärt

Abstand zweier windschiefer Geraden mit einer Hilfsebene Definition

Du kannst den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden mit einer Hilfsebene berechnen. Dabei handelt es sich um eine Ebene, dessen Normalenvektor sich aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren zusammensetzt.

Vorgehensweise Abstand zweier windschiefer Geraden mit einer Hilfsebene berechnen

Auf der Grafik siehst du, wie die Hilfsebene geometrisch zu den Geraden steht.

Schritt 1: Normalenvektor mit den Richtungsvektoren der Geraden bestimmen.

Schritt 2: Ebene in Koordinatenform aufstellen, dabei errechneten Normalenvektor und Stützvektor einer der Geraden verwenden.

Schritt 3: Beliebigen Punkt der anderen Gerade auswählen und Abstand über Hessesche Normalform bestimmen.

Benutze die hessesche Normalform zur Berechnung des Abstands und setze die Ebene in Koordinatenform in folgende Gleichung ein:

d=|\frac{E}{|\vec{n}|}|d=End=|\frac{E}{|\vec{n}|}|

Als Punkt nimmst du den Stützvektor der Geraden, die du nicht für die Ebene verwendet hast.

Beachte, dass du die Ebenengleichung noch umstellen musst:

E: ax+by+cz+d=0E:ax+by+cz+d=0E: ax+by+cz+d=0

Abstand zweier windschiefer Geraden mit einer Hilfsebene Beispiel

Bestimme den Abstand der windschiefen Geraden g und h!

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}g:x=(723)+r(012)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}h:x=(333)+s(121)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Normalenvektor mit den Richtungsvektoren der Geraden bestimmen.

\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}u×v=(012)×(121)\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\cdot 1 - 2\cdot 2 \\ 2\cdot 1 - 0\cdot 1 \\ 0\cdot 2 - 1\cdot 1 \end{pmatrix}=(112221010211)= \begin{pmatrix} 1\cdot 1 - 2\cdot 2 \\ 2\cdot 1 - 0\cdot 1 \\ 0\cdot 2 - 1\cdot 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}=(321)= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}= \vec{n}=n= \vec{n}

Schritt 2: Ebene in Koordinatenform aufstellen, dabei errechneten Normalenvektor und Stützvektor einer der Geraden verwenden.

Verwende den Stützvektor von g.

E:~\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\right)=0E:(321)(x(723))=0E:~\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\right)=0\Leftrightarrow\LeftrightarrowE:~-3x+2y-z=28E:3x+2yz=28E:~-3x+2y-z=28

Schritt 3: Beliebigen Punkt der anderen Gerade auswählen und Abstand über Hessesche Normalform bestimmen.

Stelle die Ebenengleichung um:

E: -3x+2y-z-28=0E:3x+2yz28=0E: -3x+2y-z-28=0

Als Punkt verwendest du den Stützvektor von h.

P~(-3|-3|3)P(333)P~(-3|-3|3)\implies d=|\frac{-3x+2y-z-28}{|\begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}|}|d=3x+2yz28(321)\implies d=|\frac{-3x+2y-z-28}{|\begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}|}|\Leftrightarrow d(P;E)=|\frac{-3\cdot(-3)+2\cdot(-3)-3-28}{\sqrt{14}}|d(P;E)=3(3)+2(3)32814\Leftrightarrow d(P;E)=|\frac{-3\cdot(-3)+2\cdot(-3)-3-28}{\sqrt{14}}|\approx \underline{\underline{{7,4833 \text{ LE}}}}7,4833 LE\approx \underline{\underline{{7,4833 \text{ LE}}}}
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