Abstand Punkt von Gerade über Lotfußpunktverfahren

Du hast in Mathe gerade das Thema Vektorgeometrie und sollst den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden berechnen?

Hierfür kannst du das Lotfußpunktverfahren verwenden.

Was das ist und wie du es nutzt, zeigt dir simpleclub!


Abstand Punkt und Gerade über Lotfußpunktverfahren einfach erklärt

Abstand Punkt und Gerade über Lotfußpunkt Definition

Beim Lotfußpunktverfahren wird der Abstand zwischen Punkt und Gerade über ein Lot berechnet. Dies ist eine Gerade oder eine Strecke die senkrecht auf der Abstandsgeraden steht. Meistens wird ein Lotvektor verwendet.

Abstand Punkt und Gerade über Lotfußpunkt Vorgehensweise

Gegeben ist eine Gerade ggg und ein Punkt PPP.

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}g:x=(a1a2a3)+r(u1u2u3)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}

bzw.

g:\vec{x}=\vec{a}+r \cdot \vec{u}g:x=a+rug:\vec{x}=\vec{a}+r \cdot \vec{u}P~(p_1|p_2|p_3)P(p1p2p3)P~(p_1|p_2|p_3)
Das Lot zwischen P und F senkrecht auf der Geraden g steht.

Schritt 1: Lotfußpunkt \Large FF\Large F aufstellen

Du suchst dir zunächst einen Lotfußpunkt \bold{F}F\bold{F}, der auf der Geraden ggg liegen muss.

Für ihn gilt daher, wie für alle anderen Punkte auf der Geraden:

F~(a_1+r\cdot u_1|a_2+r\cdot u_2|a_3+r\cdot u_3)F(a1+ru1a2+ru2a3+ru3)F~(a_1+r\cdot u_1|a_2+r\cdot u_2|a_3+r\cdot u_3)

Schritt 2: Lotvektor

Anschließend musst du einen zur Gerade senkrechten Lotvektor finden.

Das heißt, der Lotvektor \overrightarrow{FP}FP\overrightarrow{FP} zwischen dem Punkt PPP und dem Lotfußpunkt FFF muss orthogonal zu dem Richtungsvektor \vec{u}u\vec{u} der Geraden stehen. Es gilt also:

\col[2]{\overrightarrow{PF}} \cdot \col[1]{\vec{u}}=0PFu=0\col[2]{\overrightarrow{PF}} \cdot \col[1]{\vec{u}}=0

Schritt 3: Abstand \Large dd\Large d berechnen

Nun kannst du den Abstand ddd über Betrag dieses Lotvektors berechnen.

d=|\col[2]{\overrightarrow{PF}}|d=PFd=|\col[2]{\overrightarrow{PF}}|

Abstand Punkt und Gerade über Lotfußpunkt Beispiele

Gerade in Parameterform

Bestimme den Abstand zwischen der Geraden hhh und dem Punkt BBB.

h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}h:x=(124)+s(173)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}B(2 | 5 | 8)B(258)B(2 | 5 | 8)

Schritt 1: Lotfußpunkt \Large FF\Large F aufstellen

Du suchst dir zunächst einen Lotfußpunkt \bold{F}F\bold{F}, der auf der Geraden ggg liegen muss.

Für ihn gilt daher, wie für alle anderen Punkte auf der Geraden:

F(1-s|2+7s|4+3s)F(1s2+7s4+3s)F(1-s|2+7s|4+3s)

Schritt 2: Lotvektor

Anschließend musst du einen zur Gerade senkrechten Lotvektor finden.

Das heißt, der Lotvektor \overrightarrow{FB}FB\overrightarrow{FB} zwischen dem Punkt BBB und dem Lotfußpunkt FFF muss orthogonal zu dem Richtungsvektor \vec{u}u\vec{u} der Geraden stehen. Es gilt also:

\begin{aligned} \overrightarrow{BF}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} & = 0\\[2mm] \begin {pmatrix} \begin{pmatrix} 1-s \\ 2+7s \\ 4+3s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} &=0\\[2mm] \begin{pmatrix} -1-s \\ -3+7s \\ -4+3s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} &= 0 \end{aligned}BF(173)=0((1s2+7s4+3s)(258))(173)=0(1s3+7s4+3s)(173)=0\begin{aligned} \overrightarrow{BF}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} & = 0\\[2mm] \begin {pmatrix} \begin{pmatrix} 1-s \\ 2+7s \\ 4+3s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} &=0\\[2mm] \begin{pmatrix} -1-s \\ -3+7s \\ -4+3s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} &= 0 \end{aligned}\begin{aligned} \implies 1+s-21+49s-12+9s&=0 \\ 59s-32&=0 && \quad |32 \\ 59s&=32 && \quad |:59 \\ s&=\frac{32}{59} \end{aligned}1+s21+49s12+9s=059s32=03259s=32:59s=3259\begin{aligned} \implies 1+s-21+49s-12+9s&=0 \\ 59s-32&=0 && \quad |32 \\ 59s&=32 && \quad |:59 \\ s&=\frac{32}{59} \end{aligned}\implies \overrightarrow{BF}=\begin{pmatrix} -1-\frac{32}{59} \\ -3+7\cdot\frac{32}{59} \\ -4+3\cdot\frac{32}{59} \end{pmatrix}BF=(132593+732594+33259)\implies \overrightarrow{BF}=\begin{pmatrix} -1-\frac{32}{59} \\ -3+7\cdot\frac{32}{59} \\ -4+3\cdot\frac{32}{59} \end{pmatrix}

Schritt 3: Abstand \Large dd\Large d berechnen

Nun kannst du den Abstand ddd über Betrag dieses Lotvektors berechnen.

\begin{aligned} d&=|\overrightarrow{BF}| = \left| \begin{pmatrix} -1-\frac{32}{59} \\ -3+7\cdot\frac{32}{59} \\ -4+3\cdot\frac{32}{59} \end{pmatrix} \right|\\ &= \sqrt{\left(-1-\frac{32}{59}\right)^2 +\left(-3+7\cdot \frac{32}{59}\right)^2 +\left(-4+3\cdot\frac{32}{59}\right)^2}\\ &\approx\underline{\underline{2,94 \text{ LE}}} \end{aligned}d=BF=(132593+732594+33259)=(13259)2+(3+73259)2+(4+33259)22,94 LE\begin{aligned} d&=|\overrightarrow{BF}| = \left| \begin{pmatrix} -1-\frac{32}{59} \\ -3+7\cdot\frac{32}{59} \\ -4+3\cdot\frac{32}{59} \end{pmatrix} \right|\\ &= \sqrt{\left(-1-\frac{32}{59}\right)^2 +\left(-3+7\cdot \frac{32}{59}\right)^2 +\left(-4+3\cdot\frac{32}{59}\right)^2}\\ &\approx\underline{\underline{2,94 \text{ LE}}} \end{aligned}\\\\

Gerade in Koordinatenform

Bestimme den Abstand zwischen der Geraden ggg und dem Punkt AAA.

g:~- x +2 y = 1g:x+2y=1g:~- x +2 y = 1A~(2|1)A(21)A~(2|1)

Schritt 1: Lotfußpunkt \Large FF\Large F aufstellen

Du suchst dir zunächst einen Lotfußpunkt \bold{F}F\bold{F}, der auf der Geraden ggg liegen muss.

Dazu ließt du aus der Geradengleichung den Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} ab:

\vec{n}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}n=(12)\vec{n}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}

Damit erstellst du nun eine Lotgerade \bold{l}l\bold{l}:

l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}l:x=(21)+r(12)l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}

Der Schnittpunkt dieser Geraden lll mit der Geraden ggg ist der Lotfußpunkt FFF. Setze daher zunächst:

\begin{aligned} g&=l \\ x_l&=2-r \\ y_l&=1+2r \end{aligned} g=lxl=2ryl=1+2r\begin{aligned} g&=l \\ x_l&=2-r \\ y_l&=1+2r \end{aligned}

Setze nun x_lxlx_l und y_lyly_l in g ein.

\begin{aligned} -(2-r)+2(1+2r)&=1 \\ -2+r+2+4r&=1 \\ 5r&=1 \quad |:5 \\ r&=\frac{1}{5} \end{aligned} (2r)+2(1+2r)=12+r+2+4r=15r=1:5r=15\begin{aligned} -(2-r)+2(1+2r)&=1 \\ -2+r+2+4r&=1 \\ 5r&=1 \quad |:5 \\ r&=\frac{1}{5} \end{aligned}

Berechne damit \vec{F}F\vec{F}.

\begin{aligned} \vec{F}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 2-\frac{1}{5} \\[1mm] 1+\frac{2}{5} \end{pmatrix}\\[2mm] & =\begin{pmatrix} \frac{9}{5} \\[1mm] \frac{7}{5} \end{pmatrix} \\[2mm] & =\lsg{\frac{1}{5}\cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix}} \end{aligned}F=(21)+15(12)=(2151+25)=(9575)=15(97)\begin{aligned} \vec{F}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 2-\frac{1}{5} \\[1mm] 1+\frac{2}{5} \end{pmatrix}\\[2mm] & =\begin{pmatrix} \frac{9}{5} \\[1mm] \frac{7}{5} \end{pmatrix} \\[2mm] & =\lsg{\frac{1}{5}\cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix}} \end{aligned}

Schritt 2: Lotvektor

Anschließend musst du einen zur Gerade senkrechten Lotvektor finden.

Dies gilt für den Vektor zwischen AAA und FFF:

\overrightarrow{AF}= \begin{pmatrix} \frac{9}{5}-2 \\[1mm] \frac{7}{5} - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} \\[1mm] \frac{2}{5} \end{pmatrix}AF=(952751)=(1525)\overrightarrow{AF}= \begin{pmatrix} \frac{9}{5}-2 \\[1mm] \frac{7}{5} - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} \\[1mm] \frac{2}{5} \end{pmatrix}

Schritt 3: Abstand \Large dd\Large d berechnen

Nun kannst du den Abstand ddd über Betrag dieses Lotvektors berechnen.

d=|\overrightarrow{AF}|\approx\underline{\underline{0,4472 \text{ LE}}}d=AF0,4472 LEd=|\overrightarrow{AF}|\approx\underline{\underline{0,4472 \text{ LE}}}
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