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Abstand Punkt Gerade über Lotfußpunktverfahren

Abstand Punkt von Gerade über Lotfußpunktverfahren

Du hast in Mathe gerade das Thema Vektorgeometrie und sollst den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden berechnen?

Hierfür kannst du das Lotfußpunktverfahren verwenden.

Was das ist und wie du es nutzt, zeigt dir simpleclub!

Abstand Punkt und Gerade über Lotfußpunktverfahren einfach erklärt

Abstand Punkt und Gerade über Lotfußpunkt Definition

Beim Lotfußpunktverfahren wird der Abstand zwischen Punkt und Gerade über ein Lot berechnet. Dies ist eine Gerade oder eine Strecke die senkrecht auf der Abstandsgeraden steht. Meistens wird ein Lotvektor verwendet.

Abstand Punkt und Gerade über Lotfußpunkt Vorgehensweise

Gegeben ist eine Gerade g $g$ und ein Punkt P $P$ .

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}

bzw.

g:\vec{x}=\vec{a}+r \cdot \vec{u}

g:\vec{x}=\vec{a}+r \cdot \vec{u}

P~(p_1|p_2|p_3)

P~(p_1|p_2|p_3)

Das Lot zwischen P und F senkrecht auf der Geraden g steht.

Schritt 1: Lotfußpunkt \Large F $\Large F$ aufstellen

Du suchst dir zunächst einen Lotfußpunkt \bold{F} $\bold{F}$ , der auf der Geraden g $g$ liegen muss.

Für ihn gilt daher, wie für alle anderen Punkte auf der Geraden:

F~(a_1+r\cdot u_1|a_2+r\cdot u_2|a_3+r\cdot u_3)

F~(a_1+r\cdot u_1|a_2+r\cdot u_2|a_3+r\cdot u_3)

Schritt 2: Lotvektor

Anschließend musst du einen zur Gerade senkrechten Lotvektor finden.

Das heißt, der Lotvektor \overrightarrow{FP} $\overrightarrow{FP}$ zwischen dem Punkt P $P$ und dem Lotfußpunkt F $F$ muss orthogonal zu dem Richtungsvektor \vec{u} $\vec{u}$ der Geraden stehen. Es gilt also:

\col[2]{\overrightarrow{PF}} \cdot \col[1]{\vec{u}}=0

\col[2]{\overrightarrow{PF}} \cdot \col[1]{\vec{u}}=0

Schritt 3: Abstand \Large d $\Large d$ berechnen

Nun kannst du den Abstand d $d$ über Betrag dieses Lotvektors berechnen.

d=|\col[2]{\overrightarrow{PF}}|

d=|\col[2]{\overrightarrow{PF}}|

Abstand Punkt und Gerade über Lotfußpunkt Beispiele

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Gerade in Parameterform

Bestimme den Abstand zwischen der Geraden h $h$ und dem Punkt B $B$ .

h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}

h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}

B(2 | 5 | 8)

B(2 | 5 | 8)

Schritt 1: Lotfußpunkt \Large F $\Large F$ aufstellen

Du suchst dir zunächst einen Lotfußpunkt \bold{F} $\bold{F}$ , der auf der Geraden g $g$ liegen muss.

Für ihn gilt daher, wie für alle anderen Punkte auf der Geraden:

F(1-s|2+7s|4+3s)

F(1-s|2+7s|4+3s)

Schritt 2: Lotvektor

Anschließend musst du einen zur Gerade senkrechten Lotvektor finden.

Das heißt, der Lotvektor \overrightarrow{FB} $\overrightarrow{FB}$ zwischen dem Punkt B $B$ und dem Lotfußpunkt F $F$ muss orthogonal zu dem Richtungsvektor \vec{u} $\vec{u}$ der Geraden stehen. Es gilt also:

\begin{aligned} \overrightarrow{BF}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} & = 0\\[2mm] \begin {pmatrix} \begin{pmatrix} 1-s \\ 2+7s \\ 4+3s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} &=0\\[2mm] \begin{pmatrix} -1-s \\ -3+7s \\ -4+3s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \overrightarrow{BF}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} & = 0\\[2mm] \begin {pmatrix} \begin{pmatrix} 1-s \\ 2+7s \\ 4+3s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} &=0\\[2mm] \begin{pmatrix} -1-s \\ -3+7s \\ -4+3s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \implies 1+s-21+49s-12+9s&=0 \\ 59s-32&=0 && \quad |32 \\ 59s&=32 && \quad |:59 \\ s&=\frac{32}{59} \end{aligned}

\begin{aligned} \implies 1+s-21+49s-12+9s&=0 \\ 59s-32&=0 && \quad |32 \\ 59s&=32 && \quad |:59 \\ s&=\frac{32}{59} \end{aligned}

\implies \overrightarrow{BF}=\begin{pmatrix} -1-\frac{32}{59} \\ -3+7\cdot\frac{32}{59} \\ -4+3\cdot\frac{32}{59} \end{pmatrix}

\implies \overrightarrow{BF}=\begin{pmatrix} -1-\frac{32}{59} \\ -3+7\cdot\frac{32}{59} \\ -4+3\cdot\frac{32}{59} \end{pmatrix}

Schritt 3: Abstand \Large d $\Large d$ berechnen

Nun kannst du den Abstand d $d$ über Betrag dieses Lotvektors berechnen.

\begin{aligned} d&=|\overrightarrow{BF}| = \left| \begin{pmatrix} -1-\frac{32}{59} \\ -3+7\cdot\frac{32}{59} \\ -4+3\cdot\frac{32}{59} \end{pmatrix} \right|\\ &= \sqrt{\left(-1-\frac{32}{59}\right)^2 +\left(-3+7\cdot \frac{32}{59}\right)^2 +\left(-4+3\cdot\frac{32}{59}\right)^2}\\ &\approx\underline{\underline{2,94 \text{ LE}}} \end{aligned}

\begin{aligned} d&=|\overrightarrow{BF}| = \left| \begin{pmatrix} -1-\frac{32}{59} \\ -3+7\cdot\frac{32}{59} \\ -4+3\cdot\frac{32}{59} \end{pmatrix} \right|\\ &= \sqrt{\left(-1-\frac{32}{59}\right)^2 +\left(-3+7\cdot \frac{32}{59}\right)^2 +\left(-4+3\cdot\frac{32}{59}\right)^2}\\ &\approx\underline{\underline{2,94 \text{ LE}}} \end{aligned}

\\

\\

Gerade in Koordinatenform

Bestimme den Abstand zwischen der Geraden g $g$ und dem Punkt A $A$ .

g:~- x +2 y = 1

g:~- x +2 y = 1

A~(2|1)

A~(2|1)

Schritt 1: Lotfußpunkt \Large F $\Large F$ aufstellen

Du suchst dir zunächst einen Lotfußpunkt \bold{F} $\bold{F}$ , der auf der Geraden g $g$ liegen muss.

Dazu ließt du aus der Geradengleichung den Normalenvektor \vec{n} $\vec{n}$ ab:

\vec{n}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}

\vec{n}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}

Damit erstellst du nun eine Lotgerade \bold{l} $\bold{l}$ :

l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}

l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}

Der Schnittpunkt dieser Geraden l $l$ mit der Geraden g $g$ ist der Lotfußpunkt F $F$ . Setze daher zunächst:

\begin{aligned} g&=l \\ x_l&=2-r \\ y_l&=1+2r \end{aligned}

\begin{aligned} g&=l \\ x_l&=2-r \\ y_l&=1+2r \end{aligned}

Setze nun x_l $x_l$ und y_l $y_l$ in g ein.

\begin{aligned} -(2-r)+2(1+2r)&=1 \\ -2+r+2+4r&=1 \\ 5r&=1 \quad |:5 \\ r&=\frac{1}{5} \end{aligned}

\begin{aligned} -(2-r)+2(1+2r)&=1 \\ -2+r+2+4r&=1 \\ 5r&=1 \quad |:5 \\ r&=\frac{1}{5} \end{aligned}

Berechne damit \vec{F} $\vec{F}$ .

\begin{aligned} \vec{F}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 2-\frac{1}{5} \\[1mm] 1+\frac{2}{5} \end{pmatrix}\\[2mm] & =\begin{pmatrix} \frac{9}{5} \\[1mm] \frac{7}{5} \end{pmatrix} \\[2mm] & =\lsg{\frac{1}{5}\cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix}} \end{aligned}

\begin{aligned} \vec{F}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 2-\frac{1}{5} \\[1mm] 1+\frac{2}{5} \end{pmatrix}\\[2mm] & =\begin{pmatrix} \frac{9}{5} \\[1mm] \frac{7}{5} \end{pmatrix} \\[2mm] & =\lsg{\frac{1}{5}\cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix}} \end{aligned}

Schritt 2: Lotvektor

Anschließend musst du einen zur Gerade senkrechten Lotvektor finden.

Dies gilt für den Vektor zwischen A $A$ und F $F$ :

\overrightarrow{AF}= \begin{pmatrix} \frac{9}{5}-2 \\[1mm] \frac{7}{5} - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} \\[1mm] \frac{2}{5} \end{pmatrix}

\overrightarrow{AF}= \begin{pmatrix} \frac{9}{5}-2 \\[1mm] \frac{7}{5} - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} \\[1mm] \frac{2}{5} \end{pmatrix}

Schritt 3: Abstand \Large d $\Large d$ berechnen

Nun kannst du den Abstand d $d$ über Betrag dieses Lotvektors berechnen.

d=|\overrightarrow{AF}|\approx\underline{\underline{0,4472 \text{ LE}}}

d=|\overrightarrow{AF}|\approx\underline{\underline{0,4472 \text{ LE}}}

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Abstand Punkt von Gerade über Lotfußpunktverfahren

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Schritt 1: Lotfußpunkt \Large F $\Large F$ aufstellen

Schritt 2: Lotvektor

Schritt 3: Abstand \Large d $\Large d$ berechnen

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Schritt 2: Lotvektor

Schritt 3: Abstand \Large dd\Large dd berechnen

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Schritt 2: Lotvektor

Schritt 3: Abstand \Large dd\Large dd berechnen

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Schritt 3: Abstand \Large d $\Large d$ berechnen