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Abstand Punkt von Gerade über Hilfsebene

Du beschäftigst dich in Mathe gerade mit dem Thema Vektorgeometrie und sollst den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden berechnen?

Hierfür kannst du eine Hilfsebene verwenden.

simpleclub erklärt dir, wie das funktioniert!

Abstand Punkt und Gerade über Hilfsebene einfach erklärt

Eine Hilfsebene ist eine Ebene, dessen Normalenvektor sich aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren zusammensetzt.

Vorgehensweise Abstand Punkt und Gerade über Hilfsebene

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P.

Auf der Grafik siehst du, wie eine Gerade G eine Ebene, die den Punkt P enthält, senkrecht durchstößt.

Schritt 1: Hilfsebene E aufstellen, wobei der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor von g und P ein Punkt auf der Ebene ist.

Schritt 2: Durchstoßpunkt F von g und E bestimmen.

Schritt 3: Abstand über Betrag des Vektors zwischen F und P bestimmen.

Abstand Punkt und Gerade über Hilfsebene Definition

Du kannst den Abstand zwischen Punkt und Gerade mit einer Hilfsebene berechnen. Dabei handelt es sich um eine Ebene, die zum einen den Abstandspunkt enthält und zum anderen von der Gerade senkrecht durchstoßen wird.

Abstand Punkt und Gerade über Hilfsebene Beispiel

Bestimme den Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P!

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}g:x⃗=(−5−55)+r⋅(32−4)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}P~(5|1|1)P(5∣1∣1)P~(5|1|1)

Schritt 1: Hilfsebene E aufstellen, wobei der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor von g und P ein Punkt auf der Ebene ist.

E:~\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=0E:(32−4)⋅(x⃗−(511))=0E:~\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=0\Leftrightarrow E: 3(x-5)+2(y-1)-4(z-1)=0⇔E:3(x−5)+2(y−1)−4(z−1)=0\Leftrightarrow E: 3(x-5)+2(y-1)-4(z-1)=0\Leftrightarrow E:3x-15+2y-2-4z+4=0⇔E:3x−15+2y−2−4z+4=0\Leftrightarrow E:3x-15+2y-2-4z+4=0E:~3x+2y-4z=13E:3x+2y−4z=13E:~3x+2y-4z=13

Schritt 2: Durchstoßpunkt F von g und E bestimmen.

Setze E=g.

\implies 3(-5+3r)+2(-5+2r)-4(5-4r)=13⟹3(−5+3r)+2(−5+2r)−4(5−4r)=13\implies 3(-5+3r)+2(-5+2r)-4(5-4r)=13\Leftrightarrow -15+9r-10+4r-20+16r=13⇔−15+9r−10+4r−20+16r=13\Leftrightarrow -15+9r-10+4r-20+16r=13\Leftrightarrow -45+29r=13 \ \ \ |+45⇔−45+29r=13∣+45\Leftrightarrow -45+29r=13 \ \ \ |+45\Leftrightarrow 29r=58 \ \ \ |:29⇔29r=58∣:29\Leftrightarrow 29r=58 \ \ \ |:29\Leftrightarrow \underline{r=2}⇔r=2‾\Leftrightarrow \underline{r=2}

Setze nun r=2 in g ein.

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix}+2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}g:x⃗=(−5−55)+2⋅(32−4)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix}+2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\implies \overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}⟹OF→=(1−1−3)\implies \overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\implies F~(1 | -1 | -3)⟹F(1∣−1∣−3)\implies F~(1 | -1 | -3)

Schritt 3: Abstand über Betrag des Vektors zwischen F und P bestimmen.

d=|\overrightarrow{PF}|=|\begin{pmatrix} 1-5 \\ -1-1 \\ -3-1 \end{pmatrix}|=|\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}|=\underline{\underline{\textit{6 LE}}}d=∣PF→∣=∣(1−5−1−1−3−1)∣=∣(−4−2−4)∣=6LE‾‾d=|\overrightarrow{PF}|=|\begin{pmatrix} 1-5 \\ -1-1 \\ -3-1 \end{pmatrix}|=|\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}|=\underline{\underline{\textit{6 LE}}}
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