Abstand paralleler Geraden

Du beschäftigst dich in Mathe gerade mit dem Thema Vektorgeometrie und sollst den Abstand zweier paralleler Geraden berechnen?

Hierfür kannst du das Lotfußpunktverfahren oder eine Hilfsebene verwenden.

simpleclub zeigt dir, wie das funktioniert!


Abstand zweier paralleler Geraden mit Lotfußpunktverfahren oder Hilfsebene einfach erklärt

Abstand zweier paralleler Geraden mit Lotfußpunktverfahren oder Hilfsebene berechnen Definition

Für den kürzesten Abstand zwischen zwei parallelen Geraden wird der Abstand eines beliebigen Punktes der ersten Geraden zur anderen Geraden berechnet.

Vorgehensweise Abstand zweier paralleler Geraden mit Lotfußpunktverfahren oder Hilfsebene

Zunächst legst du den Ortsvektor einer der Geraden als Punkt fest.

Anschließend fährst du mit dem Lotfußpunktverfahren oder dem Verfahren mit Hilfsebene zur Berechnung des Abstands von Punkt und Gerade fort.


Abstand zweier paralleler Geraden Beispiele

Über Lotfußpunktverfahren

Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden g und h!

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}g:x=(112)+r(321)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}h:x=(121)+s(321)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Bezeichne den Ortsvektor von g als Punkt P.

\implies P~(1|1|2)P(112)\implies P~(1|1|2)

Fahre nun mit dem Lotfußpunktverfahren für den Punkt P und die Gerade h fort.

Geraden h und g

Schritt 1: Lotfußpunkt \Large FF\Large F aufstellen

Du suchst dir zunächst einen Lotfußpunkt \bold{F}F\bold{F}, der auf der Geraden ggg liegen muss.

F~(-1+3s|2+2s|1+s)F(1+3s2+2s1+s)F~(-1+3s|2+2s|1+s)

Schritt 2: Lotvektor

Anschließend musst du einen zur Gerade senkrechten Lotvektor finden.

\begin{aligned} \overrightarrow{PF}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} &=0 \\ \begin {pmatrix} \begin{pmatrix} -1+3s \\ 2+2s \\ 1+s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} &=0 \\ \begin{pmatrix} -2+3s \\ 1+2s \\ -1+s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}&=0 \\ 3(-2+3s)+2(1+2s)+(-1+s)&=0 \\ -6+9s+2+4s-1+s&=0 \\ -5+14s&=0 \quad &&|+5 \\ 14s&=5 \quad &&|:14 \\ s&=\underline{\frac{5}{14}} \end{aligned}PF(321)=0((1+3s2+2s1+s)(112))(321)=0(2+3s1+2s1+s)(321)=03(2+3s)+2(1+2s)+(1+s)=06+9s+2+4s1+s=05+14s=0+514s=5:14s=514\begin{aligned} \overrightarrow{PF}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} &=0 \\ \begin {pmatrix} \begin{pmatrix} -1+3s \\ 2+2s \\ 1+s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} &=0 \\ \begin{pmatrix} -2+3s \\ 1+2s \\ -1+s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}&=0 \\ 3(-2+3s)+2(1+2s)+(-1+s)&=0 \\ -6+9s+2+4s-1+s&=0 \\ -5+14s&=0 \quad &&|+5 \\ 14s&=5 \quad &&|:14 \\ s&=\underline{\frac{5}{14}} \end{aligned}\implies \overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix} -2+3\cdot\frac{5}{14} \\ 1+2\cdot\frac{5}{14} \\ -1+\frac{5}{14} \end{pmatrix}PF=(2+35141+25141+514)\implies \overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix} -2+3\cdot\frac{5}{14} \\ 1+2\cdot\frac{5}{14} \\ -1+\frac{5}{14} \end{pmatrix}

Schritt 3: Abstand \Large dd\Large d berechnen

Nun kannst du den Abstand ddd über Betrag dieses Lotvektors berechnen.

d=|\overrightarrow{PF}|\approx\underline{\underline{2,0529 \text{ LE}}}d=PF2,0529 LEd=|\overrightarrow{PF}|\approx\underline{\underline{2,0529 \text{ LE}}}

Über Hilfsebene

Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden g und h!

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}g:x=(210)+r(121)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}h:x=(021)+s(242)h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}

Bezeichne den Ortsvektor von h als Punkt P.

\implies P~(0|2|1)P(021)\implies P~(0|2|1)

Fahre nun mit dem Verfahren mit Hilfsebene für den Punkt P und die Gerade g fort.

Schritt 1: Hilfsebene E aufstellen, wobei der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor von g und P ein Punkt auf der Ebene ist.

E:~\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=0E:(121)(x(021))=0E:~\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=0\begin{aligned} E: x+2\cdot(y-2)+z-1&=0 \\ E: x+2y-4+z-1&=0 \\ E: x+2y+z-5&=0 \quad|+5 \\ E: x+2y+z&=5 \end{aligned}E:x+2(y2)+z1=0E:x+2y4+z1=0E:x+2y+z5=0+5E:x+2y+z=5\begin{aligned} E: x+2\cdot(y-2)+z-1&=0 \\ E: x+2y-4+z-1&=0 \\ E: x+2y+z-5&=0 \quad|+5 \\ E: x+2y+z&=5 \end{aligned}

Schritt 2: Durchstoßpunkt F von g und E bestimmen.

Setze E=g.

\begin{aligned} (-2+r)+2(1+2r)+(0+r)&=5 \\ -2+r+2+4r+r&=5 \\ 6r&=5 \quad |:6 \\ r&=\underline{\frac{5}{6}} \end{aligned}(2+r)+2(1+2r)+(0+r)=52+r+2+4r+r=56r=5:6r=56\begin{aligned} (-2+r)+2(1+2r)+(0+r)&=5 \\ -2+r+2+4r+r&=5 \\ 6r&=5 \quad |:6 \\ r&=\underline{\frac{5}{6}} \end{aligned}

Setze r=\frac{5}{6}r=56r=\frac{5}{6} in g ein:

\implies \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{5}{6}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{7}{6} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{5}{6} \end{pmatrix} = \overrightarrow{OF} \\ \implies \underline{F~\left(-\frac{7}{6}\left|\frac{8}{3}\right|\frac{5}{6}\right)}(210)+56(121)=(768356)=OFF(768356)\implies \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{5}{6}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{7}{6} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{5}{6} \end{pmatrix} = \overrightarrow{OF} \\ \implies \underline{F~\left(-\frac{7}{6}\left|\frac{8}{3}\right|\frac{5}{6}\right)}

Schritt 3: Abstand über Betrag des Vektors zwischen F und P bestimmen.

d=|\overrightarrow{PF}|\approx\underline{\underline{3,0276 \text{ LE}}}d=PF3,0276 LEd=|\overrightarrow{PF}|\approx\underline{\underline{3,0276 \text{ LE}}}
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