Funktion	Ableitung
f(x) = \sin(x) $f(x) = \sin(x)$	f'(x) = \cos(x) $f'(x) = \cos(x)$
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Sinus	Kosinus

Kosinus

Funktion	Ableitung
f(x) = \cos(x) $f(x) = \cos(x)$	f'(x) = -\sin(x) $f'(x) = -\sin(x)$
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Kosinus	Minus Sinus

Tangens

Funktion	Ableitung
f(x) = \tan(x) $f(x) = \tan(x)$	f'(x) = \dfrac{1}{(\cos(x))^2} $f'(x) = \dfrac{1}{(\cos(x))^2}$
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Tangens	Funktion mit Kosinus

Anwendung der Kettenregel

f(x)= \sin(g(x))

f(x)= \sin(g(x))

f'(x)=g'(x)\cdot \cos(g(x))

f'(x)=g'(x)\cdot \cos(g(x))

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Herleitung Ableitung Kosinus

Die Ableitung des Kosinus ergibt sich aus den Zusammenhängen

\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

\sin(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)

\sin(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)

Wende die Kettenregel an.

f(x) = \cos(x) = \sin\left(\textcolor{sc_color_1}{\frac{\pi}{2} - x}\right)

f(x) = \cos(x) = \sin\left(\textcolor{#7F7706}{\frac{\pi}{2} - x}\right)

f'(x) = (\textcolor{sc_color_1}{-1})\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)

f'(x) = (\textcolor{#7F7706}{-1})\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)

f'(x) = -\sin(x)

f'(x) = -\sin(x)

Herleitung Ableitung Tangens

Die Ableitung des Tangens ergibt sich aus dem Zusammenhang

\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}

\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}

Wende die Quotientenregel an.

(\tan(x))' = \left(\dfrac{\textcolor{sc_color_2}{\sin(x)}}{\textcolor{sc_color_3}{\cos(x)}}\right)'

(\tan(x))' = \left(\dfrac{\textcolor{#0069FC}{\sin(x)}}{\textcolor{#DD2238}{\cos(x)}}\right)'

= \dfrac{(\textcolor{sc_color_2}{\sin(x)})'\cdot \textcolor{sc_color_3}{\cos(x)} - \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)}\cdot (\textcolor{sc_color_3}{\cos(x)})'}{(\textcolor{sc_color_3}{\textcolor{sc_color_3}{\cos(x)}})^2}

= \dfrac{(\textcolor{#0069FC}{\sin(x)})'\cdot \textcolor{#DD2238}{\cos(x)} - \textcolor{#0069FC}{\sin(x)}\cdot (\textcolor{#DD2238}{\cos(x)})'}{(\textcolor{#DD2238}{\textcolor{#DD2238}{\cos(x)}})^2}

= \dfrac{\textcolor{sc_color_2}{\cos(x)}\cdot \textcolor{sc_color_3}{\cos(x)} - \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)} \cdot (\textcolor{sc_color_3}{-\sin(x)})}{(\textcolor{sc_color_3}{\cos(x)})^2}

= \dfrac{\textcolor{#0069FC}{\cos(x)}\cdot \textcolor{#DD2238}{\cos(x)} - \textcolor{#0069FC}{\sin(x)} \cdot (\textcolor{#DD2238}{-\sin(x)})}{(\textcolor{#DD2238}{\cos(x)})^2}

=\dfrac{(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2}{(\cos(x))^2}

=\dfrac{(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2}{(\cos(x))^2}

Außerdem gilt die Gleichung

\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1

\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1

Daraus folgt

(\tan(x))' = \dfrac{1}{\cos(x)^2}

(\tan(x))' = \dfrac{1}{\cos(x)^2}

Trigonometrische Funktionen Beispiele

Sinus - Kettenregel einfach

f(x)= \sin(\textcolor{sc_color_1}{2x})

f(x)= \sin(\textcolor{#7F7706}{2x})

f'(x)=\textcolor{sc_color_1}{2}\cdot \cos(2x)

f'(x)=\textcolor{#7F7706}{2}\cdot \cos(2x)

Kosinus - Kettenregel einfach

f(x)= \textcolor{sc_color_1}{\cos(x)}^2

f(x)= \textcolor{#7F7706}{\cos(x)}^2

f'(x)=\textcolor{sc_color_1}{-\sin(x)} \cdot 2\cos(x)

f'(x)=\textcolor{#7F7706}{-\sin(x)} \cdot 2\cos(x)

Sinus - Kettenregel schwierig

f(x)= \textcolor{sc_color_1}{\sin(\textcolor{sc_color_2}{x^2+1})}

f(x)= \textcolor{#7F7706}{\sin(\textcolor{#0069FC}{x^2+1})}

f'(x)=\textcolor{sc_color_2}{2x}\cdot \textcolor{sc_color_1}{\cos(\textcolor{sc_color_2}{x^2+1})}

f'(x)=\textcolor{#0069FC}{2x}\cdot \textcolor{#7F7706}{\cos(\textcolor{#0069FC}{x^2+1})}

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Ableitung trigonometrischer Funktionen

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