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Ableitung trigonometrischer Funktionen

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Ableitung trigonometrischer Funktionen

Wenn du dich in Mathe gerade mit dem Thema Analysis beschäftigst, werden dir auch trigonometrische Funktionen begegnen.

Wie kannst du solche Funktionen ableiten? simpleclub erklärt dir, wie es geht!

Trigonometrische Funktionen ableiten einfach erklärt

Ableitungskreis Sinus und Cos. Sin wird zu cos wird zu -sin wird zu -cos wird zu sin .

Die Ableitung von Sinus ist Kosinus.

f(x)= \sin(x)f(x)=sin⁡(x)f(x)= \sin(x)f'(x)=\cos(x)f′(x)=cos⁡(x)f'(x)=\cos(x)

Die Ableitung von Kosinus ist Minus Sinus.

f(x)= \cos(x)f(x)=cos⁡(x)f(x)= \cos(x)f'(x)=-\sin(x)f′(x)=−sin⁡(x)f'(x)=-\sin(x)

Die Ableitung vom Tangens lautet:

f(x)= \tan(x)f(x)=tan⁡(x)f(x)= \tan(x)f'(x)=\dfrac{1}{(\cos(x))^2}f′(x)=1(cos⁡(x))2f'(x)=\dfrac{1}{(\cos(x))^2}

Trigonometrische Funktionen ableiten Definition

Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen hängen miteinander zusammen

\sin(x) \xrightarrow{f'} \cos(x) \xrightarrow{f'} -\sin(x) \xrightarrow{f'} -\cos(x) \xrightarrow{f'} \sin(x)sin⁡(x)→f′cos⁡(x)→f′−sin⁡(x)→f′−cos⁡(x)→f′sin⁡(x)\sin(x) \xrightarrow{f'} \cos(x) \xrightarrow{f'} -\sin(x) \xrightarrow{f'} -\cos(x) \xrightarrow{f'} \sin(x)

Graphische Darstellung

Sinus

Funktion

Ableitung

f(x) = \sin(x)f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x)
f'(x) = \cos(x)f′(x)=cos⁡(x)f'(x) = \cos(x)
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Sinus

Kosinus

Kosinus

Funktion

Ableitung

f(x) = \cos(x)f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x)
f'(x) = -\sin(x)f′(x)=−sin⁡(x)f'(x) = -\sin(x)
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Kosinus

Minus Sinus

Tangens

Funktion

Ableitung

f(x) = \tan(x)f(x)=tan⁡(x)f(x) = \tan(x)
f'(x) = \dfrac{1}{(\cos(x))^2}f′(x)=1(cos⁡(x))2f'(x) = \dfrac{1}{(\cos(x))^2}
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Tangens

Funktion mit Kosinus

Anwendung der Kettenregel

f(x)= \sin(g(x))f(x)=sin⁡(g(x))f(x)= \sin(g(x))f'(x)=g'(x)\cdot \cos(g(x))f′(x)=g′(x)⋅cos⁡(g(x))f'(x)=g'(x)\cdot \cos(g(x))

Herleitung Ableitung Kosinus

Die Ableitung des Kosinus ergibt sich aus den Zusammenhängen

\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)cos⁡(x)=sin⁡(π2−x)\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\sin(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)sin⁡(x)=cos⁡(π2−x)\sin(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)

Wende die Kettenregel an.

f(x) = \cos(x) = \sin\left(\textcolor{sc_color_1}{\frac{\pi}{2} - x}\right)f(x)=cos⁡(x)=sin⁡(π2−x)f(x) = \cos(x) = \sin\left(\textcolor{#7F7706}{\frac{\pi}{2} - x}\right)f'(x) = (\textcolor{sc_color_1}{-1})\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)f′(x)=(−1)⋅cos⁡(π2−x)f'(x) = (\textcolor{#7F7706}{-1})\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)f'(x) = -\sin(x)f′(x)=−sin⁡(x)f'(x) = -\sin(x)

Herleitung Ableitung Tangens

Die Ableitung des Tangens ergibt sich aus dem Zusammenhang

\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}

Wende die Quotientenregel an.

(\tan(x))' = \left(\dfrac{\textcolor{sc_color_2}{\sin(x)}}{\textcolor{sc_color_3}{\cos(x)}}\right)'(tan⁡(x))′=(sin⁡(x)cos⁡(x))′(\tan(x))' = \left(\dfrac{\textcolor{#0069FC}{\sin(x)}}{\textcolor{#DD2238}{\cos(x)}}\right)'= \dfrac{(\textcolor{sc_color_2}{\sin(x)})'\cdot \textcolor{sc_color_3}{\cos(x)} - \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)}\cdot (\textcolor{sc_color_3}{\cos(x)})'}{(\textcolor{sc_color_3}{\textcolor{sc_color_3}{\cos(x)}})^2}=(sin⁡(x))′⋅cos⁡(x)−sin⁡(x)⋅(cos⁡(x))′(cos⁡(x))2= \dfrac{(\textcolor{#0069FC}{\sin(x)})'\cdot \textcolor{#DD2238}{\cos(x)} - \textcolor{#0069FC}{\sin(x)}\cdot (\textcolor{#DD2238}{\cos(x)})'}{(\textcolor{#DD2238}{\textcolor{#DD2238}{\cos(x)}})^2}= \dfrac{\textcolor{sc_color_2}{\cos(x)}\cdot \textcolor{sc_color_3}{\cos(x)} - \textcolor{sc_color_2}{\sin(x)} \cdot (\textcolor{sc_color_3}{-\sin(x)})}{(\textcolor{sc_color_3}{\cos(x)})^2}=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)−sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))(cos⁡(x))2= \dfrac{\textcolor{#0069FC}{\cos(x)}\cdot \textcolor{#DD2238}{\cos(x)} - \textcolor{#0069FC}{\sin(x)} \cdot (\textcolor{#DD2238}{-\sin(x)})}{(\textcolor{#DD2238}{\cos(x)})^2}=\dfrac{(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2}{(\cos(x))^2}=(cos⁡(x))2+(sin⁡(x))2(cos⁡(x))2=\dfrac{(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2}{(\cos(x))^2}

Außerdem gilt die Gleichung

\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1sin⁡(x)2+cos⁡(x)2=1\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1

Daraus folgt

(\tan(x))' = \dfrac{1}{\cos(x)^2}(tan⁡(x))′=1cos⁡(x)2(\tan(x))' = \dfrac{1}{\cos(x)^2}

Trigonometrische Funktionen Beispiele

Sinus - Kettenregel einfach

f(x)= \sin(\textcolor{sc_color_1}{2x})f(x)=sin⁡(2x)f(x)= \sin(\textcolor{#7F7706}{2x})f'(x)=\textcolor{sc_color_1}{2}\cdot \cos(2x)f′(x)=2⋅cos⁡(2x)f'(x)=\textcolor{#7F7706}{2}\cdot \cos(2x)

Kosinus - Kettenregel einfach

f(x)= \textcolor{sc_color_1}{\cos(x)}^2f(x)=cos⁡(x)2f(x)= \textcolor{#7F7706}{\cos(x)}^2f'(x)=\textcolor{sc_color_1}{-\sin(x)} \cdot 2\cos(x)f′(x)=−sin⁡(x)⋅2cos⁡(x)f'(x)=\textcolor{#7F7706}{-\sin(x)} \cdot 2\cos(x)

Sinus - Kettenregel schwierig

f(x)= \textcolor{sc_color_1}{\sin(\textcolor{sc_color_2}{x^2+1})}f(x)=sin⁡(x2+1)f(x)= \textcolor{#7F7706}{\sin(\textcolor{#0069FC}{x^2+1})}f'(x)=\textcolor{sc_color_2}{2x}\cdot \textcolor{sc_color_1}{\cos(\textcolor{sc_color_2}{x^2+1})}f′(x)=2x⋅cos⁡(x2+1)f'(x)=\textcolor{#0069FC}{2x}\cdot \textcolor{#7F7706}{\cos(\textcolor{#0069FC}{x^2+1})}
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