Ableitung der Logarithmusfunktion

In Mathe begegnen dir in dem Themenbereich Analysis auch die Ableitungen spezieller Funktionen. Dazu gehört auch die Ableitung von Logarithmusfunktionen.

Wie leitet man eine Logarithmusfunktion ab? simpleclub erklärt dir, wie es geht!


Logarithmusfunktion ableiten einfach erklärt

Graphische Darstellung

Funktion

Ableitung

f(x) = \ln(x)f(x)=ln(x)f(x) = \ln(x)
f'(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=1xf'(x)=\dfrac{1}{x}
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Logarithmus

Kehrwert

Beachte: Der Logarithmus ist nur für positive x-Werte definiert. Die Ableitung ist deshalb auch nur für positive x-Werte definiert.

Anwendung der Kettenregel

f(x) = \ln(g(x))f(x)=ln(g(x))f(x) = \ln(g(x))f'(x) = g'(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)} = \dfrac{g'(x)}{g(x)}f(x)=g(x)1g(x)=g(x)g(x)f'(x) = g'(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)} = \dfrac{g'(x)}{g(x)}

Logarithmus mit beliebiger Basis

Die Ableitung des natürlichen Logartihmus mit der Basis e ist.

f(x) = \ln(x) = \log_{e}(x)f(x)=ln(x)=loge(x)f(x) = \ln(x) = \log_{e}(x)f'(x) = \dfrac{1}{x}f(x)=1xf'(x) = \dfrac{1}{x}

Hat der Logarithmus, eine andere Basis, musst du noch einen Faktor ergänzen.

f(x) = \log_{\textcolor{sc_color_1}{b}}(x)f(x)=logb(x)f(x) = \log_{\textcolor{#7F7706}{b}}(x)f'(x) = \dfrac{1}{\textcolor{sc_color_1}{\ln(b)}\cdot x}f(x)=1ln(b)xf'(x) = \dfrac{1}{\textcolor{#7F7706}{\ln(b)}\cdot x}

Logarithmusfunktion ableiten Definition

Die Ableitung vom Logarithmus lautet

f(x) = \ln(x)f(x)=ln(x)f(x) = \ln(x)f'(x) = \dfrac{1}{x}f(x)=1xf'(x) = \dfrac{1}{x}

Beispiele Logarithmusfunktion

Logarithmus als äußere Funktion

f(x) = \ln(\textcolor{sc_color_1}{x^3})f(x)=ln(x3)f(x) = \ln(\textcolor{#7F7706}{x^3})f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{3x^2}\cdot \dfrac{1}{x^3}f(x)=3x21x3f'(x) = \textcolor{#7F7706}{3x^2}\cdot \dfrac{1}{x^3}

Hier kannst du noch kürzen.

f'(x) = \dfrac{3x^2}{x^3} = \dfrac{3}{x}f(x)=3x2x3=3xf'(x) = \dfrac{3x^2}{x^3} = \dfrac{3}{x}

Logarithmus als innere Funktion

f(x) = \textcolor{sc_color_1}{\ln(x)}^3f(x)=ln(x)3f(x) = \textcolor{#7F7706}{\ln(x)}^3f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{x}}\cdot 3\ln(x)^2f(x)=1x3ln(x)2f'(x) = \textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{x}}\cdot 3\ln(x)^2f'(x) = \dfrac{3\ln(x)^2}{x}f(x)=3ln(x)2xf'(x) = \dfrac{3\ln(x)^2}{x}

Logarithmus Basis 10 - einfach

f(x) = \log_{10}(x)f(x)=log10(x)f(x) = \log_{10}(x)f'(x) = \dfrac{1}{\ln(10)\cdot x}f(x)=1ln(10)xf'(x) = \dfrac{1}{\ln(10)\cdot x}

Logarithmus Basis 10 - schwierig

f(x) = \log_{10}\left(\textcolor{sc_color_1}{e^x}\right)f(x)=log10(ex)f(x) = \log_{10}\left(\textcolor{#7F7706}{e^x}\right)f'(x) = \textcolor{sc_color_1}{e^x} \cdot \dfrac{1}{\ln(10)\cdot \textcolor{sc_color_1}{e^x}}f(x)=ex1ln(10)exf'(x) = \textcolor{#7F7706}{e^x} \cdot \dfrac{1}{\ln(10)\cdot \textcolor{#7F7706}{e^x}}

Du kannst die Kettenregel anwenden und kürzen.

f'(x) = \dfrac{e^x}{\ln(10)\cdot e^x} = \dfrac{1}{\ln(10)}f(x)=exln(10)ex=1ln(10)f'(x) = \dfrac{e^x}{\ln(10)\cdot e^x} = \dfrac{1}{\ln(10)}
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