In Mathe begegnen dir in dem Themenbereich Analysis auch die Ableitungen spezieller Funktionen. Dazu gehört auch die Ableitung von Logarithmusfunktionen .
Wie leitet man eine Logarithmusfunktion ab? simpleclub erklärt dir, wie es geht!
Logarithmusfunktion ableiten einfach erklärt
Graphische Darstellung f(x) = \ln(x) f ( x ) = ln ( x ) f(x) = \ln(x) f ( x ) = ln ( x ) f'(x)=\dfrac{1}{x} f ′ ( x ) = 1 x f'(x)=\dfrac{1}{x} f ′ ( x ) = x 1 Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
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Beachte: Der Logarithmus ist nur für positive x-Werte definiert. Die Ableitung ist deshalb auch nur für positive x-Werte definiert.
Anwendung der Kettenregel f(x)= \ln(g(x)) f ( x ) = ln ( g ( x ) ) f(x)= \ln(g(x)) f ( x ) = ln ( g ( x )) f'(x)=g'(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)} = \dfrac{g'(x)}{g(x)} f ′ ( x ) = g ′ ( x ) ⋅ 1 g ( x ) = g ′ ( x ) g ( x ) f'(x)=g'(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)} = \dfrac{g'(x)}{g(x)} f ′ ( x ) = g ′ ( x ) ⋅ g ( x ) 1 = g ( x ) g ′ ( x )
Logarithmus mit beliebiger Basis
Die Ableitung des natürlichen Logartihmus mit der Basis e ist.
f(x)= \ln(x) = \log_{e}(x) f ( x ) = ln ( x ) = log e ( x ) f(x)= \ln(x) = \log_{e}(x) f ( x ) = ln ( x ) = log e ( x ) f'(x)=\dfrac{1}{x} f ′ ( x ) = 1 x f'(x)=\dfrac{1}{x} f ′ ( x ) = x 1
Hat der Logarithmus, eine andere Basis, musst du noch einen Faktor ergänzen.
f(x)= \log_{\textcolor{sc_color_1}{b}}(x) f ( x ) = log b ( x ) f(x)= \log_{\textcolor{#7F7706}{b}}(x) f ( x ) = log b ( x ) f'(x)=\dfrac{1}{\textcolor{sc_color_1}{\ln(b)}\cdot x} f ′ ( x ) = 1 ln ( b ) ⋅ x f'(x)=\dfrac{1}{\textcolor{#7F7706}{\ln(b)}\cdot x} f ′ ( x ) = l n ( b ) ⋅ x 1
Logarithmusfunktion ableiten Definition
Die Ableitung vom Logarithmus lautet
f(x)= \ln(x) f ( x ) = ln ( x ) f(x)= \ln(x) f ( x ) = ln ( x ) f'(x)=\dfrac{1}{x} f ′ ( x ) = 1 x f'(x)=\dfrac{1}{x} f ′ ( x ) = x 1 Noch nicht genug? In der App warten noch mehr Inhalte zu diesem Thema auf dich!
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Beispiele Logarithmusfunktion
Logarithmus als äußere Funktion f(x)= \ln(\textcolor{sc_color_1}{x^3}) f ( x ) = ln ( x 3 ) f(x)= \ln(\textcolor{#7F7706}{x^3}) f ( x ) = ln ( x 3 ) f'(x)=\textcolor{sc_color_1}{3x^2}\cdot \dfrac{1}{x^3} f ′ ( x ) = 3 x 2 ⋅ 1 x 3 f'(x)=\textcolor{#7F7706}{3x^2}\cdot \dfrac{1}{x^3} f ′ ( x ) = 3 x 2 ⋅ x 3 1
Hier kannst du noch kürzen.
f'(x) = \dfrac{3x^2}{x^3} = \dfrac{3}{x} f ′ ( x ) = 3 x 2 x 3 = 3 x f'(x) = \dfrac{3x^2}{x^3} = \dfrac{3}{x} f ′ ( x ) = x 3 3 x 2 = x 3
Logarithmus als innere Funktion f(x)= \textcolor{sc_color_1}{\ln(x)}^3 f ( x ) = ln ( x ) 3 f(x)= \textcolor{#7F7706}{\ln(x)}^3 f ( x ) = l n ( x ) 3 f'(x)=\textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{x}}\cdot 3\ln(x)^2 f ′ ( x ) = 1 x ⋅ 3 ln ( x ) 2 f'(x)=\textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{x}}\cdot 3\ln(x)^2 f ′ ( x ) = x 1 ⋅ 3 ln ( x ) 2 f'(x) = \dfrac{3\ln(x)^2}{x} f ′ ( x ) = 3 ln ( x ) 2 x f'(x) = \dfrac{3\ln(x)^2}{x} f ′ ( x ) = x 3 ln ( x ) 2
Logarithmus Basis 10 - einfach f(x)= \log_{10}(x) f ( x ) = log 10 ( x ) f(x)= \log_{10}(x) f ( x ) = log 10 ( x ) f'(x)=\dfrac{1}{\ln(10)\cdot x} f ′ ( x ) = 1 ln ( 10 ) ⋅ x f'(x)=\dfrac{1}{\ln(10)\cdot x} f ′ ( x ) = ln ( 10 ) ⋅ x 1
Logarithmus Basis 10 - schwierig f(x)= \log_{10}\left(\textcolor{sc_color_1}{e^x}\right) f ( x ) = log 10 ( e x ) f(x)= \log_{10}\left(\textcolor{#7F7706}{e^x}\right) f ( x ) = log 10 ( e x ) f'(x)=\textcolor{sc_color_1}{e^x} \cdot \dfrac{1}{\ln(10)\cdot \textcolor{sc_color_1}{e^x}} f ′ ( x ) = e x ⋅ 1 ln ( 10 ) ⋅ e x f'(x)=\textcolor{#7F7706}{e^x} \cdot \dfrac{1}{\ln(10)\cdot \textcolor{#7F7706}{e^x}} f ′ ( x ) = e x ⋅ ln ( 10 ) ⋅ e x 1
Du kannst die Kettenregel anwenden und kürzen.
f'(x) = \dfrac{e^x}{\ln(10)\cdot e^x} = \dfrac{1}{\ln(10)} f ′ ( x ) = e x ln ( 10 ) ⋅ e x = 1 ln ( 10 ) f'(x) = \dfrac{e^x}{\ln(10)\cdot e^x} = \dfrac{1}{\ln(10)} f ′ ( x ) = ln ( 10 ) ⋅ e x e x = ln ( 10 ) 1 
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