Prozente addieren, subtrahieren & multiplizieren

Wie viel sind eigentlich 30~\%$30~\%$ von 20~\%$20~\%$? Oder wie viel ist übrig, wenn du noch 80~\%$80~\%$ deines Taschengelds hattest, aber spontan 35~\%$35~\%$ deines ursprünglichen Taschengelds für Spiele ausgegeben hast?

Solche Fragen können ganz schön verwirrend sein. Du kannst sie aber ganz einfach durch Addition, Subtraktion oder Multiplikation lösen. Die Grundrechenarten funktionieren nämlich auch bei Prozenten!

simpleclub zeigt dir, woher du weißt, welches Rechenzeichen du in welcher Situation verwenden musst und was dabei zu beachten ist.

Prozente addieren, subtrahieren & multiplizieren einfach erklärt

Addition & Subtraktion

Du addierst und subtrahierst zwei Prozentsätze, wenn du zwei oder mehr überschneidungsfreie (auch disjunkte) Anteile desselben Ganzen zusammenzählen oder wegnehmen möchtest.

Es ist also wichtig, dass beide Prozentsätze denselben Grundwert haben!

Beispielsweise sind 15~\%$15~\%$ eines Ganzen, zu denen du nochmal 20~\%$20~\%$ des Ganzen legst, genau 35~\%$35~\%$ des Ganzen.

Multiplikation

Du multiplizierst zwei Prozentsätze, wenn du einen Anteil von einem Anteil nimmst und wissen möchtest, wie viel des Ganzen das ist.

Beispielsweise sind 50~\%$50~\%$ von 30~\%$30~\%$ eines Ganzen genau 15~\%$15~\%$ des Ganzen, denn 0,5\cdot0,3=0,15=15~\%.$0,5\cdot0,3=0,15=15~\%.$

Prozente addieren, subtrahieren & multiplizieren Definition

Erklärung

Prozente addieren & subtrahieren

Lass uns die Addition und Subtraktion von Prozentsätzen direkt an einem Beispiel ansehen.

Jan und Lea haben sich jeweils eine Pizza bestellt. Jetzt kommt aber noch spontan Mai dazu.

Beide haben ihre Pizza in 10$10$ Stücke geschnitten.

• Jan gibt 5$5$ seiner 10$10$ Stücke an Mai ab. Das sind 50~\%$50~\%$.
• Lea gibt 2$2$ ihrer 10$10$ Stücke an Mai ab. Das sind 20~\%$20~\%$.

Addition

Versetze dich in die Lage von Mai, die von Jan 50~\%$50~\%$ einer Pizza und von Lea 20~\%$20~\%$ einer Pizza bekommt.

Es gilt:

Lea bekommt insgesamt also 70~\%$70~\%$ einer ganzen Pizza.

\implies$\implies$ Diese Addition funktioniert, weil sich beide Prozentsätze auf dieselbe Größe „Pizza“ und denselben Grundwert „eine ganze Pizza“ beziehen.

Unterschiedliche Größen & Grundwerte

Du könntest nicht 50~\%$50~\%$ einer Portion Nudeln und 20~\%$20~\%$ einer Pizza verrechnen, da das unterschiedliche Größen sind und deshalb keinen Sinn macht.

Die Anzahl der Stücke ist aber egal, da du mit Prozentsätzen rechnest. Hätte Lea ihre Pizza in nur 5 Stücke geschnitten und würde 20~\%$20~\%$ abgeben, dann wäre das ein (größeres) Stück. Trotzdem entspricht das Stück immer noch 20~\%$20~\%$ einer ganzen Pizza, also 20~\%$20~\%$ desselben Grundwerts.

Hätte Jan aber zwei Pizzen und würde davon 50~\%$50~\%$ abgeben, hättest du unterschiedliche Grundwerte. Hier müsstest du den Prozentsatz zuerst auf denselben Grundwert umrechnen. 50~\%$50~\%$ von zwei Pizzen sind 100~\%$100~\%$ einer Pizza. Mai bekäme hier 100~\%+20~\%=120~\%$100~\%+20~\%=120~\%$ einer ganzen Pizza.

Subtraktion

Sieh dir jetzt die Perspektive von Jan und Lea an. Beide geben Anteile ab.

Um die übrigen Anteile der ganzen Pizza zu berechnen, musst du dementsprechend subtrahieren.

Du hast hier also jeweils einen Anteil eines Ganzen weggenommen. Du hast also vom Minuenden 100~\%$100~\%$ einen Prozentsatz subtrahiert. Das ist oft der Fall.

Anderer Minuend

Das heißt aber nicht, dass der Minuend (die Zahl, von der du abziehst) immer 100~\%$100~\%$ sein muss. Würde beispielsweise Mai von ihren 70~\%$70~\%$ einer ganzen Pizza wieder 20~\%$20~\%$ der ganzen Pizza an Lea zurückgeben, dann rechnest du:

Sie hätte also noch 50~\%$50~\%$ einer ganzen Pizza.

Wichtig ist also nur, dass sich beide Prozentsätze auf denselben Grundwert, nämlich die ganze Pizza, beziehen.

Prozente multiplizieren

Du verwendest die Multiplikation von Prozentsätzen, wenn du den Anteil eines Anteils kennst und wissen möchtest, wie viel des Ganzen das ist.

Lass uns das wieder am Beispiel von eben ansehen.

Jan gibt ja 50~\%$50~\%$ seiner Pizza an Mai ab. Jetzt kommt spontan aber auch noch Louis und bittet Jan um 50~\%$50~\%$ des Rests.

Jan gibt also 50~\%$50~\%$ seiner übrigen 50~\%$50~\%$ ab. Wie viel des Ganzen hat er noch?

Du siehst, dass Jan 25~\%$25~\%$ seiner ganzen Pizza bleiben, also 25~\%$25~\%$ des Grundwerts.

Achtung! Das Multiplizieren von Prozentsätzen unterscheidet sich vom Addieren und Subtrahieren.

Du kannst das Prozentzeichen nicht von jeder Zahl entfernen, multiplizieren und am Ende das Prozentzeichen wieder hinschreiben. Sonst hättest du nämlich:

Wandle die Prozentangaben stattdessen in Dezimalzahlen um.

Erinnerung: Verschiebe dazu das Komma um zwei Stellen nach links. \rarr$\rarr$ 50~\%=0,5$50~\%=0,5$

Verständnis großer und kleiner Prozentsätze

Mit dem Wissen zur Addition & Subtraktion von Prozenten kannst du jetzt auch eine Veränderung um große und kleine Prozentsätze besser verstehen.

• Etwas um 100~\%$100~\%$ zu erhöhen heißt 100~\%+100~\%=200~\%$100~\%+100~\%=200~\%$ \rarr$\rarr$ Verdoppeln

• Etwas um 200~\%$200~\%$ zu erhöhen heißt 100~\%+200~\%=300~\%$100~\%+200~\%=300~\%$ \rarr$\rarr$ Verdreifachen

• Etwas um 50~\%$50~\%$ zu senken heißt 100~\%-50~\%=50~\%$100~\%-50~\%=50~\%$ \rarr$\rarr$ Halbieren

• Etwas um 75~\%$75~\%$ zu senken heißt 100~\%-75~\%=25~\%$100~\%-75~\%=25~\%$ \rarr$\rarr$ Vierteln

Beispiele

Jan bekommt jeden Monat 20~€$20~€$ Taschengeld. Sein gesamtes Taschengeld gibt er anteilig wie im folgenden Kreisdiagramm dargestellt aus.

Prozente addieren

Aufgabe

Wie viel Prozent des Taschengelds gibt Jan für Bücher und Freizeit zusammen aus?

Lösung

Alle Angaben beziehen sich auf denselben Grundwert, nämlich das gesamte Taschengeld.
Du kannst also einfach die Prozentsätze für Bücher und Freizeit addieren.

Jan gibt insgesamt 60~\%$60~\%$ seines Taschengelds für Bücher und Freizeit aus.

Prozente subtrahieren

Aufgabe

Jan hat den Anteil für Süßigkeiten bereits ausgegeben. Er hat also noch 90~\%$90~\%$ seines Taschengelds übrig.

Jetzt geht er in eine Buchhandlung und kauft ein Buch, was genau die geplanten 15~\%$15~\%$ seines Taschengelds kostet.

Wie viel Prozent des Taschengelds ist jetzt noch übrig?

Lösung

Auch hier gehst du vom selben Grundwert, dem gesamten Taschengeld, aus. Deshalb darfst du subtrahieren.

Jan hat nach seinen Ausgaben für Süßigkeiten und Bücher noch 75~\%$75~\%$ des gesamten Taschengelds übrig.

Prozente multiplizieren

Aufgabe

Von den 45~\%$45~\%$ für Freizeit gibt er 80\%$80\%$ für einen Kinobesuch aus.

Wie viel Prozent des gesamten Taschengelds macht der Kinobesuch aus?

Lösung

Der Kinobesuch ist ein Anteil eines Anteils. Du musst also multiplizieren. Vergiss dabei nicht das Umrechnen in Dezimalzahlen.

Jan gibt 36~\%$36~\%$ seines gesamten Taschengelds für den Kinobesuch aus.

Zusammenfassung Prozente addieren, subtrahieren & multiplizieren

Verwende die

• Addition, wenn du disjunkte (überschneidungsfreie) Anteile eines Ganzen zusammenzählen möchtest. Achte darauf, dass du denselben Grundwert hast.
• Subtraktion, wenn du einen Anteil eines Ganzen wegnimmst. Achte darauf, dass du denselben Grundwert hast.
• Multiplikation, wenn du den Anteil eines Anteils wegnimmst und wissen möchtest, wie viel des Ganzen das ist.