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Grundwert

Ob beim Einkaufen oder in der Finanzrechnung: Prozentrechnung ist im Alltag überall. Doch um sie richtig anwenden zu können, brauchst du auf jeden Fall den Grundwert.

Was genau ist der Grundwert und wie hängt er mit Prozenten zusammen? Und was genau macht der vermehrte oder der verminderte Grundwert?

Mit simpleclub kannst du das Thema einfach und verständlich lernen. Wir zeigen dir, wie du den Grundwert berechnest und ihn in Prozentrechnung verwendest.

Grundwert einfach erklärt

Der Grundwert in der Prozentrechnung ist der ursprüngliche Wert, auf den sich eine Prozentangabe bezieht. Wenn wir also zum Beispiel sagen, dass ein Rabatt von 20 \ \% $20 \ \%$ auf einen Kaufpreis gewährt wird, dann ist der ursprüngliche Kaufpreis der Grundwert. Ohne den Grundwert ist es schwierig, die tatsächliche Bedeutung von Prozentangaben zu verstehen.

Grundwert Definition

Der Grundwert ist "das Ganze", von dem in der Prozentrechnung ein Anteil berechnet wird.

\begin{aligned} \textsf{Grundwert}&=\frac{\textsf{Prozentwert}}{\textsf{Prozentsatz}}\\[3mm] \col[4]{{G}}&=\frac{\col[5]{{W}}}{\col[6]{{p~\%}} } \end{aligned}

\begin{aligned} \textsf{Grundwert}&=\frac{\textsf{Prozentwert}}{\textsf{Prozentsatz}}\\[3mm] \col[4]{{G}}&=\frac{\col[5]{{W}}}{\col[6]{{p~\%}} } \end{aligned}

Grundwert Erklärung

Pizza Beispiel

Wenn wir uns eine Pizza vorstellen, die in 10 $10$ gleichgroße Stücke zerteilt wurde, dann sind diese 10 $10$ Stücke der Grundwert.

Grundwert Formel

Du kannst den Grundwert mit dieser Formel berechnen.

\begin{aligned} \textsf{Grundwert}&=\frac{\textsf{Prozentwert}}{\textsf{Prozentsatz}}\\[3mm] \col[4]{{G}}&=\frac{\col[5]{{W}}}{\col[6]{{p~\%}} } \end{aligned}

\begin{aligned} \textsf{Grundwert}&=\frac{\textsf{Prozentwert}}{\textsf{Prozentsatz}}\\[3mm] \col[4]{{G}}&=\frac{\col[5]{{W}}}{\col[6]{{p~\%}} } \end{aligned}

Achte darauf für \col[6]{ p\ \%} $\col[6]{ p\ \%}$ immer nur die Dezimalzahlen einzusetzen.

Anstatt der Formel kannst du dir auch einfach folgendes Dreieck merken: Der Prozentwert \col[5]W $\col[5]W$ bildet die Spitze, Prozentsatz \col[6]{p \ \%} $\col[6]{p \ \%}$ und Grundwert \col[4]G $\col[4]G$ die Basis.

Tippe auf den Buchstaben, den du berechnen möchtest!

Jetzt hältst du einfach den Buchstaben zu, nach dem du Umstellen möchtest. Stehen die beiden übrigen Buchstaben nebeneinander, musst du sie multiplizieren. Stehen sie übereinander, ergibt das einen Bruch.

Wir wollen jetzt den Grundwert berechnen, deswegen halten wir das \col[4] G $\col[4] G$ zu. Übrig bleibt dann der Prozentwert \col[5] W $\col[5] W$ geteilt durch den Prozentsatz \col[6] {p \ \%} $\col[6] {p \ \%}$ .

Kennst du zum Beispiel nur die Information, dass 3 $3$ Pizzastücke 30\ \% ( \rarr 0,3 ) $30\ \% ( \rarr 0,3 )$ entsprechen, so kannst du eine \col[5]3 $\col[5]3$ für den Prozentwert und eine \col[6]{0,3} $\col[6]{0,3}$ für den Prozentsatz einsetzen und erhält damit den Grundwert.

\textsf{Grundwert}=\frac{\col[5]{3}}{\col[6]{0,3}}=\col[4]{10}

\textsf{Grundwert}=\frac{\col[5]{3}}{\col[6]{0,3}}=\col[4]{10}

Vermehrter Grundwert

G^+=\col[4]G\cdot (1+\col[6]{p\ \%})

G^+=\col[4]G\cdot (1+\col[6]{p\ \%})

Der vermehrte Grundwert ist der ursprüngliche Wert + $+$ der anteilige Wert.

Beispiel:

Stelle dir vor, du hast 100 \ € $100 \ €$ auf deinem Bankkonto und erhältst einen Zinssatz von 5\ \% $5\ \%$ pro Jahr. Nach einem Jahr hast du 105 \ € $105 \ €$ auf deinem Konto. Das bedeutet, dass der vermehrte Grundwert (die ursprünglichen 100 \ € + 5\ € $100 \ € + 5\ €$ Zinsen) jetzt 105 \ € $105 \ €$ beträgt.

Rechnung:

\begin{aligned} G^+&=\col[4]G\cdot (1+\col[6]{p\ \%})\\ G^+&=\col[4]{100}\cdot (1+\col[6]{0,05})\\ G^+&=\col[4]{100}\cdot 1,05\\ G^+&=105 \end{aligned}

\begin{aligned} G^+&=\col[4]G\cdot (1+\col[6]{p\ \%})\\ G^+&=\col[4]{100}\cdot (1+\col[6]{0,05})\\ G^+&=\col[4]{100}\cdot 1,05\\ G^+&=105 \end{aligned}

Wenn du das Geld für ein weiteres Jahr auf dem Konto lässt, dann rechnest du jetzt mit dem vermehrten Grundwert weiter und berechnest davon die 5\ \% $5\ \%$ Zinsen.

Verminderter Grundwert

G^-=\col[4]G\cdot (1-\col[6]{p\ \%})

G^-=\col[4]G\cdot (1-\col[6]{p\ \%})

Der verminderte Grundwert ist hingegen der ursprüngliche Wert, von dem ein Anteil abgezogen wurde.

Beispiel:

Stelle dir vor, du möchtest ein T-Shirt kaufen, das 25 \ € $25 \ €$ kostet. An der Kasse bekommst du allerdings noch einmal 20 \ \% $20 \ \%$ Rabatt auf alle Kleidungsstücke. Wie viel Geld musst du dann letztendlich für das T-Shirt bezahlen?

Rechnung:

\begin{aligned} G^-&=\col[4]G\cdot (1-\col[6]{p\ \%})\\ G^-&=\col[4]{25}\cdot (1-\col[6]{0,2})\\ G^-&=\col[4]{25}\cdot 0,8\\ G^-&=20 \end{aligned}

\begin{aligned} G^-&=\col[4]G\cdot (1-\col[6]{p\ \%})\\ G^-&=\col[4]{25}\cdot (1-\col[6]{0,2})\\ G^-&=\col[4]{25}\cdot 0,8\\ G^-&=20 \end{aligned}

Du bezahlst also 20 \ € $20 \ €$ für das T-shirt.

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Beispiele

Preisbeispiel

Jan kauft ein neues Fahrrad. Er hat den Preis auf 90\ \% $90\ \%$ des ursprünglichen Preises runtergehandelt und muss 450\ € $450\ €$ zahlen.

Wie teuer war das Fahrrad ursprünglich?

Dazu bestimmen wir zuerst, wie der Prozentwert und der Prozentsatz lauten.

\textsf{Prozentwert}=\col[5]{450 \ €}

\textsf{Prozentwert}=\col[5]{450 \ €}

\textsf{Prozentsatz}=\col[6]{90\ \%}\rarr \col[6]{0,9}

\textsf{Prozentsatz}=\col[6]{90\ \%}\rarr \col[6]{0,9}

Nun können wir die Werte in die Formel einsetzen, um den Grundwert zu berechnen.

\textsf{Grundwert}=\frac{\col[5]{450 \ €}}\col[6]{0,9}=\col[4]{500 \ €}

\textsf{Grundwert}=\frac{\col[5]{450 \ €}}\col[6]{0,9}=\col[4]{500 \ €}

Der Grundwert beträgt \col[4]{500 \ €} $\col[4]{500 \ €}$ .

Konsolenbeispiel

Eine Firma stellt Spielkonsolen her. Es wird eine Probe entnommen, von der 15 $15$ Konsolen defekt sind, was 5\ \% $5\ \%$ der Probe entspricht.

Wie groß war die Probe?

Dazu bestimmen wir zuerst, wie der Prozentwert und der Prozentsatz lauten.

\textsf{Prozentwert}=\col[5]{15}

\textsf{Prozentwert}=\col[5]{15}

\textsf{Prozentsatz}=\col[6]{5\ \%}\rarr \col[6]{0,05}

\textsf{Prozentsatz}=\col[6]{5\ \%}\rarr \col[6]{0,05}

Nun können wir die Werte in die Formel einsetzen, um den Grundwert zu berechnen.

\textsf{Grundwert}=\frac{\col[5]{15}}\col[6]{0,05}=\col[4]{300}

\textsf{Grundwert}=\frac{\col[5]{15}}\col[6]{0,05}=\col[4]{300}

Der Grundwert beträgt \col[4]{300} $\col[4]{300}$ .

Fußballbeispiel

In einem Dorf leben 600 $600$ Menschen. Von allen Kindern spielen 25 $25$ Fußball, was 12,5\ \% $12,5\ \%$ der Kinder entspricht.

Wie viele Kinder leben im Dorf?

Dazu bestimmen wir zuerst, wie der Prozentwert und der Prozentsatz lauten.

\textsf{Prozentwert}=\col[5]{25}

\textsf{Prozentwert}=\col[5]{25}

\textsf{Prozentsatz}=\col[6]{12,5\ \%}\rarr \col[6]{0,125}

\textsf{Prozentsatz}=\col[6]{12,5\ \%}\rarr \col[6]{0,125}

Nun können wir die Werte in die Formel einsetzen, um den Grundwert zu berechnen.

\textsf{Grundwert}=\frac{\col[5]{25}}\col[6]{0,125}=\col[4]{200}

\textsf{Grundwert}=\frac{\col[5]{25}}\col[6]{0,125}=\col[4]{200}

Der Grundwert beträgt \col[4]{200} $\col[4]{200}$ .

Grundwert Zusammenfassung

Der Grundwert ist „das Ganze" von dem dann ein Anteil für die Prozentrechnung berechnet wird.

\begin{aligned} \textsf{Grundwert}&=\frac{\textsf{Prozentwert}}{\textsf{Prozentsatz}}\\[3mm] \col[4]{{G}}&=\frac{\col[5]{{W}}}{\col[6]{{p~\%}} } \end{aligned}

\begin{aligned} \textsf{Grundwert}&=\frac{\textsf{Prozentwert}}{\textsf{Prozentsatz}}\\[3mm] \col[4]{{G}}&=\frac{\col[5]{{W}}}{\col[6]{{p~\%}} } \end{aligned}

Vermehrter Grundwert

G^+=\col[4]G\cdot (1+\col[6]{p\ \%})

G^+=\col[4]G\cdot (1+\col[6]{p\ \%})

Verminderter Grundwert

G^-=\col[4]G\cdot (1-\col[6]{p\ \%})

G^-=\col[4]G\cdot (1-\col[6]{p\ \%})

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