Überholung

Eine Überholung ist ein Vorgang bei dem sich ein schneller bewegendes Objekt an einem langsameren vorbei bewegt.


Überholung

In der Animation kannst du sehen wie Jan mit seinem Auto Janine überholt. Jan fährt schneller als Janine, weshalb er an der langsamer fahrenden Janine vorbeifahren kann.

Überholender

Als Überholender wird immer derjenige bezeichnet, der sich an dem anderen Objekt vorbeibewegt. Im obigen Fall also Jan.

Überholter

Als Überholter bewegt man sich langsamer als der Überholende und wird deshalb überholt. Im obigen Fall ist Janine die Überholte.

Voraussetzung zum Überholen ist immer, dass sich der Überholende schneller bewegt, als der Überholte.

Differenzgeschwindigkeit

Als Differenzgeschwindigkeit bezeichnet man den Geschwindigkeitsunterschied zwischen Überholten und Überholenden. Also in obigen Beispiel den Geschwindigkeitsunterschied zwischen Janine und Jan.

Berechnung der Differenzgeschwindigkeit

Die Differenzgeschwindigkeit berechnet sich aus den beiden Geschwindigkeiten.

\Delta v = v_{Überholender} - v_{Überholter}Δv=vU¨berholendervU¨berholter\Delta v = v_{Überholender} - v_{Überholter}

Wenn Jan also 80 km/h fährt und Janine 60 km/h, dann ergibt sich eine Differenzgeschwindigkeit von:

\Delta v = 80 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} - 60 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} = 20 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}Δv=80kmh60kmh=20kmh\Delta v = 80 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} - 60 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} = 20 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}

Gesamtlänge bei der Überholung

Als Gesamtlänge ist bei der Überholung die Länge der beiden Fahrzeuge und zwei zusätzliche Sicherheitsabstände zu verstehen.

Jan muss mit einem gewissen Abstand zu Janines Auto zum Überholen ansetzen und kann auch erst mit einem bestimmten Sicherheitsabstand zu Janine wieder in die Spur wechseln.

Als Sicherheitsabstand wird oft die halbe Geschwindigkeit genutzt.

Anschaulich gesehen entspricht die Gesamtlänge der Überholung den zusätzlichen Weg, den Jan im Vergleich zu Janine zurücklegen muss.

L_{Gesamt} = L_{Fahrzeug 1} + L_{Fahrzeug 2} + 2 \cdot \text{Sicherheitsabstand}LGesamt=LFahrzeug1+LFahrzeug2+2SicherheitsabstandL_{Gesamt} = L_{Fahrzeug 1} + L_{Fahrzeug 2} + 2 \cdot \text{Sicherheitsabstand}

Die Gesamtlänge der Überholung wird benötigt, um den Überholweg zu berechnen.

Überholweg

Der Überholweg ist der Weg, der für ein Überholmanöver benötigt wird. Man kann ihn über folgende Formel berechnen:

s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}s=LGesamtvU¨berholenderΔvs = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}

Dabei bedeutet ...

s = \text{Überholweg}s=U¨berholwegs = \text{Überholweg}L_{Gesamt} = \text{Gesamtlänge bei der Überholung}LGesamt=Gesamtla¨nge bei der U¨berholungL_{Gesamt} = \text{Gesamtlänge bei der Überholung}v_{Überholender}= \text{Geschwindigkeit des Überholenden}vU¨berholender=Geschwindigkeit des U¨berholendenv_{Überholender}= \text{Geschwindigkeit des Überholenden}\Delta v = \text{Differenzgeschwindigkeit}Δv=Differenzgeschwindigkeit\Delta v = \text{Differenzgeschwindigkeit}

Überholzeit

Die Überholzeit oder auch Überholdauer ist die Zeit, die für einen Überholvorgang benötigt wird.

Zur Berechnung benutzt man die Formel der gleichförmigen Bewegung.

s = v \cdot ts=vts = v \cdot t

Ein Umstellen nach der Zeit bringt:

t = \:\frac{s}{v}t=svt = \:\frac{s}{v}

Wir müssen also einen Weg durch eine Zeit teilen.

Standardmäßig berechnet man die Überholzeit aus der Gesamtlänge der Überholung und der Differenzgeschwindigkeit.

t = \frac{L_{Gesamt}}{\Delta v}t=LGesamtΔvt = \frac{L_{Gesamt}}{\Delta v}

Wenn man bereits den Überholweg berechnet hat, ist es auch möglich, den Überholweg durch die Geschwindigkeit des Überholenden, also durch die höhere Geschwindigkeit, zu teilen.

t = \frac{s}{v_1}t=sv1t = \frac{s}{v_1}

wobei ...

s = \text{Überholweg}s=U¨berholwegs = \text{Überholweg}v_{Überholender} = \text{Geschwindigkeit Überholender}vU¨berholender=Geschwindigkeit U¨berholenderv_{Überholender} = \text{Geschwindigkeit Überholender}

Beispiele

Stehenden LKW überholen

Jan fährt mit seinem Auto (L = 4,5 m) mit 63 km/h an einem stehenden LKW (L = 12 m) vorbei. Der Sicherheitsabstand soll jeweils 25 Meter sein. Wie lange ist der Überholweg?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} v_1 &= 63 \:\frac{km}{h} \\ L_1 &= 4,5 \text{ m} \\ L_2 &= 12 \text{ m}\end{aligned} v1=63kmhL1=4,5 mL2=12 m\begin{aligned} v_1 &= 63 \:\frac{km}{h} \\ L_1 &= 4,5 \text{ m} \\ L_2 &= 12 \text{ m}\end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

s= \: ?s=?s= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}s=LGesamtvU¨berholenderΔvs = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Jan fährt mit 63 km/h. Die Geschwindigkeit müssen wir in m/s umrechnen:

63 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} : 3,6 = 17,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}63kmh:3,6=17,5ms63 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} : 3,6 = 17,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Berechnen wir zunächst die Gesamtlänge der Überholung:

L_{Gesamt} = L_1 + L_2 + 2 \cdot \text{Sicherheitsabstand}LGesamt=L1+L2+2SicherheitsabstandL_{Gesamt} = L_1 + L_2 + 2 \cdot \text{Sicherheitsabstand}L_{Gesamt} = 4,5 \text{ m} + 12 \text{ m} + 2 \cdot 25 \text{ m}LGesamt=4,5 m+12 m+225 mL_{Gesamt} = 4,5 \text{ m} + 12 \text{ m} + 2 \cdot 25 \text{ m}L_{Gesamt} = 66,5 \text{ m}LGesamt=66,5 mL_{Gesamt} = 66,5 \text{ m}

Setzen wir nun in die Formel für den Überholweg ein:

s = \frac{66,5 \text{ m} \cdot 17,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{17,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - 0 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s=66,5 m17,5ms17,5ms0mss = \frac{66,5 \text{ m} \cdot 17,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{17,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - 0 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s = 66,5 \text{ m}s=66,5 ms = 66,5 \text{ m}

Der Überholweg ist also 66,5 m.

Dabei fällt auf, dass bei einer Überholung eines stehenden Autos der Überholweg genau so lang ist, wie die Gesamtlänge der Überholung. Dies ist immer so, da bei einem stehendem Auto die Geschwindigkeit des Überholenden gleich der Differenzgeschwindigkeit der beiden Fahrzeuge entspricht. Die Geschwindigkeiten kürzen sich weg und übrig bleibt die Gesamtlänge der Überholung.

Elefantenrennen

Auf Autobahnen kommt es oft zu Staus durch ein sogenanntes Elefantenrennen. Bei einem Elefantenrennen überholt ein LKW mit einer nur gering höheren Geschwindigkeit einen anderen LKW. Da der Überholweg recht lang ist, blockiert der überholende LKW für die nachfolgenden Autos die Überholspur und es kann ein Stau entstehen.

Wie groß ist der Überholweg, wenn ein 85 km/h schneller 18 Meter langer LKW einen 80 km/h schnellen 15 Meter langen LKW überholt, und jeweils ein Sicherheitsabstand von 40 Meter eingehalten werden soll.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} v_1 &= 85 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v_2 &= 80 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ L_1 &= 18 \text{ m} \\ L_2 &= 15 \text{ m}\end{aligned} v1=85kmhv2=80kmhL1=18 mL2=15 m\begin{aligned} v_1 &= 85 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v_2 &= 80 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ L_1 &= 18 \text{ m} \\ L_2 &= 15 \text{ m}\end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

s= \: ?s=?s= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}s=LGesamtvU¨berholenderΔvs = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wir berechnen zunächst die Gesamtlänge der Überholung:

L_{Gesamt} = L_1 + L_2 + 2 \cdot \text{Sicherheitsabstand}LGesamt=L1+L2+2SicherheitsabstandL_{Gesamt} = L_1 + L_2 + 2 \cdot \text{Sicherheitsabstand}L_{Gesamt} = 18 \text{ m} + 15 \text{ m} + 40 \text{ m} + 40 \text{ m}LGesamt=18 m+15 m+40 m+40 mL_{Gesamt} = 18 \text{ m} + 15 \text{ m} + 40 \text{ m} + 40 \text{ m}

Für den Überholweg ergibt sich dann:

s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{1}}{\Delta v}s=LGesamtv1Δvs = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{1}}{\Delta v}s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{1}}{v_1 - v_2}s=LGesamtv1v1v2s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{1}}{v_1 - v_2}s = \frac{(18 \text{ m} + 15 \text{ m} + 40 \text{ m} + 40 \text{ m}) \cdot \frac{85}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{85}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - \frac{80}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s=(18 m+15 m+40 m+40 m)853,6ms853,6ms803,6mss = \frac{(18 \text{ m} + 15 \text{ m} + 40 \text{ m} + 40 \text{ m}) \cdot \frac{85}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{85}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - \frac{80}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s = 1921 \text{ m} \approx 1,9 \text{ km}s=1921 m1,9 kms = 1921 \text{ m} \approx 1,9 \text{ km}

Der Überholweg ist also ungefähr 1,9 km.

Jan überholt Janine

Jan fährt mit seinem Auto konstant mit 108 km/h auf der Straße. Er will die vor ihm langsam fahrende Janine (v = 90 km/h) überholen. Beide Autos haben eine Länge von viereinhalb Meter. Jan soll beim Überholen einen Sicherheitsabstand von jeweils 50 Metern einhalten. Wie lange ist der Überholweg und wie lange dauert das Überholmanöver?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} v_{Jan} &= 108 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v_{Janine} &= 90 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ L_{Janine} &= L_{Jan} = 4,5 \text{ m}\end{aligned} vJan=108kmhvJanine=90kmhLJanine=LJan=4,5 m\begin{aligned} v_{Jan} &= 108 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v_{Janine} &= 90 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ L_{Janine} &= L_{Jan} = 4,5 \text{ m}\end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

s =? \\t= \: ?s=?t=?s =? \\t= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}s=LGesamtvU¨berholenderΔvs = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}t = \frac{L_{Gesamt}}{\Delta v}t=LGesamtΔvt = \frac{L_{Gesamt}}{\Delta v}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wir berechnen uns zunächst die Gesamtlänge der Überholung, um anschließend den Überholweg zu berechnen.

L_{Gesamt} = L_{Janine} + L_{Jan} + 50 \text{ m} + 50 \text{ m}LGesamt=LJanine+LJan+50 m+50 mL_{Gesamt} = L_{Janine} + L_{Jan} + 50 \text{ m} + 50 \text{ m}L_{Gesamt} = 4,5 \text{ m} + 4,5 \text{ m} + 50 \text{ m} + 50 \text{ m}LGesamt=4,5 m+4,5 m+50 m+50 mL_{Gesamt} = 4,5 \text{ m} + 4,5 \text{ m} + 50 \text{ m} + 50 \text{ m}L_{Gesamt} = 109 \text{ m}LGesamt=109 mL_{Gesamt} = 109 \text{ m}

Der Überholweg berechnet sich nun wie folgt:

s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Jan}}{\Delta v}s=LGesamtvJanΔvs = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Jan}}{\Delta v}s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Jan}}{v_{Jan} - v_{Janine}}s=LGesamtvJanvJanvJanines = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Jan}}{v_{Jan} - v_{Janine}}s = \frac{109 \text{ m} \cdot \frac{108}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{108}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - \frac{90}{3,6}\:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s=109 m1083,6ms1083,6ms903,6mss = \frac{109 \text{ m} \cdot \frac{108}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{108}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - \frac{90}{3,6}\:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s = \frac{109 \text{ m} \cdot 30 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{30 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - 25 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s=109 m30ms30ms25mss = \frac{109 \text{ m} \cdot 30 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{30 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - 25 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s = 654 \text{ m}s=654 ms = 654 \text{ m}

Der Überholweg von Jan ist also 654 Meter.

Jans riskantes Überholmanöver

Jan heizt mal wieder mit seinem Schlitten durch die Straßen. Er fährt 60 km/h und will einen vorausfahrenden LKW (v = 50 km/h) überholen. Er setzt 600 Meter vor einer Straßenbiegung zum Überholen an. Jan muss einen Sicherheitsabstand von jeweils 30 Metern einhalten. Die Länge seines Wagens beträgt 5 Meter, die des LKW 10 Meter. Wie schnell darf ein entgegenkommendes Fahrzeug, dass gerade aus der Straßenbiegung kommt, höchstens sein, so dass Jans Überholmanöver noch gelingt, und es zu keinem Crash kommt?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} L_{Jan} &= 5 \text{ m} \\ L_{LKW} &= 10 \text{ m} \\ v_{Jan} &= 60 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v_{LKW} &= 50 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{aligned} LJan=5 mLLKW=10 mvJan=60kmhvLKW=50kmh\begin{aligned} L_{Jan} &= 5 \text{ m} \\ L_{LKW} &= 10 \text{ m} \\ v_{Jan} &= 60 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v_{LKW} &= 50 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

v_{max}= \: ?vmax=?v_{max}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}s=LGesamtvU¨berholenderΔvs = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Überholender}}{\Delta v}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wir müssen zunächst den Überholweg von Jan berechnen:

s = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Janine}}{\Delta v}s=LGesamtvJanineΔvs = \frac{L_{Gesamt} \cdot v_{Janine}}{\Delta v}s = {\frac{(L_{Jan} + L_{LKW} + 2 \cdot \text{Sicherheitsabstand}) \cdot v_{Jan}}{v_{Jan} - v_{LKW}}}s=(LJan+LLKW+2Sicherheitsabstand)vJanvJanvLKWs = {\frac{(L_{Jan} + L_{LKW} + 2 \cdot \text{Sicherheitsabstand}) \cdot v_{Jan}}{v_{Jan} - v_{LKW}}}s = \frac{(5 \text{ m} + 10 \text{ m} + 30 \text{ m} +30 \text{ m}) \cdot \frac{60}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{10}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s=(5 m+10 m+30 m+30 m)603,6ms103,6mss = \frac{(5 \text{ m} + 10 \text{ m} + 30 \text{ m} +30 \text{ m}) \cdot \frac{60}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{10}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}s = 450 \text{ m}s=450 ms = 450 \text{ m}

Der Überholweg von Jan beträgt also 450 Meter.

Bei einer Entfernung zur Staßenbiegung von 600 Metern darf das entgegenkommende Fahrzeug also 150 Meter während Jans Überholvorgang zurücklegen, damit es nicht zu einem Unfall kommt.

Nun müssen wir noch die Überholdauer berechnen:

t = \frac{L_{Gesamt}}{\Delta v}t=LGesamtΔvt = \frac{L_{Gesamt}}{\Delta v}t = \frac{5 \text{ m} + 10 \text{ m} + 30 \text{ m} +30 \text{ m}}{\frac{10}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} }t=5 m+10 m+30 m+30 m103,6mst = \frac{5 \text{ m} + 10 \text{ m} + 30 \text{ m} +30 \text{ m}}{\frac{10}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} }t = 27 \text{ s}t=27 st = 27 \text{ s}

Das entgegenkommende Fahrzeug darf also in den 27 Sekunden maximal 150 Meter zurücklegen.

v_{max} = \frac{150 \text{ m}}{27 \text{ s}}vmax=150 m27 sv_{max} = \frac{150 \text{ m}}{27 \text{ s}}v_{max} \approx 5,6 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 20 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}vmax5,6ms20kmhv_{max} \approx 5,6 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 20 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}

Das entgegenkommende Fahrzeug darf also maximal 20 km/h schnell sein. Da es mit großer Wahrscheinlichkeit allerdings auch schneller unterwegs ist, ist Jans Überholmanöver sehr gefährlich.

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