Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft ist die Kraft, die einen Körper bei der Rotation auf einer Kreisbahn hält. Sie ist deshalb immer nach innen zur Drehachse gerichtet.


Hammerwerfer

Die Zentripetalkraft ist immer die Ursache der Rotation. Sie bewegt den Körper auf eine Kreisbahn.

In der Animation ist diese Zentripetalkraft die Muskelkraft des Hammerwerfers.

Formel

Die Zentripetalkraft lässt sich aus dem Radius (r), der Geschwindigkeit (v) und der Masse (m) des rotierenden Körpers berechnen:

F_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}FZ=mv2rF_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}

Einheit:

[F_Z]=\text{N}[FZ]=N[F_Z]=\text{N}

Formel mit Rotationsgrößen

Im Thema Winkelgeschwindigkeit gibt es einen Zusammenhang zwischen der Tangentialgeschwindigkeit, dem Radius und der Winkelgeschwindigkeit. Mit der Formel:

v = \omega \cdot rv=ωrv = \omega \cdot r

kann man die Zentripetalkraft auch über eine alternative Formel berechnen, nämlich:

F_Z = \frac{m \cdot (\omega \cdot r)^2}{r} = \frac{m \cdot w^2 \cdot r^2}{r}FZ=m(ωr)2r=mw2r2rF_Z = \frac{m \cdot (\omega \cdot r)^2}{r} = \frac{m \cdot w^2 \cdot r^2}{r}

Das r kann man noch kürzen und wir erhalten eine weitere wichtige Formel für die Berechnung:

F_Z = m \cdot \omega^2 \cdot rFZ=mω2rF_Z = m \cdot \omega^2 \cdot r

Abgrenzung zur Zentrifugalkraft

Die Zentripetalkraft darf nicht mit der Zentrifugalkraft verwechselt werden.

Die Zentripetalkraft ist bei jeder Kreisbewegung nach innen gerichtet und ist überhaupt der Grund, warum sich ein Körper auf einer Kreisbahn bewegt.


Beispiele

Geschwindigkeit einer rotierenden Masse

Jan lässt eine Masse (m = 1 kg) an einem 2 m langem Seil im Kreis drehen. Wie verändert sich die Geschwindigkeit, wenn er das Seil auf 3 m verlängert, aber immer noch mit 200 N an dem Seil zieht?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

m = 1 \text{ kg} \\ r_1 = 2 \text{ m}\\ r_2 = 3 \text{ m}\\ F_Z = 200 \text{ N} m=1 kgr1=2 mr2=3 mFZ=200 Nm = 1 \text{ kg} \\ r_1 = 2 \text{ m}\\ r_2 = 3 \text{ m}\\ F_Z = 200 \text{ N}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

v_1, v_2= \: ?v1,v2=?v_1, v_2= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}FZ=mv2rF_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Du berechnest zunächst die Geschwindigkeit bei einem Radius von 2 m durch Auflösen der Gleichung nach v:

v_1 = \sqrt{\frac{F_z \cdot r_1}{m}}v1=Fzr1mv_1 = \sqrt{\frac{F_z \cdot r_1}{m}}v_1 = \sqrt{\frac{200 \text{ N} \cdot 2 \text{ m}}{1 \text{ kg}}}v1=200 N2 m1 kgv_1 = \sqrt{\frac{200 \text{ N} \cdot 2 \text{ m}}{1 \text{ kg}}}v_1 = 20 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}v1=20msv_1 = 20 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Das gleiche machst du nun nochmal für einen Radius von 3 m:

v_2 = \sqrt{\frac{F_z \cdot r_2}{m}}v2=Fzr2mv_2 = \sqrt{\frac{F_z \cdot r_2}{m}}v_2 = \sqrt{\frac{200 \text{ N} \cdot 3 \text{ m}}{1 \text{ kg}}}v2=200 N3 m1 kgv_2 = \sqrt{\frac{200 \text{ N} \cdot 3 \text{ m}}{1 \text{ kg}}}v_2 \approx 24 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}v224msv_2 \approx 24 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Die Geschwindigkeit nimmt also um 4 m/s zu.

Zentripetalkraft einer rotierenden Masse

Jan dreht sich mit einem Seil in der Hand, an dessen Ende eine Masse (m = 500 g) befestigt ist. Jan rotiert die Masse auf einer Kreisbahn um sich herum. Er dreht sich mit einer Frequenz von 5 Hz. Mit welcher Kraft muss Jan an dem Seil ziehen, wenn das Seil eine Länge von einem Meter hat?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

f = 5 \text{ Hz}\\ r = 1 \text{ m} \\ m = 500 \text{ g} = 0,5 \text{ kg} f=5 Hzr=1 mm=500 g=0,5 kgf = 5 \text{ Hz}\\ r = 1 \text{ m} \\ m = 500 \text{ g} = 0,5 \text{ kg}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

F_Z= \: ?FZ=?F_Z= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2FZ=mrω2F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Die Kraft, mit der Jan am Seil zieht, ist natürlich die Zentripetalkraft.

Aus der Frequenz kannst du die Winkelgeschwindigkeit berechnen:

\omega = 2\pi \cdot fω=2πf\omega = 2\pi \cdot f

Somit lässt sich die Zentripetalkraft bestimmen über:

F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2FZ=mrω2F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2F_Z = m \cdot r \cdot (2\pi\cdot f)^2FZ=mr(2πf)2F_Z = m \cdot r \cdot (2\pi\cdot f)^2F_Z = 0,5 \text{ kg} \cdot 1\text{ m} \cdot (2\pi\cdot 5\text{ Hz})^2FZ=0,5 kg1 m(2π5 Hz)2F_Z = 0,5 \text{ kg} \cdot 1\text{ m} \cdot (2\pi\cdot 5\text{ Hz})^2F_Z = 493 \text{ N} \approx 0,5 \text{ kN}FZ=493 N0,5 kNF_Z = 493 \text{ N} \approx 0,5 \text{ kN}

Erde kreist um die Sonne

Die Erde (m = 5,97 \cdot 10²⁴ \text{ kg}m=5,971024 kgm = 5,97 \cdot 10²⁴ \text{ kg}) kreist annähernd auf einer Kreisbahn um die Sonne. Die Erde wird dabei von der Sonne mit einer Kraft F von 3,54 \cdot 10²² \text{ N}3,541022 N3,54 \cdot 10²² \text{ N} angezogen.

a) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Erde um die Sonne, wenn die Entfernung zwischen Sonne und Erde 149,6 \cdot 10^9149,6109149,6 \cdot 10^9 m beträgt?

b) Wie lange braucht die Erde für eine Umdrehung um die Sonne?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

r = 149,6 \cdot 10^{9} \text{ m} \\ F_Z = 3,54 \cdot 10^{22} \text{ N} \\ m = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg} r=149,6109 mFZ=3,541022 Nm=5,971024 kgr = 149,6 \cdot 10^{9} \text{ m} \\ F_Z = 3,54 \cdot 10^{22} \text{ N} \\ m = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

v =? \\ T= \: ?v=?T=?v =? \\ T= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}FZ=mv2rF_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

a) Die Formel für die Zentripetalkraft löst man zunächst nach der Geschwindigkeit v auf:

v = \sqrt{\frac{F_Z \cdot r}{m}}v=FZrmv = \sqrt{\frac{F_Z \cdot r}{m}}v = \sqrt{\frac{3,54 \cdot 10^{22} \text{ N} \cdot 149,6 \cdot 10^9 \text{ m}}{5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}}v=3,541022 N149,6109 m5,971024 kgv = \sqrt{\frac{3,54 \cdot 10^{22} \text{ N} \cdot 149,6 \cdot 10^9 \text{ m}}{5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}}v \approx 29784 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 29,8 \:\frac{\text{km}}{\text{s}}v29784ms29,8kmsv \approx 29784 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 29,8 \:\frac{\text{km}}{\text{s}}

b) Nun kannst du über die Geschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit berechnen:

v = \omega \cdot rv=ωrv = \omega \cdot r\omega = \frac{v}{r}ω=vr\omega = \frac{v}{r}\omega = \frac{29800 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{149,6 \cdot 10^9 \text{ m}}ω=29800ms149,6109 m\omega = \frac{29800 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{149,6 \cdot 10^9 \text{ m}}\omega \approx 1,992 \cdot 10^{-7} \text{ Hz}ω1,992107 Hz\omega \approx 1,992 \cdot 10^{-7} \text{ Hz}

Als letzen Schritt berechnet man nun aus der Winkelgeschwindigkeit die Umlaufdauer T. Der Winkel bei einer Umdrehung der Erde um die Sonne beträgt 360°. Umgerechnet ins Bogenmaß also 2π.

\omega = \frac{\alpha}{T}ω=αT\omega = \frac{\alpha}{T}T = \frac{2\pi}{\omega}T=2πωT = \frac{2\pi}{\omega}T = \frac{2\pi}{1,992 \cdot 10^{-7} \text{ Hz}}T=2π1,992107 HzT = \frac{2\pi}{1,992 \cdot 10^{-7} \text{ Hz}}T \approx 3,15 \cdot 10^7 \text{ s}T3,15107 sT \approx 3,15 \cdot 10^7 \text{ s}

Die Sekunden kann man nun noch in Tage umrechnen.

T = \frac{3,15 \cdot 10^7}{60 \cdot 60 \cdot 24} \text{ d}T=3,15107606024 dT = \frac{3,15 \cdot 10^7}{60 \cdot 60 \cdot 24} \text{ d}T \approx 365 \text{ d}T365 dT \approx 365 \text{ d}

Die Erde kreist also in 365 Tagen um die Sonne.

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