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Der zentrale inelastische Stoß - Berechnung und Beispiel

Inelastischer Stoß

Für einen inelastischen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz. Der Energieerhaltungssatz für die Bewegungsenergie gilt allerdings nicht, da ein Teil der Energie beim Stoß in Verformungsenergie und Wärmeenergie umgewandelt wird.

Besonderheiten

Bei einem komplett inelastischen Stoß kleben die Objekte nach dem Stoß zusammen.

Impulserhaltung

Der Impulserhaltungssatz gilt natürlich auch beim inelastischen Stoß:

p_1 + p_2 = p_{nachher}

p_1 + p_2 = p_{nachher}

m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{nach}

m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{nach}

Formel für Geschwindigkeit nach dem Stoß

Da meist die Geschwindigkeit nach dem Stoß gesucht ist, lautet die Formel für die Geschwindigkeit nach einem inelastischen Stoß dann:

v_{nach} = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{(m_1 + m_2)}

v_{nach} = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{(m_1 + m_2)}

Energieerhaltung

Wichtig ist, dass der Energieerhaltungssatz natürlich allgemein schon gilt, nur speziell für die Bewegungsenergie gilt er beim inelastischen Stoß nicht, da die Energie beim Stoß aufgeteilt wird in:

Verformungsenergie
Wärmeenergie
Bewegungsenergie

Da die Energie beim Stoß gesplittet wird, gilt folgender Zusammenhang:

E_{kin,1} + E_{kin,2} = E_{kin,1}^{nach} + E_{kin,2}^{nach}+ \Delta W

E_{kin,1} + E_{kin,2} = E_{kin,1}^{nach} + E_{kin,2}^{nach}+ \Delta W

Das ΔW steht dabei für den Teil der Energie, der in Verformungsenergie und Wärmeenergie umgewandelt wurde.

Formel für ΔW

Die beim inelastischen Stoß entstandene Verformungsenergie und Wärmeenergie ΔW lässt sich berechnen über:

\Delta W = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1m_2 \cdot (v_1 - v_2)^2}{m_1+m_2}

\Delta W = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1m_2 \cdot (v_1 - v_2)^2}{m_1+m_2}

Beispiele

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Autocrash

Jan fährt mit seinem Auto auf eine rote Ampel zu, an der ein anderes Auto wartet. Jan ist in Gedanken aber noch bei seiner Physikschulaufgabe und kann nicht mehr bremsen. Er hat einen Auffahrunfall.

Jans Auffahrunfall ist ein ideales Beispiel für einen inelastischen Stoß. Was passiert?

Zum einen bewegen sich beide Autos nach dem Auffahrunfall gemeinsam ein Stück nach vorne (dies entspricht der kinetischen Energie nach dem Stoß).
Außerdem sind beide Autos natürlich total kaputt (an den Autos wirkte also eine Verformungsenergie).
Und zudem entstand beim Aufprall eine Wärmeenergie.

Inelastischer Stoß zweier Knetbollen

Zwei Knetbollen fliegen aufeinander zu und machen einen vollinelastischen Stoß. Vor dem Stoß hatte der eine Knetbollen eine Geschwindigkeit von 36 km/h und eine Masse von 80 g. Der andere Knetbollen flog mit 18 km/h in entgegengesetzte Richtung und hatte eine Masse von 100 g. Was ist die Geschwindigkeit nach dem Stoß?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

m_1 = 80 \text{ g} = 0,08 \text{ kg} \\ m_2 = 100 \text{ g} = 0,1 \text{ kg} \\ v_1 = 36 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} = 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ v_2 = -18 \:\frac{\text{km}}{\text{ h}} = -5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

m_1 = 80 \text{ g} = 0,08 \text{ kg} \\ m_2 = 100 \text{ g} = 0,1 \text{ kg} \\ v_1 = 36 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} = 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ v_2 = -18 \:\frac{\text{km}}{\text{ h}} = -5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

v_{nach}= \: ?

v_{nach}= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

v_{nach} = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{(m_1 + m_2)}

v_{nach} = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{(m_1 + m_2)}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Einsetzen in die Formel für die Geschwindigkeit nach einem inelastischen Stoß bringt die Lösung:

v_{nach} = \frac{0,08 \text{ kg} \cdot 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} + 0,1 \text{ kg} \cdot (-5) \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{(0,08 \text{ kg} + 0,1 \text{ kg})}

v_{nach} = \frac{0,08 \text{ kg} \cdot 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} + 0,1 \text{ kg} \cdot (-5) \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{(0,08 \text{ kg} + 0,1 \text{ kg})}

v_{nach} \approx 1,67 \: \frac{\text{m}}{\text{s}} = 6 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}

v_{nach} \approx 1,67 \: \frac{\text{m}}{\text{s}} = 6 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}

Berechnung der Verformungs und Wärmeenergie

Was ist die Verformungsenergie und Wärmeenergie beim Stoß der beiden vorherigen Knetbollen?

Einsetzen in die Gleichung für ΔW bringt hier auch direkt die Lösung:

\Delta W = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1m_2 \cdot (v_1 - v_2)^2}{m_1+m_2}

\Delta W = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1m_2 \cdot (v_1 - v_2)^2}{m_1+m_2}

\Delta W = \frac{1}{2} \cdot \frac{0,08 \text{ kg} \cdot 0,1 \text{ kg} \cdot (10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - (-5) \:\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{0,08 \text{ kg}+0,1 \text{ kg}}

\Delta W = \frac{1}{2} \cdot \frac{0,08 \text{ kg} \cdot 0,1 \text{ kg} \cdot (10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - (-5) \:\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{0,08 \text{ kg}+0,1 \text{ kg}}

\Delta W = 5 \text{ J}

\Delta W = 5 \text{ J}

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