Trägheitsmoment und zweites Newtonsches Gesetz der Rotation

Das zweite Newtonsche Gesetz kann auch für Rotationen beschrieben werden, da Kreisbewegungen sehr ähnlich zur geradlinigen Bewegung definiert sind.


Erklärung

Seit Sir Isaac Newton kennt man das zweite Newtonsche Gesetz der Translation (= geradlinige Bewegung). Dieses lautet:

F = m \cdot aF=maF = m \cdot a

Dieses Gesetz kann man nun auch für die Rotation formulieren.

Bei einer Kreisbewegung ist der Drehmoment die entscheidende Größe. Sie gibt Richtung und Größe der Drehbewegung an. Er ist also für eine Rotation das, was die Kraft für die Translation ist. Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz der Drehbewegung können wir das Drehmoment bestimmen.

Dazu muss man aber zunächst noch zwei Größen kennenlernen.

Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment wurde früher auch Drehmasse genannt. Es gibt an wie leicht ein Objekt in Rotation zu versetzen ist.

Das heißt einfach:

Umso höher der Trägheitsmoment eines Objektes, desto größer muss auch der Drehmoment sein, um das Objekt in Rotation zu versetzen.

Berechnung Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment lässt sich über die Masse des rotierenden Objektes berechnen:

\theta = m \cdot r^2θ=mr2\theta = m \cdot r^2

Einheit:

[\theta]=\text{kg} \cdot \text{m}^2[θ]=kgm2[\theta]=\text{kg} \cdot \text{m}^2

Winkelbeschleunigung

Die Winkelbeschleunigung ist für die Rotation das, was die Beschleunigung für die geradlinige Bewegung ist. Sie ist in Aufgaben meist bekannt und wird mit einem α abgekürzt.

Einheit:

[\alpha] = \frac{1}{\text{s}^2}[α]=1s2[\alpha] = \frac{1}{\text{s}^2}

Formel

Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz der Rotation kann man aus der Winkelbeschleunigung und dem Trägheitsmoment den Drehmoment eines rotierenden Systems berechnen.

M = \theta \cdot \alphaM=θαM = \theta \cdot \alpha

mit ...

M = \text{ Drehmoment}M= DrehmomentM = \text{ Drehmoment}\theta = \text{ Trägheitsmoment}θ= Tra¨gheitsmoment\theta = \text{ Trägheitsmoment}\alpha = \text{ Winkelbeschleunigung}α= Winkelbeschleunigung\alpha = \text{ Winkelbeschleunigung}

Einheit:

[M]=\text{ Nm}[M]= Nm[M]=\text{ Nm}

Drehmoment

Um den Drehmoment zu berechnen, gibt es schlussendlich also zwei Möglichkeiten.

Er kann zum einen über die Standardformel berechnet werden:

M = r \cdot FM=rFM = r \cdot F

Zum anderen kann man die Formel des zweiten Newtonschen Gesetzes für die Rotation benutzen:

M = \theta \cdot \alphaM=θαM = \theta \cdot \alpha

Trägheitsmoment einer Masse

Eine Masse mit 850 g rotiere in einem festen Radius von 20 cm um die Rotationsachse. Wie hoch ist der zugehörige Trägheitsmoment?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

m = 850 \text{ g} = 0,85 \text{ kg} \\ r = 20 \text{ cm} = 0,2 \text{ m} m=850 g=0,85 kgr=20 cm=0,2 mm = 850 \text{ g} = 0,85 \text{ kg} \\ r = 20 \text{ cm} = 0,2 \text{ m}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

\theta= \: ?θ=?\theta= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\theta = m \cdot r^2θ=mr2\theta = m \cdot r^2

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Um den Trägheitsmoment zu berechnen müssen wir nun unsere Werte in die Formel für den Trägheitsmoment einsetzen:

\theta = 0,85 \text{ kg} \cdot (0,2 \text{ m})^2θ=0,85 kg(0,2 m)2\theta = 0,85 \text{ kg} \cdot (0,2 \text{ m})^2\theta \approx 0,034 \text{ kg} \cdot \text{m}^2θ0,034 kgm2\theta \approx 0,034 \text{ kg} \cdot \text{m}^2

Drehmoment einer Kugel

An einem Seil sei eine 0,5 kg schwere Kugel angebracht. Jan beschleunigt die Kugel auf eine Kreisbahn mit einer konstanten Winkelbeschleunigung α = 2 1/s². Der Abstand von der Rotationsachse zum Mittelpunkt der Kugel sei exakt 1,5 m. Wie groß ist der Drehmoment der Kugel?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\alpha = 2~\frac{1}{\text{s}^2} \\ m = 0,5 \text{ kg} \\ r = 1,5 \text{ m} α=21s2m=0,5 kgr=1,5 m\alpha = 2~\frac{1}{\text{s}^2} \\ m = 0,5 \text{ kg} \\ r = 1,5 \text{ m}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

M= \: ?M=?M= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

M = \theta \cdot \alphaM=θαM = \theta \cdot \alpha

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Für das Trägheitsmoment gilt:

\theta = m \cdot r^2θ=mr2\theta = m \cdot r^2

Du kannst also das Trägheitsmoment ersetzen und die Formel lautet dann:

\theta = m \cdot r^2 \cdot \alphaθ=mr2α\theta = m \cdot r^2 \cdot \alpha

Nun kannst du alle Werte einsetzen:

M = 0,5 \text{ kg} \cdot (1,5 \text{ m})^2 \cdot 2~\frac{\text{1}}{\text{ s}^2}M=0,5 kg(1,5 m)221 s2M = 0,5 \text{ kg} \cdot (1,5 \text{ m})^2 \cdot 2~\frac{\text{1}}{\text{ s}^2}M \approx 2,25 \text{ Nm}M2,25 NmM \approx 2,25 \text{ Nm}
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