Schiefer Wurf

Bei einem schiefen Wurf wird ein Gegenstand sowohl nach vorne als auch nach oben geworfen.


Ballwurf

Zwei Teilbewegungen

Die komplizierte Bewegung des schiefen Wurfes kann man in zwei Teilbewegungen aufteilen.

  • Teilbewegung 1 ist eine gleichförmige Bewegung in x-Richtung. In x-Richtung wirkt keine Kraft auf den Körper und somit behält der weggeworfene Körper seinen Bewegungszustand bei.
  • Teilbewegung 2 ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung. Es wirkt die Erdanziehungskraft, die den Körper in y-Richtung, also in Richtung Erde, beschleunigt.

Flugbahn

Im Gegensatz zum waagrechten Wurf wird der Ball beim schiefen Wurf auch nach oben geworfen, wird durch die Erdbeschleunigung abgebremst, und fällt anschließend wieder herab.

Zusammen mit der gleichmäßigen Bewegung in x-Richtung ergibt sich eine Wurfparabel. Diese sieht, je nach Abwurfwinkel, ungefähr so aus:

In der Grafik ist die Flugbahn des Balles von Jan zu seinem Kumpel dargestellt. Bei einem schiefen WUrf ist diese Flugbahn immer in der FOrm einer Parabel.

Formeln

Durch die Aufteilung der Bewegung in zwei Teilbewegungen erhält man zwei unterschiedliche Formeln.

Für die gleichförmige Bewegung in x-Richtung gilt:

v_x = \frac{s_x}{t}vx=sxtv_x = \frac{s_x}{t}

Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung gilt:

v_y = -g \cdot t + v_{0y}vy=gt+v0yv_y = -g \cdot t + v_{0y}

Für den zurückgelegten Weg in y-Richtung gilt:

s_y =- \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{0y}\cdot tsy=12gt2+v0yts_y =- \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{0y}\cdot t

mit ...

v_{0y} = \text{Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung}v0y=Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtungv_{0y} = \text{Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung}

Flugdauer

Die Flugdauer t kann man meist über die y-Bewegung berechnen. Wenn der Ursprung des Koordinatensystems in den Abwurfpunkt gelegt wird, so gilt für einen Wurf auf der Erde für den Weg in y-Richtung:

v_y = - g\cdot t + v_{0y}vy=gt+v0yv_y = - g\cdot t + v_{0y}

Am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit in y-Richtung 0 m/s.

\begin{aligned} 0 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}&= -g \cdot t + v_{0y} &&\:\:\:\:| -v_{oy} \\ -v_{0y} &= -g \cdot t &&\:\:\:\:|\cdot (-1) \\v_{0y} &= g \cdot t_{max} \rightarrow \textcolor{sc_color_1}{ t_{max} =\frac{v_{0y}}{g}}\end{aligned}0ms=gt+v0yvoyv0y=gt(1)v0y=gtmaxtmax=v0yg\begin{aligned} 0 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}&= -g \cdot t + v_{0y} &&\:\:\:\:| -v_{oy} \\ -v_{0y} &= -g \cdot t &&\:\:\:\:|\cdot (-1) \\v_{0y} &= g \cdot t_{max} \rightarrow \textcolor{#7F7706}{ t_{max} =\frac{v_{0y}}{g}}\end{aligned}

Die Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung geteilt durch die Erdbeschleunigung ergibt also die Zeit für den Weg nach oben.

Die gesamte Flugdauer berechnet sich dann durch:

t_{Ges} = 2 \cdot t_{max}tGes=2tmaxt_{Ges} = 2 \cdot t_{max}

Flugweite

  • Für die Bewegung in x-Richtung gilt natürlich die gleiche Flugdauer t, da die Bewegung in x-Richtung zum selben Zeitpunkt beendet ist, wie die Bewegung in y-Richtung.
  • Die Flugweite (der Weg in x-Richtung) lässt sich dann über die gleichförmige Bewegung in x-Richtung bestimmen, da die Flugzeit t mit obiger Formel berechnet werden kann.
s_x = v_x \cdot tsx=vxts_x = v_x \cdot t

Abwurfwinkel und Gesamtgeschwindigkeit

Der Abwurf findet immer in einem bestimmten Abwurfwinkel zur Horizontalen statt. Für die Geschwindigkeit in x- und y-Richtung gelten folgende Zusammenhänge.

In der Grafik ist die Flugbahn des Balles bei dem Wurf von Jan zu seinem Kumpel zu sehen. Vom Abwurfpunkt aus zeigt ein Pfeil im 45 Grad Winkel nach oben, der die Gesamtgeschwindigkeit symbolisiert. Zusammen mit einem Pfeil in horizontaler Richtung vom Abwurfpunkt weg, mit der Beschriftung der Geschwindigkeit in x-Richtung, und einen andern Pfeil am Ende des horizontalen Pfeils, der nach oben zeigt und für die Geschwindigkeit in y-Richtung steht, ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck.
v_x = \cos(\alpha) \cdot v_{ges} vx=cos(α)vgesv_x = \cos(\alpha) \cdot v_{ges} v_y = \sin(\alpha) \cdot v_{ges} vy=sin(α)vgesv_y = \sin(\alpha) \cdot v_{ges}

Die maximale Wurfweite erhält man bei einem Abwurfwinkel von 45°.

Gesamtgeschwindigkeit

Außerdem gilt für die Gesamtgeschwindigkeit des Gegenstands laut dem Satz des Pythagoras:

v_{ges} = \sqrt{v_x^2+ v_{0y}^2}vges=vx2+v0y2v_{ges} = \sqrt{v_x^2+ v_{0y}^2}

Überblick über die Gleichungen

In der nachfolgenden Tabelle sind nochmal alle Gleichungen zum schiefen Wurf übersichtlich aufgelistet:

Zeit-Ort-Zusammenhang

Zeit-Geschwindigkeit-Zusammenhang

x-Richtung

s_x = v_x \cdot tsx=vxts_x = v_x \cdot t
v_x = \cos(\alpha) \cdot v_0vx=cos(α)v0v_x = \cos(\alpha) \cdot v_0

y-Richtung

s_y =- \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{0y} \cdot tsy=12gt2+v0yts_y =- \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{0y} \cdot t
v_y = -g \cdot t + v_{0y}vy=gt+v0yv_y = -g \cdot t + v_{0y}

Flugdauer

Gesamtgeschwindigkeit

Gesamte Bewegung

t_{Ges} = 2 \cdot t_{max}tGes=2tmaxt_{Ges} = 2 \cdot t_{max}
v_{ges} = \sqrt{v_x^2 + v_{0y}^2}vges=vx2+v0y2v_{ges} = \sqrt{v_x^2 + v_{0y}^2}

Beispiele

Jans Wurfweite

Jan wirft einen Ball im 45 ° Winkel mit 12 m/s nach oben zu seinem Kumpel. Wie weit fliegt der Ball zu seinem Kumpel?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\alpha = 45° \\v_{ges} = 12~\frac{\text{m}}{\text{s}} α=45°vges=12ms\alpha = 45° \\v_{ges} = 12~\frac{\text{m}}{\text{s}}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

s_x= \: ?sx=?s_x= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

v_x = \frac{s_x}{t}vx=sxtv_x = \frac{s_x}{t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Berechne zunächst die Geschwindigkeiten in x- und in y-Richtung:

v_x = \cos(45°) \cdot 12 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 8,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}vx=cos(45°)12ms8,5msv_x = \cos(45°) \cdot 12 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 8,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}v_y = \sin(45°) \cdot 12 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 8,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}vy=sin(45°)12ms8,5msv_y = \sin(45°) \cdot 12 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 8,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Dann berechnest du die Flugzeit über die gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y-Richtung.

Bis zum Umkehrpunkt vergeht eine Zeit von:

t_{max} = \frac{v_{0y}}{g}tmax=v0ygt_{max} = \frac{v_{0y}}{g}

Hierbei wurde die Formel von oben verwendet.

t = \frac{8,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}t=8,5ms9,81ms2t = \frac{8,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}t \approx 0,87 \text{ s}t0,87 st \approx 0,87 \text{ s}

Bis Jans Kumpel den Ball fängt, vergeht nach dem Umkehrpunkt nochmal die gleiche Zeit:

t_{ges} = 2 \cdot 0,87 \text{ s} = 1,74 \text{ s}tges=20,87 s=1,74 st_{ges} = 2 \cdot 0,87 \text{ s} = 1,74 \text{ s}

Nun kannst du dir die in x-Richtung zurückgelgte Strecke berechnen:

v_x = \frac{s_x}{t} \:\:\:\:|\cdot tvx=sxttv_x = \frac{s_x}{t} \:\:\:\:|\cdot ts_x = v_x \cdot tsx=vxts_x = v_x \cdot ts_x = 8,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1,74 \text{ s}sx=8,5ms1,74 ss_x = 8,5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1,74 \text{ s}s_x \approx 15 \text{ m}sx15 ms_x \approx 15 \text{ m}

Jan wirft den Ball also 15 m weit.

Höhe eines Golfballs

Ein Golfball wird von Jan im 60° Winkel mit 100 m/s nach oben abgeschlagen. Wann ist die maximale Höhe erreicht und wie hoch ist der Golfball an diesem Punkt?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} \alpha &= 60° \\g &= 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ v_{ges} &= 100 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned} α=60°g=9,81ms2vges=100ms\begin{aligned} \alpha &= 60° \\g &= 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ v_{ges} &= 100 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

h= \: ?h=?h= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

h = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{0y} \cdot th=12gt2+v0yth = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{0y} \cdot t

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Über die gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y-Richtung kannst du dir die Zeit bis zum Umkehrpunkt berechnen:

t_{max} = \frac{v_y}{g}tmax=vygt_{max} = \frac{v_y}{g}

Die Geschwindigkeit in y-Richtung berechnest du noch kurz über die bekannte Formel:

v_y = \sin(\alpha) \cdot v_{ges}vy=sin(α)vgesv_y = \sin(\alpha) \cdot v_{ges}v_y = \sin(60°) \cdot 100 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}vy=sin(60°)100msv_y = \sin(60°) \cdot 100 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}v_y \approx 86,6 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}vy86,6msv_y \approx 86,6 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Das setzt du in obige Formel ein:

t = \frac{86,6 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}t=86,6ms9,81ms2t = \frac{86,6 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}t \approx 8,83 \text{ s}t8,83 st \approx 8,83 \text{ s}

Das ist die Zeit, die bis zum Umkehrpunkt vergangen ist. Da beim Umkehrpunkt die maximale Höhe erreicht ist, liefert einsetzen in die Formel für die Höhe (der zurückgelegte Weg in y-Richtung) das Ergebnis:

h = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{oy} \cdot th=12gt2+voyth = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{oy} \cdot th = -\frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot (8,83 \text{ s})^2 + 86,7 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 8,83 \text{ s}h=129,81ms2(8,83 s)2+86,7ms8,83 sh = -\frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot (8,83 \text{ s})^2 + 86,7 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 8,83 \text{ s}h \approx 383 \text{ m}h383 mh \approx 383 \text{ m}

Der Golfball erreicht also eine Höhe von 383 m. (In Wahrheit fliegt ein Golfball natürlich nicht so hoch. Das ist nur eine theoretische Berechnung ohne Reibung und mit sehr hoher Geschwindigkeit)

Steinweitwurf

Jan und sein Kumpel werfen Steine ins Meer. Jan wirft seinen Stein in einem Winkel von 30° mit einer Geschwindigkeit von 16 m/s. Jans Kumpel schafft nur 15 m/s, wirft aber in einem Winkel von 45°. Wer von den beiden wirft weiter, wenn Jans Stein 1,6 Sekunden und der Stein des Kumpels 1,8 Sekunden braucht, bis er ins Wasser fällt?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\textsf{Jan:} \\ t_J = 1,6 \text{ s} \\ v_J = 16 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ \alpha_J=30° \\ \textsf{Kumpel:} \\ t_K = 1,8 \text{ s} \\ v_K = 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ \alpha_K=45° Jan:tJ=1,6 svJ=16msαJ=30°Kumpel:tK=1,8 svK=15msαK=45°\textsf{Jan:} \\ t_J = 1,6 \text{ s} \\ v_J = 16 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ \alpha_J=30° \\ \textsf{Kumpel:} \\ t_K = 1,8 \text{ s} \\ v_K = 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ \alpha_K=45°

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

s_x= \: ?sx=?s_x= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

v_x = \frac{s_x}{t}vx=sxtv_x = \frac{s_x}{t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wir müssen nur die gleichförmigen Bewegungen in x-Richtung betrachten.

Für die Geschwindigkeiten gilt ...

... bei Jan:

v_x = \cos(30°) \cdot 16 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}vx=cos(30°)16msv_x = \cos(30°) \cdot 16 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

... bei Jans Kumpel

v_x = \cos(45°) \cdot 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}vx=cos(45°)15msv_x = \cos(45°) \cdot 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Somit ergibt sich eine Flugweite ...

... bei Jan

s_x = v_x \cdot tsx=vxts_x = v_x \cdot ts_x = \cos(30°) \cdot 16 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1,6 \text{ s}sx=cos(30°)16ms1,6 ss_x = \cos(30°) \cdot 16 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1,6 \text{ s}s_x \approx 22,2 \text{ m}sx22,2 ms_x \approx 22,2 \text{ m}

... bei seinem Kumpel:

s_x = v_x \cdot tsx=vxts_x = v_x \cdot ts_x = \cos(45°) \cdot 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1,8 \text{ s}sx=cos(45°)15ms1,8 ss_x = \cos(45°) \cdot 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1,8 \text{ s}s_x \approx 19,1 \text{ m}sx19,1 ms_x \approx 19,1 \text{ m}

Also gewinnt Jan den Wettbewerb.

Schiefer Wurf bei anderen Bewegungen

Auch andere Bewegungen als ein "echter Wurf" kann man mit den Gleichungen des schiefen Wurfs beschreiben. Die zwei folgenden Animationen sollen dies zeigen.

Bei dieser Animation verlässt das Motorrad mit einer bestimmten Geschwindigkeit und unter einem bestimmten Winkel die Schanze. Die Erdanziehungskraft sorgt dann für die parabelförmige Flugbahn. Die Bewegung ist also exakt die eines schiefen Wurfs.

Auch bei dieser Animation handelt es sich im Prinzip um einen schiefen Wurf. Jan verlässt mit seinem Snowboard die Schanze unter einem bestimmten Winkel zur Horizontalen und mit einer gewissen Geschwindigkeit. Anschließend wird er von der Erdanziehungskraft angezogen und macht eine parabelförmige Flugbahn.

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