Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit ist eine wichtige Größe der Kreisbewegung. Sie gibt an, wie schnell sich ein Objekt dreht.


Erklärung

In der Animation siehst du ein Riesenrad, dass sich unterschiedlich weit dreht und die dafür benötigte Zeit.

Formel

Die normalen Geschwindigkeit ist definiert als Weg pro Zeit. Da es bei einer Kreisbewegung aber auf den zurückgelgten Winkel in einer gewissen Zeit ankommt, ist die Winkelgeschwindigkeit definiert als der zurückgelegte Winkel pro Zeit. Somit lässt sich die Winkelgeschwindikeit ω berechnen über:

\omega = \frac{\alpha_{rad}}{t}ω=αradt\omega = \frac{\alpha_{rad}}{t}

Einheit:

[\omega]=\frac{\text{1}}{\text{s}}[ω]=1s[\omega]=\frac{\text{1}}{\text{s}}

Rechnung

Für die Werte aus obiger Animation ergeben sich dann folgende Winkelgeschwindigkeiten.

Winkel

Zeit

Winkelgeschwindigkeit

90° = \frac{1}{2} \pi90°=12π90° = \frac{1}{2} \pi
t = 1 \text{ s}t=1 st = 1 \text{ s}
\omega = \frac{\alpha}{t} = \frac{\frac{1}{2} \pi}{1 \text{ s}} \approx 1,6 \frac{1}{\text{ s}}ω=αt=12π1 s1,61 s\omega = \frac{\alpha}{t} = \frac{\frac{1}{2} \pi}{1 \text{ s}} \approx 1,6 \frac{1}{\text{ s}}
180° = \pi180°=π180° = \pi
t = 2 \text{ s}t=2 st = 2 \text{ s}
\omega = \frac{\alpha}{t} = \frac{\pi}{2 \text{ s}} \approx 1,6 \frac{1}{\text{ s}}ω=αt=π2 s1,61 s\omega = \frac{\alpha}{t} = \frac{\pi}{2 \text{ s}} \approx 1,6 \frac{1}{\text{ s}}
270° = \frac{3}{2} \pi270°=32π270° = \frac{3}{2} \pi
t = 3 \text{ s}t=3 st = 3 \text{ s}
\omega = \frac{\alpha}{t} = \frac{\frac{3}{2} \pi}{3 \text{ s}} \approx 1,6 \frac{1}{\text{ s}}ω=αt=32π3 s1,61 s\omega = \frac{\alpha}{t} = \frac{\frac{3}{2} \pi}{3 \text{ s}} \approx 1,6 \frac{1}{\text{ s}}
360° = 2\pi360°=2π360° = 2\pi
t = 4 \text{ s}t=4 st = 4 \text{ s}
\omega = \frac{\alpha}{t} = \frac{2 \pi}{4 \text{ s}} \approx 1,6 \frac{1}{\text{ s}}ω=αt=2π4 s1,61 s\omega = \frac{\alpha}{t} = \frac{2 \pi}{4 \text{ s}} \approx 1,6 \frac{1}{\text{ s}}

In der Tabelle kann man erkennen, dass die Winkelgeschwindigkeit für das obige Riesenrad immer gleich bleibt, da sich immer sowohl Zeit als auch Winkel im selben Maße vergrößern.

Bogenmaß

Zu beachten ist, dass bei der Winkelgeschwindigkeit der Winkel immer im Bogenmaß angegeben wird.

In der nachfolgenden Tabelle sind für die wichtigsten Gradmaße die zugehörigen Bogenmaße angeben.

Gradmaß

Bogenmaß

30°30°30°
\frac{1}{6} \:\pi16π\frac{1}{6} \:\pi
45°45°45°
\frac{1}{4} \:\pi14π\frac{1}{4} \:\pi
90°90°90°
\frac{1}{2} \:\pi12π\frac{1}{2} \:\pi
180°180°180°
\piπ\pi
270°270°270°
\frac{3}{2} \:\pi32π\frac{3}{2} \:\pi
360°360°360°
2 \:\pi2π2 \:\pi

Umrechnung

Einen beliebigen Winkel α im Gradmaß kann man über folgende Formel in das Bogenmaß umrechnen:

\text{Bogenmaß von}\: \alpha = \frac{\alpha}{180°} \:\piBogenmaß vonα=α180°π\text{Bogenmaß von}\: \alpha = \frac{\alpha}{180°} \:\pi

Winkelgeschwindigkeit und Tangentialgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit

Sieh dir die Animation an. Der Punkt außen und der Punkt innen überschreiten in der gleichen Zeit einen gleichen Winkel. Das heißt die Winkelgeschwindigkeit ist bei beiden Punkten gleich groß.

\omega_1 = \omega_2ω1=ω2\omega_1 = \omega_2

Tangentialgeschwindigkeit

In der Animation oben siehst du auch die Tangentialgeschwindigkeit. Das sind die beiden Pfeile an den Massen. Sie stellen die geradlinige Geschwindigkeit der Punkte nach vorne dar, deren Richtung sich entsprechend der Kreisbahn ständig ändert. Das ist also einfach die normale Geschwindigkeit der Punkte in m/s.

Die Tangentialgeschwindigkeit ist bei dem Punkt außen höher, als bei dem inneren Punkt. Der Pfeil ist deshalb länger.

Das ist deshalb so, da der Radius und somit der Weg auf der äußeren Kreisbahn viel länger ist, als der Weg auf der inneren Kreisbahn. Da aber der gesamte Kreis in der gleichen Zeit umrundet wird, muss der äußere Punkt in der gleichen Zeit einen längeren Weg zurücklegen. Die Geschwindigkeit ist außen also höher als innen.

Zusammenhang Winkelgeschwindigkeit und Tangentialgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit und die Tangentialgeschwindigkeit sind über den Radius verknüpft. Es gilt:

v = \omega \cdot rv=ωrv = \omega \cdot r

Bei gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit steigt also mit zunehmendem Radius die tangentiale Geschwindigkeit. Dies wird in nachstehender Animation dargestellt. Vergrößert sich der Radius der Kreisbahn, dann wird der Pfeil, der die tangentiale Geschwindigkeit beschreibt, länger.

Berechnug der Winkelgeschwindigkeit über Frequenz und Umlaufdauer

Es gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen der Frequenz, mit der sich ein Objekt dreht, und der Winkelgeschwindigkeit. Dieser lautet:

\omega = 2\pi \cdot fω=2πf\omega = 2\pi \cdot f

Analog lässt sich die Winkelgeschwindigkeit auch über die Umlaufdauer wie folgt berechnen:

\omega = \frac{2\pi}{T}ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T}

Beispiele

Winkelgeschwindigkeit eines Riesenrads

In der Animation dreht sich ein Riesenrad. Kannst du mithilfe der Stoppuhr die Winkelgeschwindigkeit des Riesenrads berechnen?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} \alpha &= 360° \\ t &= 3 \text{ s} \end{aligned} α=360°t=3 s\begin{aligned} \alpha &= 360° \\ t &= 3 \text{ s} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

\omega= \: ?ω=?\omega= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\omega = \frac{\alpha}{t}ω=αt\omega = \frac{\alpha}{t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Eine Umdrehung des Riesenrads entspricht einem Winkel von 360°.

360° sind ins Bogenmaß umgerechnet:

\frac{360°}{180°} \pi = 2\pi360°180°π=2π\frac{360°}{180°} \pi = 2\pi

Die Stoppuhr zeigt uns die Zeit. Eingesetzt in die Formel erhälst du für die Winkelgeschwindigkeit:

\omega = \frac{2\pi}{3 \text{ s}}ω=2π3 s\omega = \frac{2\pi}{3 \text{ s}}\omega \approx 2 \space \frac{1}{\text{s}}ω21s\omega \approx 2 \space \frac{1}{\text{s}}

Die Winkelgeschwindigkeit ist also 2 mit der Einheit 1/s.

Karussell

Ein Karussell dreht sich in 10 Sekunden einmal um die eigene Drehachse.

a) Wie groß ist Jans Tangentialgeschwindigkeit, der 15 m entfernt von der Drehachse sitzt?

b) In welcher Entfernung kann Jans Freundin Janine maximal sitzen, die sich nicht mit mehr als 5 m/s im Kreis drehen will?

In der Grafik ist der Radius von Jan und Janine zum Kreismittelpunkt des Kettenkarrussels dargestellt.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} \alpha &= 360° = 2\pi \\ T &= 10 \text{ s} \\ r_{Jan} &= 15 \text{ m} \\ v_{Janine} &= 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned} α=360°=2πT=10 srJan=15 mvJanine=5ms\begin{aligned} \alpha &= 360° = 2\pi \\ T &= 10 \text{ s} \\ r_{Jan} &= 15 \text{ m} \\ v_{Janine} &= 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

v_{Jan} = ? \\ r_{Janine}= \: ?vJan=?rJanine=?v_{Jan} = ? \\ r_{Janine}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

v = \omega \cdot rv=ωrv = \omega \cdot r

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wir berechnen zunächst die Winkelgeschwindigkeit des Karussells:

\omega = \frac{\alpha}{T}ω=αT\omega = \frac{\alpha}{T}\omega = \frac{2\pi}{10 \text{ s}}ω=2π10 s\omega = \frac{2\pi}{10 \text{ s}}\omega = \frac{1}{5} \pi \: \frac{1}{\text{s}}ω=15π1s\omega = \frac{1}{5} \pi \: \frac{1}{\text{s}}

a) Um Jans Tangentialgeschwindigkeit zu berechnen, setzen wir den Radius und die berechnete Winkelgeschwindigkeit in die Formel ein.

v = \omega \cdot rv=ωrv = \omega \cdot rv = \frac{1}{5}\pi \: \frac{1}{\text{s}} \cdot 15 \text{ m}v=15π1s15 mv = \frac{1}{5}\pi \: \frac{1}{\text{s}} \cdot 15 \text{ m}v = 9,4 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}v=9,4msv = 9,4 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

b) Um zu berechnen, wie weit Janine von der Drehachse maximal entfernt sitzen kann, verwenden wir die gleiche Formel. Diesmal stellen wir aber nach r um.

r = \frac{v}{\omega}r=vωr = \frac{v}{\omega}r = \frac{5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{1}{5}\pi \: \frac{1}{\text{s}}}r=5ms15π1sr = \frac{5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{1}{5}\pi \: \frac{1}{\text{s}}}r \approx 8 \text{ m}r8 mr \approx 8 \text{ m}

Janine kann also maximal auf einen Stuhl sitzen, der 8 m von der Drehachse entfernt ist.

Berechnung der Winkelgeschwindigkeit

Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Bürostuhls, welcher sich in 2 Sekunden fünfmal um die eigene Achse dreht?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

t = 2 \text{ s} t=2 st = 2 \text{ s}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

\omega= \: ?ω=?\omega= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\omega = \frac{\alpha}{t}ω=αt\omega = \frac{\alpha}{t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Da sich der Bürostuhl fünfmal dreht, ist der überschrittene Winkel:

\alpha = 5 \cdot 360° = 1800°α=5360°=1800°\alpha = 5 \cdot 360° = 1800°

Umrechnung ins Bogenmaß:

\text{Bogenmaß von} \:\alpha = \frac{1800°}{180°} \cdot \pi = 10 \piBogenmaß vonα=1800°180°π=10π\text{Bogenmaß von} \:\alpha = \frac{1800°}{180°} \cdot \pi = 10 \pi

Und somit können wir einsetzen:

\omega = \frac{10\pi}{2 \text{ s}}ω=10π2 s\omega = \frac{10\pi}{2 \text{ s}}\omega =5 \pi \:\frac{1}{\text{s}}= 15,7 \:\frac{1}{\text{s}}ω=5π1s=15,71s\omega =5 \pi \:\frac{1}{\text{s}}= 15,7 \:\frac{1}{\text{s}}

Die Winkelgeschwindigkeit des Bürostuhls ist also 15,7 mit der Einheit 1/s.

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