Hookesches Gesetz & Federpendel

Das Hookesche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf elastische Körper. Es besagt, dass die einwirkende Kraft immer proportional zur Auslenkung ist.


Ein elastischer Körper ist ein Körper, der nach einer Belastung durch Zug oder Druck in seine ursprüngliche Lage zurück geht.
Einige Körper (z.B. Federn) weisen dabei das linear-elastische Verhalten des Hookeschen Gesetzes auf aber andere (z.B. Gummibänder) nicht, da das Gesetz nicht mehr gilt, sobald sich der Körper plastisch verformt.

Lineares Kraftgesetz

Wird das Hookesche Gesetz auf schwingende Körper angewandt, spricht man vom linearen Kraftgesetz. Immer wenn dieses gültig ist, kann man von einer harmonischen Schwingung sprechen.

F = -D \cdot sF=DsF = -D \cdot s

Es besagt, dass die Rückstellkraft F proportional zur Auslenkung s des Schwingers ist.

Federkonstante D

Der Quotient aus Kraftzunahme und Längenzunahme der Feder ist konstant und wird als Federkonstante bzw. Federhärte D bezeichnet. Sie hängt von Material und Form der Feder ab.

D= \frac{\text{Kraft F}}{\text{Längenänderung s}}=\frac{F}{\Delta s}D=Kraft FLa¨ngena¨nderung s=FΔsD= \frac{\text{Kraft F}}{\text{Längenänderung s}}=\frac{F}{\Delta s}

Alternative Schreibweise

Oft wird die Federkonstante auch mit einem k und die Längenänderung mit x angegeben. Dann sieht die Formel so aus:

F = -k \cdot xF=kxF = -k \cdot x

Lasst euch davon aber nicht verwirren!

Federpendel

Eine Feder wird durch ein Gewicht ein Stück weit nach unten gezogen. Dann wird sie durch ihre Elastizität wieder nach oben gezogen und schwingt immer wieder harmonisch um die Gleichgewichtslage. Daher auch der Name Federpendel.

Es gilt das lineare Kraftgesetz: Die Rückstellkraft F_RFRF_R ist proportional zu der Strecke s, um die die Feder ausgelenkt ist. Je weiter sie auseinandergezogen wird, desto größer wird die Kraft.

s=\text{Längenänderung der Feder}s=La¨ngena¨nderung der Feders=\text{Längenänderung der Feder}F_G = \text{Gewichtskraft}FG=GewichtskraftF_G = \text{Gewichtskraft}F_R=\text{Rückstellkraft}FR=Ru¨ckstellkraftF_R=\text{Rückstellkraft}F_{Res} =\text{Resultierende Kraft}FRes=Resultierende KraftF_{Res} =\text{Resultierende Kraft}

In einem Idealfall würde die Feder unendlich so weiter pendeln (in der Realität bleibt sie aber irgendwann in der Gleichgewichtslage stehen).


Beispiele

Schraubenfeder

Wie weit wird eine Schraubenfeder mit einer Federhärte von D = 60 \frac{\text{N}}{\text{m}}Nm\frac{\text{N}}{\text{m}} ausgedehnt, wenn an ihr eine Kraft von 40 N zieht?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

D = 60~\frac{\text{N}}{\text{m}} \\ F = 40~\text{N} D=60NmF=40 ND = 60~\frac{\text{N}}{\text{m}} \\ F = 40~\text{N}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

s= \: ?s=?s= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F = D \cdot s \implies s = \frac{F}{D}F=Dss=FDF = D \cdot s \implies s = \frac{F}{D}

(Auf das Minus vor dem D kann verzichtet werden, da es sich hier um eine Berechnung der momentanen Auslenkung der Feder handelt.)

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

s = \frac{40~\text{N}}{60~\frac{\text{N}}{\text{m}}} \approx 0,67~\text{m}s=40 N60Nm0,67 ms = \frac{40~\text{N}}{60~\frac{\text{N}}{\text{m}}} \approx 0,67~\text{m}

Die Feder wird um 0,67 m ausgelenkt.

Federkonstante

An eine Feder mit einer Länge von 10 cm wird ein Gewicht von 5 kg gehängt. Dadurch dehnt sich die Feder auf eine Länge von 25 cm. Berechne die Federkonstante D der Feder.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

s_0 = 10~\text{cm} = 0,1~\text{m} \\ s_1 = 25~\text{cm} = 0,25~\text{m} \\ m = 5~\text{kg} s0=10 cm=0,1 ms1=25 cm=0,25 mm=5 kgs_0 = 10~\text{cm} = 0,1~\text{m} \\ s_1 = 25~\text{cm} = 0,25~\text{m} \\ m = 5~\text{kg}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

D= \: ?D=?D= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

D = \frac{F}{\Delta s}D=FΔsD = \frac{F}{\Delta s}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

\Delta s = s_1 - s_0 = 0,25~\text{m} - 0,1~\text{m} = 0,15~\text{m}Δs=s1s0=0,25 m0,1 m=0,15 m\Delta s = s_1 - s_0 = 0,25~\text{m} - 0,1~\text{m} = 0,15~\text{m}F = m \cdot g = 5~\text{kg} \cdot 9,81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 49~\text{N}F=mg=5 kg9,81ms249 NF = m \cdot g = 5~\text{kg} \cdot 9,81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 49~\text{N}D = \frac{49~\text{N}}{0,15~\text{m}} \approx 326,7~\frac{\text{N}}{\text{m}}D=49 N0,15 m326,7NmD = \frac{49~\text{N}}{0,15~\text{m}} \approx 326,7~\frac{\text{N}}{\text{m}}

Die Federkonstante beträgt 326,7 N/m.

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