Kräfte an schiefer Ebene

Eine schiefe Ebene ist eine ebene Fläche, die in einem bestimmten Winkel zur Horizontalen steht.


Schiefe Ebene

Neigungswinkel

Der Neigungswinkel ist bei einer schiefen Ebene der Winkel zwischen der geneigten Fläche und der Horizontalen. Er wird meist mit einem alpha benannt und ist in der Animation blau eingefärbt.

Kräfte der schiefen Ebene

Auf einer schiefen Ebene wird man, wie immer auf der Erde, von der Erdanziehungskraft angezogen. Durch die schiefe Ebene ergeben sich allerdings verschiedene Kraftkomponenten. Lass dir diese Kräfte in der Animation durch Drücken des Buttons Kraftpfeile anzeigen.

Du siehst die Erdanziehungskraft, die von Jans Schlitten senkrecht nach unten wirkt. Man kann die Gewichtskraft in zwei Komponenten aufteilen. Die eine Komponente steht parallel zur schiefen Ebene und die andere senkrecht auf die schiefe Ebene.

Hangabtriebskraft

Die Kraftkomponente, die parallel zur schiefen Ebene wirkt, wird als Hangabtriebskraft bezeichnet. Sie ist der Grund, warum Jan bergab beschleunigt wird.

Normalkraft

Die Normalkraft ist immer die Komponente, die senkrecht zur schiefen Ebene wirkt. Die Normalkraft ist die Kraft, die Jan auf den Hang drückt, und dafür sorgt, dass Jan am Boden bleibt.

Kräfteparallelogramm

Die Hangabtriebskraft und die Normalkraft ergeben zusammen die Gewichtskraft, die in diese beiden Komponenten aufgeteilt wird. Den Zusammenhang zwischen Hangabtriebskraft, Normalkraft und Gewichtskraft kann man durch ein Kräfteparallelogramm verdeutlichen!

Zu sehen ist das Kräfteparallelogramm, dass bei Jans Schlittenfahrt in die Gewichtskraft, die Hangabtriebskraft und in die Normalkraft aufteilt.

Berechnung

Über das Kräfteparallelogramm kann man sich auch die Zusammenhänge zwischen den Kraftkomponenten herleiten. Man findet nämlich den Neigungswinkel alpha in dem Kräfteparallelogramm wieder. Daraus ergeben sich folgende Formeln:

Für die Gewichtskraft gilt die Standardformel:

F_G = m \cdot gFG=mgF_G = m \cdot g

Für die Hangabtriebskraft gilt:

F_H = F_G \cdot \sin({\alpha}) = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)FH=FGsin(α)=mgsin(α)F_H = F_G \cdot \sin({\alpha}) = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)

mit ...

\alpha = \text{Neigungswinkel der schiefen Ebene}α=Neigungswinkel der schiefen Ebene\alpha = \text{Neigungswinkel der schiefen Ebene}

Für die Normalkraft gilt dann:

F_N = F_G \cdot \cos(\alpha) = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)FN=FGcos(α)=mgcos(α)F_N = F_G \cdot \cos(\alpha) = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)

Beispiele

Kräfteparallelogramm

Du kannst erkennen, dass sich je nach Neigungswinkel das Kräfteparallelogramm ändert. Der Neigungswinkel ändert also die Größe der Hangabtriebskraft, sowie der Normalkraft. Das ist dir auch intuitiv klar. Je steiler ein Berg, desto schneller fährst du mit deinem Schlitten. Klar, die Hangabtriebskraft ist größer.

Jan beim Schlittenfahren

Jan braust mit seinem Schlitten einen Hang hinunter, der im 30° Winkel zur Horizontalen steht. Zusammen mit seinem Schlitten wiegt er 95 kg. Mit welcher Kraft wird Jan auf den Hang gedrückt?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} m &= 95 \text{ kg} \\ g &= 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ \alpha &= 30° \end{aligned} m=95 kgg=9,81ms2α=30°\begin{aligned} m &= 95 \text{ kg} \\ g &= 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ \alpha &= 30° \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

F_N= \: ?FN=?F_N= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_N = F_G \cdot \cos(\alpha)FN=FGcos(α)F_N = F_G \cdot \cos(\alpha)

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Über die Masse kannst du die Gewichtskraft berechnen und somit über die Formel auch leicht die Normalkraft.

F_G = m \cdot gFG=mgF_G = m \cdot gF_N = F_G \cdot \cos(\alpha) = m\cdot g \cdot \cos(\alpha)FN=FGcos(α)=mgcos(α)F_N = F_G \cdot \cos(\alpha) = m\cdot g \cdot \cos(\alpha)F_N = 95 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \cos (30°)FN=95 kg9,81ms2cos(30°)F_N = 95 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \cos (30°)F_N \approx 807 \text{ N}FN807 NF_N \approx 807 \text{ N}

Jan wird also mit einer Kraft von 807 Newton auf den Hang gedrückt.

Skirennfahrer

Jan (m = 90 kg) rast mit Ski die Piste hinunter, die näherungsweise durch eine schiefe Ebene mit einem Neigungswinkel zur Horizontalen von 25° beschrieben werden kann. Wie groß ist die Beschleunigung, die Jan in Richtung Tal beschleunigt? (Reibungskräfte sind zu vernachlässigen)

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} m &= 90 \text{ kg} \\ g &= 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\end{aligned} m=90 kgg=9,81ms2\begin{aligned} m &= 90 \text{ kg} \\ g &= 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

a= \: ?a=?a= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_H = F_G \cdot \sin(\alpha)FH=FGsin(α)F_H = F_G \cdot \sin(\alpha)

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wir berechnen uns zunächst die Hangabtriebskraft, die auf den Skifahrer wirkt:

F_H = F_G \cdot \sin (\alpha)FH=FGsin(α)F_H = F_G \cdot \sin (\alpha)F_H = m \cdot g \cdot \sin (\alpha)FH=mgsin(α)F_H = m \cdot g \cdot \sin (\alpha)F_H = 90 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \sin(25°)FH=90 kg9,81ms2sin(25°)F_H = 90 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \sin(25°)F_H = 373 \text{ N}FH=373 NF_H = 373 \text{ N}

Die Beschleunigung, die in Hangrichtung wirkt, können wir uns nun aus der Hangabtriebskraft berechnen. Für diese muss laut dem zweiten Newtonschen Gesetz gelten:

F_H = m \cdot aFH=maF_H = m \cdot a

wobei a die Beschleunigung in Fahrtrichtung ist.

Umgestellt nach a ergibt sich die Lösung:

a = \frac{F_H}{m}a=FHma = \frac{F_H}{m}a = \frac{373 \text{ N}}{90 \text{ kg}}a=373 N90 kga = \frac{373 \text{ N}}{90 \text{ kg}}a \approx 4,14 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}a4,14ms2a \approx 4,14 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Der Skifahrer wird also mit einer Beschleunigung von 4,14 m/s² bergabwärts beschleunigt.

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