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Senkrechter Wurf nach unten

Beim senkrechten Wurf nach unten wird ein Gegenstand von einer bestimmten Höhe senkrecht nach unten Richtung Erde geworfen.

Erklärung

Der senkrechte Wurf ist ein gerader Wurf in Richtung Erde. Wichtig ist, dass es sich um einen Wurf handelt. Der Gegenstand, wie der Ball in der Animation wird also mit einer Geschwindigkeit v weggeworfen. Das ist auch der Unterschied zum freien Fall. Danach wirkt auch, wie beim freien Fall die Erdbeschleunigung g auf den Körper.

Man kann den senkrechten Wurf nach unten also aufteilen in:

\text{Wurf} = \text{ Abwurf} + \text{freier Fall}

\text{Wurf} = \text{ Abwurf} + \text{freier Fall}

also gilt ...

\text{ Wurf} = \text{gleichmäßige Bewegung} + \text{ beschleunigte Bewegung}

\text{ Wurf} = \text{gleichmäßige Bewegung} + \text{ beschleunigte Bewegung}

Formel

Durch die Addition der gleichförmigen und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ergeben sich die folgenden Gleichungen:

Für die Geschwindigkeit des geworfenenen Gegenstands gilt:

v = a \cdot t + v_0

v = a \cdot t + v_0

Für den zurückgelegten Weg ergibt sich folgende Formel:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t

mit ...

v_0 = \text{ Anfangsgeschwindigkeit}

v_0 = \text{ Anfangsgeschwindigkeit}

Für die Beschleunigung a wird normalerweise die Erdbeschleunigung g (g = - 9,81 m/s²) eingesetzt. Das Minus wird meist weggelassen, da es nur die Richtung nach unten angibt, den Betrag aber nicht ändert.

Bei dem senkrechten Wurf nach unten handelt es sich also eigentlich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit.

Beispiele

Beispiel 1: Spannung berechnen

Jan steht mal wieder auf dem Fernsehturm. Er hat einen Apfel in der Hand, den er nun aktiv nach unten wegwirft. Er lässt ihn also nicht nur fallen, sondern wirft ihn mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5,0 m/s nach unten.

a) Wie schnell wird der Apfel, wenn der Apfel etwa 6 Sekunden lang zu Boden fällt?

b) Auf welcher Höhe wirft Jan den Apfel weg?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

t = 6 \text{ s} \\ v_0 = 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ a = g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

t = 6 \text{ s} \\ v_0 = 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ a = g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

v =? \\ s= \: ?

v =? \\ s= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

v = v_0 + a \cdot t

v = v_0 + a \cdot t

s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_0 \cdot t

s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_0 \cdot t

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

a) Um diese Frage zu beantworten, verwendet man die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

v = v_0 + a \cdot t

v = v_0 + a \cdot t

Das Einsetzen der Werte bringt die Lösung:

v = 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} + 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 6 \text{ s}

v = 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} + 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 6 \text{ s}

v = 64 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

v = 64 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

b) Um die Höhe zu berechnen, setzt man die gegebenen Werte in die Formel für den Weg ein und erhält:

s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_0 \cdot t

s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_0 \cdot t

s = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{ s})^2 + 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}

s = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{ s})^2 + 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}

s = 206 \text{ m} \approx 0,21 \text{ km}

s = 206 \text{ m} \approx 0,21 \text{ km}

Jan steht also auf einer Höhe von ungefähr 210 Meter.

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Beispiel 1: Spannung berechnen

Jan steht auf einer 100 Meter hohen Klippe und wirft einen Ball mit 15 Metern pro Sekunde nach unten weg.

a) Wie lange fliegt der Ball, bis er auf dem Boden aufkommt?

b) Mit welcher Geschwindigkeit erreicht der Ball den Boden?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

v_0 = 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ h = 100 \text{ m}

v_0 = 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ h = 100 \text{ m}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

t =? \\ v= \: ?

t =? \\ v= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_0 \cdot t

s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_0 \cdot t

v = v_0 + a \cdot t

v = v_0 + a \cdot t

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Zunächst muss die Fallzeit berechnet werden. Man benutzt dafür die Formel für den zurückgelegten Weg bei der gleichmäßigen Beschleunigung.

100 \text{ m} = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t^2 + 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t

100 \text{ m} = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t^2 + 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t

Dies ist eine quadratische Formel, die man mithilfe der ABC-Formel, oder auch Mitternachtsformel lösen kann.

0 = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t^2 + 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t -100 \text{ m}

0 = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t^2 + 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t -100 \text{ m}

Mit der Mitternachtsformel ergeben sich zwei Werte für t (Aufgrund der Übersichtlichkeit fehlen in nachfolgender Rechnung die Einheiten):

t_1 = \frac{- 15 + \sqrt{15^2 - 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81 \cdot (-100)}}{2 \cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81}

t_1 = \frac{- 15 + \sqrt{15^2 - 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81 \cdot (-100)}}{2 \cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81}

t_1 =3,24 \text{ s}

t_1 =3,24 \text{ s}

t_2 = \frac{- 15 - \sqrt{15^2 - 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81 \cdot 100}}{2 \cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81}

t_2 = \frac{- 15 - \sqrt{15^2 - 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81 \cdot 100}}{2 \cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81}

t_2 = -6,30 \text{ s}

t_2 = -6,30 \text{ s}

Es gibt natürlich nur eine positive Lösung für die Fallzeit, denn eine negative Fallzeit macht keinen Sinn. Die negative Lösung fällt also weg. Der Ball fällt also etwa drei Sekunden lang zu Boden.

b) Nun kann man noch die Geschwindigkeit beim Aufprall berechnen.

v = v_0 + g \cdot t

v = v_0 + g \cdot t

v = 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} + 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3,24 \text{ s}

v = 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} + 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3,24 \text{ s}

v \approx 46,78 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

v \approx 46,78 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Die Geschwindigkeit des Balles beim Aufprall beträgt also etwa 55 Meter pro Sekunde. Hierbei wurden allerdings die Reibungskräfte vernachlässigt.

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