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Impulserhaltung

Der Impulserhaltungssatz sagt aus, dass in einem abgeschlossenen System der Impuls erhalten bleibt.

Stöße

Das Kugelstoßpendel betrachtet man als abgeschlossenes System. Die ausgelenkte Kugel besitzt einen Impuls, den sie an die anderen Kugeln weiter gibt.

Es kommt zu einer Impulsübertragung. Wenn die letzte Kugel ausgelenkt wird, besitzt sie den gleichen Impuls wie die erste Kugel zu Beginn. Das bedeudet, dass der Gesamtimpuls innerhalb des Systems also erhalten bleibt.

Genau das beschreibt der Impulserhaltungssatz.

Impulserhaltungssatz

Ähnlich zum Energieerhaltungssatz, besagt der Impulserhaltungssatz, dass der Gesamtimpuls eines Systems erhalten bleibt. Insbesondere gilt deshalb für den Stoß zweier Objekte:

p_{vorher} = p_{nachher}

p_{vorher} = p_{nachher}

m_{vorher} \cdot v_{vorher} = m_{nachher} \cdot v_{nachher}

m_{vorher} \cdot v_{vorher} = m_{nachher} \cdot v_{nachher}

Man unterscheidet zwar zwischen elastischen und inelastischen Stößen, der Impulserhaltungssatz gilt aber für beide Fälle, denn er muss immer gelten.

Beispiele

Stoß zweier Spielzeugwagons

Ein fahrender Spielzeugwagon prallt auf einen stehenden Spielzeugwagon. Nehmen wir an, dass keine Reibungsverluste entstehen und der fahrende Wagon (m = 0,5 kg, v = 2 m/s) seinen gesamten Impuls auf den stehenden Wagon überträgt. Wie groß ist der Impuls des stehenden Wagons nach dem Stoß?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

m_1 = 0,5 \text{ kg}\\ v_1 = 2 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

m_1 = 0,5 \text{ kg}\\ v_1 = 2 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

p_2= \: ?

p_2= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

p_{vorher} = p_{nachher}

p_{vorher} = p_{nachher}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Berechne zunächst den Impuls des fahrenden Wagons:

p_1 = m_1 \cdot v_1

p_1 = m_1 \cdot v_1

p_1 = 0,5 \text{ kg} \cdot 2 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} = 1 \text{ kg} \cdot\frac{\text{m}}{\text{s}}

p_1 = 0,5 \text{ kg} \cdot 2 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} = 1 \text{ kg} \cdot\frac{\text{m}}{\text{s}}

Da der Impulserhaltungssatz gelten muss, gilt für den Stoß:

p_{vorher}= p_{nachher}

p_{vorher}= p_{nachher}

Und da der fahrende Wagen seinen kompletten Impuls an den stehenden Wagen abgibt, gilt:

p_1 = p_2 = 1 \text{ kg} \cdot\frac{\text{m}}{\text{s}}

p_1 = p_2 = 1 \text{ kg} \cdot\frac{\text{m}}{\text{s}}

Stoß zweier Billardkugeln

Jan spielt Billard. Er stößt mit der weißen Kugel (m = 150 g) die blaue Elf (Kugel, m = 200 g) mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s. Berechne die Geschwindigkeit der blauen Elf nach dem Stoß, unter der Annahme, dass die weiße Kugel ihren gesamten Impuls abgibt.

Übungen gefällig?

Nutze den Übungstest, um zu sehen, wie gut du das Thema verstehst. Wenn du dich bereit fühlst, kannst du dich selbst testen und sehen, welche Note du bekommen würdest!

Lerne mehr und teste dein Wissen mit dem Übungstest.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

m_1 = 0,15 \text{ kg} \\m_2 = 0,2 \text{ kg} \\ v_1 = 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

m_1 = 0,15 \text{ kg} \\m_2 = 0,2 \text{ kg} \\ v_1 = 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

v_2= \: ?

v_2= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

p_{vorher} = p_{nachher}

p_{vorher} = p_{nachher}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Laut Impulserhaltungssatz muss gelten:

p_{vorher} = p_{nachher}

p_{vorher} = p_{nachher}

m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2

m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2

Umstellen und einsetzen bringt die Lösung:

v_2 = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_2}

v_2 = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_2}

v_2 = \frac{0,15 \text{ kg} \cdot 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,2 \text{ kg}} = 3,75 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

v_2 = \frac{0,15 \text{ kg} \cdot 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,2 \text{ kg}} = 3,75 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Die blaue Kugel hat also nach dem Stoß eine Geschwindigkeit von 3,75 m/s.

Apfelschuss

Ein First American schießt mit Pfeil und Bogen einen Apfel (m = 0,1 kg) vom Baum. Sein Pfeil (m = 200 g) hat eine Geschwindigkeit von 20 m/s. Der Pfeil bleibt im Apfel stecken und fliegt samt Apfel weiter. Wie hoch ist die Geschwindigkeit?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

m_{Pf} = 0,2 \text{ kg} \\ m_{Ap} = 0,1 \text{ kg}\\ v_{Pf} = 20 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

m_{Pf} = 0,2 \text{ kg} \\ m_{Ap} = 0,1 \text{ kg}\\ v_{Pf} = 20 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

v_{Ap+Pf}= \: ?

v_{Ap+Pf}= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

p_{vorher} = p_{nachher}

p_{vorher} = p_{nachher}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Laut Impulserhaltungssatz gilt:

p_{vorher} = p_{nachher}

p_{vorher} = p_{nachher}

m_{Pf} \cdot v_{Pf} = m_{Ap + Pf} \cdot v_{Ap + Pf}

m_{Pf} \cdot v_{Pf} = m_{Ap + Pf} \cdot v_{Ap + Pf}

Umstellen und einsetzen bringt die Lösung:

v_{Ap + Pf} = \frac{m_{Pf} \cdot v_{Pf}}{m_{Ap + Pf}}

v_{Ap + Pf} = \frac{m_{Pf} \cdot v_{Pf}}{m_{Ap + Pf}}

v_{Ap+Pf} = \frac{0,2 \text{ kg} \cdot 20 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,2 \text{ kg} + 0,1 \text{ kg}} = 13,3 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

v_{Ap+Pf} = \frac{0,2 \text{ kg} \cdot 20 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,2 \text{ kg} + 0,1 \text{ kg}} = 13,3 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

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