Linsen & Abbildungen

Eine Linse ist eine transparente Scheibe mit gekrümmter Oberfläche. Dadurch wird durchscheinendes Licht an der Oberfläche gebrochen und zur Mitte hin gebündelt oder nach außen gestreut.

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Konvex- und Konkavlinsen

  • Konvexlinsen werden auch Sammellinsen genannt, weil sie parallel einfallende Lichtstrahlen so brechen, dass sie sich in einem Brennpunkt bündeln.
  • Konkavlinsen werden auch Zerstreuungslinsen genannt, weil sie parallel einfallende Lichtstrahlen so brechen, dass sie sich im Raum zerstreuen.

Linsentypen

  • Sphärische Linsen (mindestens eine Seite ist die Oberfläche einer Kugel)
  • Sammellinsen (Bikonvex, Plankonvex Konkavkonvex)
  • Zersteuuungslinsen (Bikonkav, Plankonkav, Konvexkonkav)
Eine konvexe Linse kann als Schnittfläche von zwei Kreisen dargestellt werden; eine konkave Linse hingegen, als die fehlende Fläche zwischen zwei getrennten Kreisen. Es gibt verschiedene Arten von konvexen Linsen. Bei der bikonvexen Linse, ist sie beidseits nach außen gewölbt, bei der plankonvexen Linsen ist eine Seite plan, die andere nach außen gewölbt, bei der konkav-konvexen Linse ist eine Seite nach innen, die andere nach außen gewölbt. Es gibt verschiedene Arten von konkaven Linsen. Bei der bikonvexen Linse, ist sie beidseits nach innen gewölbt, bei der plankonvexen Linsen ist eine Seite plan, die andere nach innen gewölbt, bei der konvex-konkaven Linse ist eine Seite nach innen, die andere nach außen gewölbt.

Abbildungen

Eine optische Abbildung ist die Erzeugung eines Bildes durch die Brechung des vom abzubildenden Objekt ausgehenden Lichts in einem optischen Linsensystem.

Reelles Bild:

  • Vom Ort des Bildes gehen Lichtstrahlen aus.
  • Kann mithilfe eines Schirms aufgefangen bzw. darauf abgebildet werden.
  • Entsteht bei der Abbildung an Sammellinsen.

Virtuelles Bild:

  • Vom wahrgenommenen Ort eines Bildes gehen in Realität keine Lichtstrahlen aus.
  • Kann nicht mithilfe eines Schirms aufgefangen werden.
  • Entsteht bei Abbildungen an Zerstreuungslinsen oder an Spiegeln.

Strahlengang durch eine Linse

Formeln

Linsengleichung:

\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}1g+1b=1f\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

Abbildungsgleichung:

\frac{B}{G} = \frac{b}{g}BG=bg\frac{B}{G} = \frac{b}{g}
  • Brennpunkt (F) ist der Punkt, auf dem sich die gebrochenen Lichtstrahlen auf der optischen Achse schneiden.
  • Brennweite (f) ist der Abstand des Brennpunktes zur Linsenebene.
  • Gegenstandsweite (g) und Gegenstandsgröße (G) beziehen sich auf den abzubildenden Gegenstand.
  • Bildweite (b) und Bildgröße (B) beziehen sich auf die optische Abbildung des Gegenstandes.
  • g ist meist viel größer als b (g>>b).

Konstruktion einer Abbildung

  1. Parallelstrahl einzeichnen (von der Spitze von G bis zur Linse, parallel zur optischen Achse)
  2. Brennstrahl einzeichnen (von diesem Punkt ab durch den Brennpunkt)
  3. Mittelpunktstrahl einzeichnen (von der Spitze von G durch den Mittelpunkt der Linse)
  4. Der Schnittpunkt von Brennstrahl und Mittelpunktstrahl ist die neue Spitze der Abbildung B
Bei der Sammellinse verläuft der Parallelstrahl parallel bis zur Linse. Dort wird es gebrochen und verläuft durch den Brennpunkt hinter der Linse als Brennstrahl weiter. Der Mittelpunktstrahl geht durch die Mitte der Linse ungebrochen durch. Der Schnittpunkt von Brennstrahl und Mittelpunktstrahl ergibt das reelle Bild des Gegenstands hinter der Linse. Das reelle Bild ist verglichen zum Gegenstand umgekehrt. Bei der Zerstreuungslinse verläuft der Parallelstrahl parallel bis zur Linse. Dort wird es gebrochen und verläuft durch den Brennpunkt, diesmal vor der Linse als Brennstrahl weiter. Der Mittelpunktstrahl geht auch hier durch die Mitte der Linse ungebrochen durch. Der Schnittpunkt von Brennstrahl und Mittelpunktstrahl ergibt das virtuelle Bild des Gegenstands vor der Linse. Das virtuelle Bild ist verglichen zum Gegenstand gleich orientiert.

Beispiele

Sammellinse

Die Abbildung eines Gegenstands, der sich 12cm vor einer Sammellinse befindet, liegt 5cm hinter dieser Linse. Berechne die Brennweite der Linse.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

g=12~\text{cm} \\ b=~5\text{ cm} g=12 cmb=5 cmg=12~\text{cm} \\ b=~5\text{ cm}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

f= \: ?f=?f= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}1g+1b=1f\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} = \frac{b+g}{g \cdot b}1g+1b=1f=b+ggb\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} = \frac{b+g}{g \cdot b}f= \frac{g \cdot b}{b+g}= \frac{5~\text{cm} \cdot 12~\text{cm}}{12~\text{cm}+5~\text{cm}} = 3,53~\text{cm}f=gbb+g=5 cm12 cm12 cm+5 cm=3,53 cmf= \frac{g \cdot b}{b+g}= \frac{5~\text{cm} \cdot 12~\text{cm}}{12~\text{cm}+5~\text{cm}} = 3,53~\text{cm}

Die Brennweite der Sammellinse beträgt 3,53cm.

Kinoprojektor

Jan will bei seinem Freunden seinem neuen Kinoprojektor zeigen. Dafür hat er sich eine Leinwand mit einer Fläche von 3 Quadratmetern gekauft, welche er 3 Meter von seiner Couch entfernt aufhängt. Nun will er den 6,5 cm x 6,5 cm kleinen Film im Projektor auf diese Leinwand übertragen.

Im Zubehör des Projektors befinden sich Einsetzbare Linsen mit drei verschiedenen Objektivbrennweiten: 5 cm, 6,5 cm und 9 cm.

Welche der Linsen sollte er am Abend verwenden, damit die vorhandene Leinwand gut ausgeleuchtet wird?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

G= 6~\text{cm} \\ b= 3~\text{m} \\ B= 3~\text{m} G=6 cmb=3 mB=3 mG= 6~\text{cm} \\ b= 3~\text{m} \\ B= 3~\text{m}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

\text{Welche Objektivbrennweite f}= \: ?Welche Objektivbrennweite f=?\text{Welche Objektivbrennweite f}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\frac{B}{G} = \frac{b}{g}BG=bg\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}1g+1b=1f\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

\text{Abbildungsgleichung umstellen:}Abbildungsgleichung umstellen:\text{Abbildungsgleichung umstellen:}B= \frac{b \cdot G}{g}B=bGgB= \frac{b \cdot G}{g}\text{Linsengleichung umstellen:}Linsengleichung umstellen:\text{Linsengleichung umstellen:}\frac{1}{g}=\frac{1}{f} - \frac{1}{b} \rightarrow g= \frac{f \cdot b}{b - f}1g=1f1bg=fbbf\frac{1}{g}=\frac{1}{f} - \frac{1}{b} \rightarrow g= \frac{f \cdot b}{b - f}\text{Einsetzen:}Einsetzen:\text{Einsetzen:}B= \frac{b \cdot G \cdot (b - f)}{f \cdot b}= \frac{3~\text{m} \cdot 0,065~\text{m} \cdot ( 3~\text{m} - f) }{f \cdot 3~\text{m}}B=bG(bf)fb=3 m0,065 m(3 mf)f3 mB= \frac{b \cdot G \cdot (b - f)}{f \cdot b}= \frac{3~\text{m} \cdot 0,065~\text{m} \cdot ( 3~\text{m} - f) }{f \cdot 3~\text{m}}
fff
5~\text{cm}~ (0,05~\text{m})5 cm (0,05 m)5~\text{cm}~ (0,05~\text{m})
6,5~\text{cm}~ (0,065~\text{m})6,5 cm (0,065 m)6,5~\text{cm}~ (0,065~\text{m})
9~\text{cm}~ (0,09~\text{m})9 cm (0,09 m)9~\text{cm}~ (0,09~\text{m})
BBB
3,8~\text{m}3,8 m3,8~\text{m}
2,9~\text{m}2,9 m2,9~\text{m}
2,1~\text{m}2,1 m2,1~\text{m}

Um die 3-Meter-Leinwand optimal auszuleuchten wäre die Linse mit der Brennweite von 6,5cm am besten geeignet.

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