Grundbegriffe der Kreisbewegung

Eine Drehbewegung ist eine kreisförmige Bewegung eines Körpers um eine Drehachse.


Die Drehbewegung

In der Animation siehst du, wie sich das Riesenrad im Kreis dreht. Dabei dreht sich das Riesenrad gleichmäßig um die Drehsachse. Die Drehachse ist hier also in der Mitte des Riesenrads und zeigt in die Ebene hinein, bzw. aus der Ebene heraus.

Gradmaß und Bogenmaß

Um den Fortschritt einer Umdrehung zu beschreiben, wird der Drehwinkel genutzt:

  • Ein Drehwinkel von 90° bedeutet also eine viertel Umdrehung.
  • Bei 180° macht das Riesenrad eine halbe Umdrehung.
  • Bei 270° dementsprechend eine dreiviertel Umdrehung.
  • Ein 360°-Winkel entspricht einer ganzen Umdrehung des Riesenrads.

Der Drehwinkel wird bei einer Kreisbewegung allerdings nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß angegeben. Der Drehwinkel im Bogenmaß erscheint in der Animation immer in der Mitte des Riesenrads.

In der nachfolgenden Tabelle sind für einige wichtige Gradmaße die zugehörigen Bogenmaße angegeben.

Gradmaß

Bogenmaß

30°30°30°
\frac{1}{6} \:\pi16π\frac{1}{6} \:\pi
45°45°45°
\frac{1}{4} \:\pi14π\frac{1}{4} \:\pi
90°90°90°
\frac{1}{2} \:\pi12π\frac{1}{2} \:\pi
180°180°180°
\piπ\pi
270°270°270°
\frac{3}{2} \:\pi32π\frac{3}{2} \:\pi
360°360°360°
2 \:\pi2π2 \:\pi

Umrechnung

Einen beliebigen Winkel α im Gradmaß kann man über folgende Formel in das Bogenmaß umrechnen:

\text{Bogenmaß von}\: \alpha = \frac{\alpha}{180°} \:\piBogenmaß vonα=α180°π\text{Bogenmaß von}\: \alpha = \frac{\alpha}{180°} \:\pi

Wegstrecke

Die Wegstrecke ist die Strecke, die der Körper auf der Kreisbahn bei einem bestimmten Drehwinkel zurücklegt.

Die zurückgelegte Wegstrecke ist abhängig vom Radius und von dem Drehwinkel. Es gilt:

\Delta s = r \cdot \Delta \varphiΔs=rΔφ\Delta s = r \cdot \Delta \varphi

Dabei entspricht ...

\Delta \varphi = \text{Winkel im Bogenmaß}Δφ=Winkel im Bogenmaß\Delta \varphi = \text{Winkel im Bogenmaß}

Einheit:

[\Delta s]=\text{m}[Δs]=m[\Delta s]=\text{m}

Umlaufdauer

Die Umlaufdauer ist die Zeit, die bei einer Kreisbewegung für eine ganze Umdrehung, also einem Winkel von 2π, benötigt wird. Sie ist auch unter dem Namen Periodendauer bekannt.

In der ersten Animation siehst du, dass das Riesenrad für eine Umdrehung eine Zeit von zwei Sekunden benötigt. Die Umlaufdauer beträgt also zwei Sekunden:

T = 2 \text{ s}T=2 sT = 2 \text{ s}

In der zweiten Animation dreht sich das Riesenrad etwas langsamer und braucht für eine Umdrehung drei Sekunden:

T = 3 \text{ s}T=3 sT = 3 \text{ s}

In der dritten Animation dreht sich das Riesenrad noch langsamer. Eine Umdrehung dauert dann fünf Sekunden:

T = 5 \text{ s}T=5 sT = 5 \text{ s}

Merke dir also:

Je länger die Umlaufdauer einer Kreisbewegung, desto langsamer dreht sich das Objekt!

Frequenz

Die Frequenz einer Kreisbewegung ist ein Maß dafür, wie schnell ein Körper sich dreht. Sie ist definiert als:

f = \frac{1}{T}f=1Tf = \frac{1}{T}

Einheit:

[f]=\frac{1}{\text{s}}[f]=1s[f]=\frac{1}{\text{s}}

Für die verschiedenen Umlaufdauern des Riesenrads von oben können wir also folgende Frequenzen berechnen:

Umlaufdauer T

Frequenz

T = 5 \text{ s}T=5 sT = 5 \text{ s}
f = \frac{1}{5 \text{ s}} = \frac{1}{5} \text{ Hz}f=15 s=15 Hzf = \frac{1}{5 \text{ s}} = \frac{1}{5} \text{ Hz}
T = 3 \text{ s}T=3 sT = 3 \text{ s}
f = \frac{1}{3 \text{ s}} = \frac{1}{3} \text{ Hz}f=13 s=13 Hzf = \frac{1}{3 \text{ s}} = \frac{1}{3} \text{ Hz}
T = 2 \text{ s}T=2 sT = 2 \text{ s}
f = \frac{1}{2 \text{ s}} = \frac{1}{2} \text{ Hz}f=12 s=12 Hzf = \frac{1}{2 \text{ s}} = \frac{1}{2} \text{ Hz}

Umso größer die Frequenz einer Kreisbewegung, desto schneller dreht sich das Objekt!

Die Frequenz verhält sich also immer umgekehrt zur Umlaufdauer.


Beispiele

Frequenz von Riesenrädern

In der Animation siehst du zwei sich drehende Riesenräder. Riesenrad 1 dreht sich in 6 Sekunden 4 mal. Riesenrad 2 dreht sich in 8 Sekunden 10 mal. Welches Riesenrad hat die höhere Frequenz?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

t_1 = 6 \text{ s} \\ t_2 = 8 \text{ s} t1=6 st2=8 st_1 = 6 \text{ s} \\ t_2 = 8 \text{ s}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

f_1 = ? \\ f_2= \: ?f1=?f2=?f_1 = ? \\ f_2= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

f = \frac{1}{T}f=1Tf = \frac{1}{T}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Aus den gegebenen Werten kannst du dir zunächst die Umlaufdauer für eine Umdrehung berechnen.

Die Zeit für einen einzigen Umlauf kannst du dir berechnen, in dem du die Gesamtzeit durch die Anzahl der Umdrehungen teilst.

Für das erste Riesenrad gilt:

T = \frac{6 \text{ s}}{4}T=6 s4T = \frac{6 \text{ s}}{4}T = 1,5 \text{ s}T=1,5 sT = 1,5 \text{ s}

Für das zweite Riesenrad gilt:

T = \frac{8 \text{ s}}{10}T=8 s10T = \frac{8 \text{ s}}{10}T = 0,8 \text{ s}T=0,8 sT = 0,8 \text{ s}

Aus den Umlaufdauern kannst du dir nun die Frequenzen der Riesenräder berechnen:

f_1 = \frac{1}{1,5 \text{ s}} \approx 0,7 \text{ Hz}f1=11,5 s0,7 Hzf_1 = \frac{1}{1,5 \text{ s}} \approx 0,7 \text{ Hz}f_2 = \frac{1}{0,8 \text{ s}} = 1,3 \text{ Hz}f2=10,8 s=1,3 Hzf_2 = \frac{1}{0,8 \text{ s}} = 1,3 \text{ Hz}

Die Frequenz von Riesenrad 2 ist also größer als die Frequenz von Riesenrad 1. Das heißt Riesenrad 2 dreht sich schneller als Riesenrad 1, was du auch direkt an der berechneten kürzeren Umlaufzeit sehen kannst und auch in der Animation direkt sichtbar ist.

Wettrennen

Jan und Janine laufen auf einer kreisförmigen Tartanbahn um die Wette. Da Jan denkt er wäre so gut in Form, läuft er außen.

Die Entfernung von Janine zum Mittelpunkt des Kreises beträgt 57 m. Jan steht nochmal 3 m weiter außen. Wie viel länger ist Jans Weg bei einer ganzen Runde auf der Tartanbahn?

In der Grafik sind Jan und Janine auf einer Kreisförmigen Tartanbahn zu sehen.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

r_{Janine} = 57 \text{ m} \\ r_{Jan} = (57+3) \text{ m} \\ \varphi = 2 \:\pi rJanine=57 mrJan=(57+3) mφ=2πr_{Janine} = 57 \text{ m} \\ r_{Jan} = (57+3) \text{ m} \\ \varphi = 2 \:\pi

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

\Delta s_{Janine} = ?\\ \Delta s_{Jan}= \: ?ΔsJanine=?ΔsJan=?\Delta s_{Janine} = ?\\ \Delta s_{Jan}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\Delta s = r \cdot \varphiΔs=rφ\Delta s = r \cdot \varphi

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Du musst für die beiden jeweils die Wegstrecke der Kreisbahn berechnen. Dies machst du am Besten über die gelernte Formel für die Wegstrecke.

Für Janine berechnest du dann:

\Delta s = 57 \text{ m} \cdot 2 \:\piΔs=57 m2π\Delta s = 57 \text{ m} \cdot 2 \:\pi\Delta s_{Janine} \approx 358 \text{ m}ΔsJanine358 m\Delta s_{Janine} \approx 358 \text{ m}

Für Jan berechnest du dann:

\Delta s = 60 \text{ m} \cdot 2 \:\piΔs=60 m2π\Delta s = 60 \text{ m} \cdot 2 \:\pi\Delta s_{Jan} \approx 377 \text{ m}ΔsJan377 m\Delta s_{Jan} \approx 377 \text{ m}

Jan muss also 19 m pro Runde weiter laufen als Janine.

Anmerkung

Wie du feststellen kannst, ist die Formel für die Wegstrecke bei einer ganzen Umdrehung ja genau die Formel für den Umfang eines Kreises.

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