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Doppelspalt

Das Doppelspaltexperiment zeigt eine Beugung und Interferenz von Licht. Dazu schickt man kohärentes Licht (einfarbiges Licht) durch zwei nahe beieinanderstehende Spalte.

Das Doppelspaltexperiment

An den Spalten entstehen laut dem Huygensschen Prinzip neue Elementarwellen. Diese überlagern sich (interferieren) und bilden auf einem Schirm ein Interferenzmuster aus Minima (dunkle Streifen, da destruktive Interferenz) und Maxima (helle Streifen, da konstruktive Interferenz). Die Maxima und Minima werden dabei nach außen mit Nummern geordnet.

Die Grafik zeigt wie sich die Lichtstrahlen die durch die beiden Spalte fallen an einigen Stellen überlagern. Dort wo sie sich konstruktiv Überlagern entsteht ein Maximum auf dem Schirm. Die Intensitäts-Höhen des Maximums werden rechts neben dem Schirm angezeigt. SIe werden immer geringer je weiter sie vom Mittelpunkt entfernt liegen.

Spaltabstand

Die Lage der Minima und Maxima wird vom Spaltabstand d und der Wellenlänge λ des Lichts beeinflusst. Der Abstand a zum Schirm ist im Verhältnis zum Spaltabstand sehr sehr groß (a>>d), daher kann man die Strahlen am Spalt zur Konstruktion als parallel betrachten. Der Abstand zwischen dem Maximum 1. Ordnung und der Mitte wird mit b bezeichnet.

Die Grafik zeigt die Kontruktion eines Winkels Alpha. Dieser gibt an welchen Winkel die zwei Parallelen Lichtrahlen nehmen die durch den Doppelspalt fallen. Mit dem passenden Gangunterschied Delta s und dem Spaltabstand b kann man die Lage des Minimums bzw. Maximums auf dem Schirm bestimmen. Dieses hat den Abstand d zur Mittelline.

Ob es zu einer konstruktiven oder destruktiven Interferenz kommt entscheidet sich durch den Gangunterschied (∆s) der Wellen. Der Gangunterschied ist die Wegdifferenz zwischen den Wellen, also wie weit sie zueinander versetzt sind.

Voraussetzung für Minima:

Der Gangunterschied ist eine halbe Wellenlänge (½ λ) oder ein ungerades Vielfaches einer halben Wellenlänge. Das k gibt an, welches Minimum wir suchen (wie vielte Ordnung).

\Delta s = \frac{ \left( 2k +1 \right)} {2} \cdot \lambda

\Delta s = \frac{ \left( 2k +1 \right)} {2} \cdot \lambda

sin (\alpha) = \frac{ ( 2k + 1 )} {2d} \cdot \lambda

sin (\alpha) = \frac{ ( 2k + 1 )} {2d} \cdot \lambda

Voraussetzung für Maxima:

Der Gangunterschied ist genau eine Wellenlänge λ oder ein Vielfaches einer Wellenlänge. Das k gibt an, welches Maximum wir suchen (wie vielte Ordnung).

\Delta s= k \cdot \lambda

\Delta s= k \cdot \lambda

sin (\alpha) = \frac{k \cdot \lambda}{d}

sin (\alpha) = \frac{k \cdot \lambda}{d}

Interferenzmuster am Schirm

Am Schirm ist ein Streifenmuster zu erkennen, aus hellen Streifen (Maxima) und dunklen Streifen (Minima).

Allerdings fehlen einige Maxima. Da ein Doppelspalt aus zwei Einzelspalten besteht, ist das Interferenzmuster der Einzelspalte auch beim Doppelspalt sichtbar. Die Eigenschaften des Doppelspalts und des Einzelspaltes überlagern sich.

Das Interferenzmuster eines Doppelspalts wird vo dem des EInzelspalts überlagert. Deshalb findenn sich sowohl kleie Maxima und Minima des Einzelspalts und große Minima und Maxima des Doppelspaltes wieder.

Beispiele

Laserlicht

Jan leuchtet mit seinem Laser auf einen Doppelspalt mit einem Spaltabstand von 1,2 mm. Auf einer weißen Wand im Abstand 1,50 m zum Doppelspalt erkennt Jan ein Interferenzmuster. Das erste Maximum hat dabei zur Mitte einen Abstand von 1 mm. Wie kann Jan die Wellenlänge des Laser-Lichts berechnen?

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Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

d= 1,2\cdot 10^{-3}~ \text{m} \\ a=1,5~\text{m} \\ b=1\cdot 10^{-3}~ \text{m} \\ n=1

d= 1,2\cdot 10^{-3}~ \text{m} \\ a=1,5~\text{m} \\ b=1\cdot 10^{-3}~ \text{m} \\ n=1

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

\lambda= \: ?

\lambda= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

sin(\alpha)=\frac{n \cdot \lambda}{d}

sin(\alpha)=\frac{n \cdot \lambda}{d}

tan(\alpha)= \frac{b}{a}

tan(\alpha)= \frac{b}{a}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

\alpha = tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \right) = tan^{-1} \left( \frac{1 \cdot 10^{-3}~\text{m}}{1,5~\text{m}} \right) = 0,04\degree

\alpha = tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \right) = tan^{-1} \left( \frac{1 \cdot 10^{-3}~\text{m}}{1,5~\text{m}} \right) = 0,04\degree

\lambda= \frac{ sin(\alpha)\cdot d}{n} = \frac{ sin(0,04\degree)\cdot 1,2\cdot10^{-3}~\text{m}}{1} =8,38\cdot 10^{-7}~\text{m}

\lambda= \frac{ sin(\alpha)\cdot d}{n} = \frac{ sin(0,04\degree)\cdot 1,2\cdot10^{-3}~\text{m}}{1} =8,38\cdot 10^{-7}~\text{m}

Die Wellenlänge des Laserlichts beträgt 838 Nanometer.

Grüner Laser

Jans Klassenkameradin hat einen grünen Laser mit Licht der Wellenlänge 546 nm. Auch sie leuchtet mit dem Laser auf Jans Doppelspalt. Am Schirm wird wieder ein Interferenzmuster sichtbar. Welchen Abstand hat diesmal das erste Maximum zur Mitte?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

d= 1,2\cdot 10^{-3}~ \text{m} \\ a=1,5~\text{m} \\ \lambda=546\cdot 10^{-9}~ \text{m} \\ n=1

d= 1,2\cdot 10^{-3}~ \text{m} \\ a=1,5~\text{m} \\ \lambda=546\cdot 10^{-9}~ \text{m} \\ n=1

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

b= \: ?

b= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

sin(\alpha)=\frac{n \cdot \lambda}{d}

sin(\alpha)=\frac{n \cdot \lambda}{d}

tan(\alpha)= \frac{b}{a}

tan(\alpha)= \frac{b}{a}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

\alpha=sin^{-1}\left( \frac{n\cdot\lambda}{d} \right) =sin^{-1}\left( \frac{1\cdot 546\cdot10^{-9}~\text{m}}{1,2\cdot10^{-3}~\text{m}} \right) = 0,03\degree

\alpha=sin^{-1}\left( \frac{n\cdot\lambda}{d} \right) =sin^{-1}\left( \frac{1\cdot 546\cdot10^{-9}~\text{m}}{1,2\cdot10^{-3}~\text{m}} \right) = 0,03\degree

b= tan(\alpha) \cdot a = tan(0,03\degree) \cdot 1,5~\text{m} = 0,79\cdot10^{-3}~\text{m}

b= tan(\alpha) \cdot a = tan(0,03\degree) \cdot 1,5~\text{m} = 0,79\cdot10^{-3}~\text{m}

Der Abstand des ersten Maximums zur Mitte beträgt 0,79 Milimeter.

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