Schwingkreis

Bei einem Schwingkreis baut sich immer abwechselnd ein elektrisches Feld und ein magnetisches Feld auf, die sich gegenseitig erzeugen. Es entsteht eine Elektromagnetische Welle.


Vorgänge im Schwingkreis

Der Schwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule in einem geschlossenen Stromkreis. Durch Laden des Kondensators kann ein Schwingkreis zu elektromagnetischen Eigenschwingungen angeregt werden.

  1. Die Kondensatorplatten sind geladen und ein elektrisches Feld entsteht.
  2. Die Ladung will sich ausgleichen und die Elektronen fließen über die Spule zum Pluspol.
  3. In der stromdurchflossenen Spule entsteht ein magnetisches Feld.
  4. Da die Ladung der Kondensatorplatten sich langsam ausgleicht, verschwindet das elektrische Feld.
  5. Die Spule pumpt aber aufgrund der Lenzschen Regel (Selbstinduktion) weiter Elektronen auf die untere Platte, bis der Strom gleich Null ist. Dann verschwindet das magnetische Feld.
  6. Da nun mehr Elektronen auf die untere Platte gepumpt wurden, sind die Kondensatorplatten wieder geladen und es entsteht ein elektrisches Feld. Dieses ist genau umgekehrt zum Feld vom Anfang.
  7. Derselbe Vorgang startet wieder von vorne, diesmal in die andere Richtung. Und so geht das immer weiter hin und her.

Strom und Spannung sind immer zueinander verschoben. Wenn die Spannung am Kondensator null ist, ist der Strom durch die Spule maximal und umgekehrt!

Die Spannung und der Strom laufen beide als Sinusförmige Kurven mit gleicher Wellenlänge und Amplitude. Allerdings sieht man in der Grafik, dass die Kurven Zeitversetzt zueinander verlaufen.

Es besteht folgender Zusammenhang:

U_{max}=I_{max}\cdot\sqrt{\frac{L}{C}}Umax=ImaxLCU_{max}=I_{max}\cdot\sqrt{\frac{L}{C}}T = 2 \cdot \pi\cdot\sqrt{L\cdot C}T=2πLCT = 2 \cdot \pi\cdot\sqrt{L\cdot C}

C = Kapazität des Kondensators
L = Induktivität der Spule
T = Periodendauer einer Schwingung

Gedämpfter und ungedämpfter Schwingkreis

Ohne Verluste würde der Schwingungsvorgang unaufhörlich so weiter gehen, die Schwingung selbst wäre also ungedämpft.

Das ist aber eine Idealvorstellung und kann in der Realität nur annähernd verwirklicht werden Der Leitungsdraht und die Bauteile des Kondensators besitzen einen ohmschen Widerstand. Durch diesen werden Verluste hervorgerufen und die Schwingung wird langsam gedämpft.

Offener und geschlossener Schwingkreis

Wenn sich eine Spule und ein Kondensator in einem geschlossenen Stromkreis befinden, nennt man diesen Schwingkreis geschlossen. Zieht man die Kondensatorplatten jedoch auseinander, erzeugt man einen offenen Schwingkreis.

Die Grafik zeigt von links nach rechts einen Schwingkreis der immer weiter geöffnet ist. Zunächst wird die Spule immer weiter verkleinert bis sie ganz weggelassen wird und nurnoch eine Leiterschleife übrig ist. Wird diese dann noch gerade gebogen, erhält man einen Herzschen Dipol.

Ein offener Schwingkreis hat viele Vorteile:

  • Je offener ein Schwingkreis ist, desto kleiner sind die Verluste
  • Elektromagnetische Wellen werden besser abgestrahlt
  • Man kann mit höheren Frequenzen Schwingen

Ein Hertzscher Dipol (Antenne) stellt den einfachsten offenen Schwingkreis dar.

Energieumwandlung im Schwingkreis

Eine Schwingung ist immer eine Energieumwandlung!

Daher ist der Schwingkreis ähnlich zum Federpendel. Bei dessen Schwingung wandeln sind periodisch Bewegungsenergie (kinetische Energie) und Spannenergie ineinander um und wechseln sich ab.

Beim elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich elektrische Feldenergie im Kondensator und magnetische Feldenergie an der Spule ineinander um.

  • Diese Formel gilt, wenn der Strom null ist und die Spannung im Kondensator maximal. Die gesamte Energie ist dann im Kondensator gespeichert.
W_{max}=\frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{max}^2Wmax=12CUmax2W_{max}=\frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{max}^2
  • Diese Formel gilt, wenn die Spannung null ist und der Strom maximal. Die gesamte Energie ist dann in der Spule gespeichert.
W_{max}=\frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{max}^2Wmax=12LImax2W_{max}=\frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{max}^2

Schwingkreis 1

Eine Spule mit der Induktivität von 10 mH und ein Kondensator ergeben einen Schwingkreis. Für einen Schwingungsdurchgang benötigt dieser 2 μs. Welche Kapazität hat der Kondensator?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

L = 10\cdot10^{-3}~\text{H} \\ T= 2\cdot10^{-6}~\text{s} L=10103 HT=2106 sL = 10\cdot10^{-3}~\text{H} \\ T= 2\cdot10^{-6}~\text{s}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

C= \: ?C=?C= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

T = 2 \cdot \pi\cdot\sqrt{L\cdot C}T=2πLCT = 2 \cdot \pi\cdot\sqrt{L\cdot C}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

C=\frac{T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot L} =\frac{(2 \cdot10^{-6}~\text{s})^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot 10 \cdot 10^{-3}~\text{H}} \approx 1\cdot10^{-11}~\text{F} = 0,1 \text{ pF}C=T24π2L=(2106 s)24π210103 H11011 F=0,1 pFC=\frac{T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot L} =\frac{(2 \cdot10^{-6}~\text{s})^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot 10 \cdot 10^{-3}~\text{H}} \approx 1\cdot10^{-11}~\text{F} = 0,1 \text{ pF}

Der Kondensator hat eine Kapazität von 0,1 Picofarad.

Schwingkreis 2

In einem Schwingkreis sind eine Spule mit L = 0,80 mH und ein Kondensator mit C = 50μF verbaut. Die maximale Spannung zum Zeitpunkt t = 0 s ist 80V.

  1. Wann ist die Stromstärke durch die Spule maximal?
  2. Wie groß ist die Schwingungsdauer einer Schwingung?
  3. Wie groß ist die Feldenergie am Kondensator zum Zeitpunkt t= 0 s?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

L = 0,8 \cdot 10^{-3}~\text{H} \\ C= 50 \cdot 10^{-6}~\text{F} \\ U_{max} = 80 ~\text{V} L=0,8103 HC=50106 FUmax=80 VL = 0,8 \cdot 10^{-3}~\text{H} \\ C= 50 \cdot 10^{-6}~\text{F} \\ U_{max} = 80 ~\text{V}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

T, W= \: ?T,W=?T, W= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

T = 2 \cdot \pi\cdot\sqrt{L\cdot C}T=2πLCT = 2 \cdot \pi\cdot\sqrt{L\cdot C}W_{max}=\frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{max}^2Wmax=12CUmax2W_{max}=\frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{max}^2

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

1.1.1.

Die Stromstärke durch die Spule ist dann am stärksten, wenn die Spannung am Kondensator am geringsten ist (also gleich Null).

2.2.2.T = 2 \cdot \pi\cdot\sqrt{0,8\cdot10^{-3}~\text{H}\cdot 50\cdot10^{-6}~\text{F}} \approx 1,3\cdot 10^{-3}~\text{s}T=2π0,8103 H50106 F1,3103 sT = 2 \cdot \pi\cdot\sqrt{0,8\cdot10^{-3}~\text{H}\cdot 50\cdot10^{-6}~\text{F}} \approx 1,3\cdot 10^{-3}~\text{s}3.3.3.W_{max}=\frac{1}{2} \cdot 50\cdot10^{-6}~\text{F} \cdot (80~\text{V})^2 = 0,16~\text{Ws}Wmax=1250106 F(80 V)2=0,16 WsW_{max}=\frac{1}{2} \cdot 50\cdot10^{-6}~\text{F} \cdot (80~\text{V})^2 = 0,16~\text{Ws}
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