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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

GbB mit Anfangsgeschwindigkeit

Wenn du dich in Physik gerade mit dem Thema Beschleunigung und Geschwindigkeit beschäftigst, wirst du auch die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit kennenlernen.

Wie berechnet man die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit?

simpleclub erklärt dir, was du zu dem Thema wissen solltest!

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit einfach erklärt

Sieh dir die Animation an. Jan fährt mit seinem Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 30 km/h auf der Straße. Anschließend beschleunigt er sein Auto mit einer konstanten Beschleunigung auf 60 km/h.

Nachdem Jan eine Zeit lang mit 60 km/h gefahren ist, bremst er seinen Wagen wieder gleichmäßig auf 30 km/h ab. Auch ein Bremsvorgang ist also eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. In diesem Fall ist die Beschleunigung allerdings negativ.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit Definition

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit wird ein Körper beschleunigt, der zuvor schon eine gewisse Geschwindigkeit hatte.

Beschreibung der Bewegung

Wichtig ist, dass zu Beginn der Beschleunigung das Auto schon eine gewisse Anfangsgeschwindigkeit besitzt.

Welche Zusammenhänge gelten nun für Geschwindigkeit und Weg, wenn die Beobachtung der Bewegung schon mit einer Anfangsgeschwindigkeit startet?

Wichtig ist, dass der Zeitpunkt t = 0 s, also der Start der Beobachtung, dem Moment entspricht, an dem Jan sein Auto zu beschleunigen beginnt.

Formeln zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

Geschwindigkeit

Ein Drehmoment ist definiert über die außen angreifende Kraft, und den Radius, mit dem der Angriffspunkt der Kraft vom Drehpunkt entfernt ist.

v = a \cdot t + v_0

v = a \cdot t + v_0

wobei ...

v_0 = \text{Anfangsgeschwindigkeit}

v_0 = \text{Anfangsgeschwindigkeit}

Einheit:

[v]=\frac{\text{m}}{\text{s}}

[v]=\frac{\text{m}}{\text{s}}

Vergleich gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit und ohne Anfangsgeschwindigkeit

Man kann nun die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

v = a \cdot t + \textcolor{sc_color_1}{v_0}

v = a \cdot t + \textcolor{#7F7706}{v_0}

mit der Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit vergleichen

v = a \cdot t

v = a \cdot t

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit muss man für die resultierende Geschwindigkeit immer noch die Geschwindigkeit zu Beginn der Bewegung addieren.

Weg

Ein Drehmoment ist definiert über die außen angreifende Kraft, und den Radius, mit dem der Angriffspunkt der Kraft vom Drehpunkt entfernt ist.

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t

mit ...

v_0 = \text{Anfangsgeschwindigkeit}

v_0 = \text{Anfangsgeschwindigkeit}

Einheit:

[s]=m

[s]=m

Vergleich gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit und ohne Anfangsgeschwindigkeit

Nach Beginn der Beschleunigung gilt für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + \textcolor{sc_color_1}{v_0\cdot t}

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + \textcolor{#7F7706}{v_0\cdot t}

Im Vergleich mit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

Es wird bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit also ein zusätzlicher Weg zurückgelegt. Dieser zusätzliche Weg kommt durch die Anfangsgeschwindigkeit zustande. Er wird über das Produkt aus Anfangsgeschwindigkeit und Zeit berechnet.

Beispiele gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

Beispiel 1: Spannung berechnen

Jan fährt mit 30 km/h auf der Straße. Nun beschleunigt er seinen Wagen gleichmäßig auf 60 km/h in 6 Sekunden.

a) Wie stark beschleunigt Jan sein Auto?

Übungen gefällig?

Nutze den Übungstest, um zu sehen, wie gut du das Thema verstehst. Wenn du dich bereit fühlst, kannst du dich selbst testen und sehen, welche Note du bekommen würdest!

Lerne mehr und teste dein Wissen mit dem Übungstest.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

\begin{aligned} v_0 &= 30 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v &= 60 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ t &= 6 \text{ s} \end{aligned}

\begin{aligned} v_0 &= 30 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v &= 60 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ t &= 6 \text{ s} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

a= \: ?

a= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

v = a \cdot t + v_0

v = a \cdot t + v_0

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Da Jan zu Beginn der Beschleunigung schon mit einer bestimmten Geschwindigkeit fährt, benutzt du die Formel für die Geschwindigkeit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. Diese löst du nach der gesuchten Größe, der Beschleunigung a, auf.

v - v_0 = a \cdot t

v - v_0 = a \cdot t

a = \frac{v - v_0}{t}

a = \frac{v - v_0}{t}

Denke daran, die Geschwindigkeit noch in die Grundeinheit m/s umzurechnen.

a = \frac{\frac{60}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{6 \text{ s}}

a = \frac{\frac{60}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{6 \text{ s}}

\textcolor{sc_color_1}{a = \lsg{\frac{25}{18} \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}

\textcolor{#7F7706}{a = \lsg{\frac{25}{18} \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}

b) Welchen Weg legt Jan in den 6 Sekunden zurück?

Nun benutzt du die Formel für den Weg der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 +v_0\cdot t

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 +v_0\cdot t

Hier musst du nun einfach nur die Werte einsetzen. Die Schwierigkeit liegt darin, die korrekte Formel zu verwenden. Es handelt sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit.

s = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{18} \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{ s})^2 + \:\frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}

s = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{18} \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{ s})^2 + \:\frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}

s = \lsg{75 \text{ m}}

s = \lsg{75 \text{ m}}

Jan legt in den 6 Sekunden also eine Entfernung von 75 Metern zurück.

Beispiel 1: Spannung berechnen

Wir betrachten nun nochmal Jan, der auf der Straße mit seinem Auto fährt. Diesmal wird die Aufgabe allerdings ein wenig schwieriger.

Wir nehmen an, dass Jan bereits genau 1,0 Kilometer von zu Hause weggefahren ist, bevor er in unserer Animation zu sehen ist. Nun fährt er 6,0 Sekunden lang mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h und beschleunigt anschließend noch einmal 6,0 Sekunden lang mit 5,0 m/s². Welchen Weg hat Jan dann insgesamt zurückgelegt?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

\begin{aligned} x_0 &= 1,0 \text{ km} \\ v_0 &= 30 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ a &= 5,0 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ t_1 &= 6,0 \text{ s} \\ t_2 &= 6,0 \text{ s} \end{aligned}

\begin{aligned} x_0 &= 1,0 \text{ km} \\ v_0 &= 30 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ a &= 5,0 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ t_1 &= 6,0 \text{ s} \\ t_2 &= 6,0 \text{ s} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

s_{ges}= \: ?

s_{ges}= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 +v_0\cdot t

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 +v_0\cdot t

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Dies ist eine sehr schwierige Aufgabe. Zur Berechnung unterteilen wir die Bewegung in drei Teile.

Bewegung 1

Jan ist bereits 1 Kilometer gefahren. Der zurückgelegte Weg ist also einen Kilometer.

s_1 = 1000 \text{ m}

s_1 = 1000 \text{ m}

Bewegung 2

Laut Angabe ist Jan danach sechs Sekunden lang mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h gefahren. Das ergibt einen Weg von:

s_2 = v_0 \cdot t_1

s_2 = v_0 \cdot t_1

s_2 = \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}

s_2 = \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}

s_2 = 50 \text{ m}

s_2 = 50 \text{ m}

Bewegung 3

Die dritte Bewegung ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Der hier zurückgelegte Weg berechnet sich aus der bekannten Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. Hierbei darfst du nicht vergessen, dass Jan bei der Betrachtung dieser Bewegung die Anfangsgeschwindigkeit 30 km/h besitzt.

s_3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2)^2 +v_0\cdot t_2

s_3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2)^2 +v_0\cdot t_2

Damit berechnen wir einen Weg von:

s_3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{s})^2 + \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}

s_3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{s})^2 + \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}

s_3 = 140 \text{ m}

s_3 = 140 \text{ m}

Gesamter Weg

Damit ergibt sich der insgesamt von Jan zurückgelegte Weg zu:

s_{ges} = s_1 + s_2 + s_3

s_{ges} = s_1 + s_2 + s_3

s_{ges} = 1000 \text{ m} + 50 \text{ m} + 140 \text{ m}

s_{ges} = 1000 \text{ m} + 50 \text{ m} + 140 \text{ m}

s_{ges} = 1190 \text{ m} \approx \lsg{1,2 \text{ km}}

s_{ges} = 1190 \text{ m} \approx \lsg{1,2 \text{ km}}

Auf gültige Ziffern geachtet ist der von Jan zurückgelgte Weg also 1,2 Kilometer.

Nächstes Thema:

Diagramme der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

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