Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit wird ein Körper beschleunigt, der zuvor schon eine gewisse Geschwindigkeit hatte.


Sieh dir die Animation an. Jan fährt mit seinem Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 30 km/h auf der Straße. Anschließend beschleunigt er sein Auto mit einer konstanten Beschleunigung auf 60 km/h.

Nachdem Jan eine Zeit lang mit 60 km/h gefahren ist, bremst er seinen Wagen wieder gleichmäßig auf 30 km/h ab. Auch ein Bremsvorgang ist also eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. In diesem Fall ist die Beschleunigung allerdings negativ.

Beschreibung der Bewegung

Wichtig ist, dass zu Beginn der Beschleunigung das Auto schon eine gewisse Anfangsgeschwindigkeit besitzt.

Welche Zusammenhänge gelten nun für Geschwindigkeit und Weg, wenn die Beobachtung der Bewegung schon mit einer Anfangsgeschwindigkeit startet?

Wichtig ist, dass der Zeitpunkt t = 0 s, also der Start der Beobachtung, dem Moment entspricht, an dem Jan sein Auto zu beschleunigen beginnt.

Formeln

Geschwindigkeit

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit hat ein Körper zu Beginn der Beschleunigung eine gewisse Geschwindigkeit. Zu dieser kommt dann noch die Beschleunigung a hinzu. Für die resultierende Geschwindigkeit gilt dann folgende Formel:

v = a \cdot t + v_0v=at+v0v = a \cdot t + v_0

wobei ...

v_0 = \text{Anfangsgeschwindigkeit}v0=Anfangsgeschwindigkeitv_0 = \text{Anfangsgeschwindigkeit}

Einheit:

[v]=\frac{\text{m}}{\text{s}}[v]=ms[v]=\frac{\text{m}}{\text{s}}

Vergleich

Man kann nun die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

v = a \cdot t + \textcolor{sc_color_1}{v_0}v=at+v0v = a \cdot t + \textcolor{#7F7706}{v_0}

mit der Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit vergleichen

v = a \cdot tv=atv = a \cdot t

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit muss man für die resultierende Geschwindigkeit immer noch die Geschwindigkeit zu Beginn der Bewegung addieren.

Weg

Bei Berechnung des zurückgelegten Weges müssen wir ebenfalls die Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigen:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot ts=12at2+v0ts = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t

mit ...

v_0 = \text{Anfangsgeschwindigkeit}v0=Anfangsgeschwindigkeitv_0 = \text{Anfangsgeschwindigkeit}

Einheit:

[s]=m[s]=m[s]=m

Vergleich

Nach Beginn der Beschleunigung gilt für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + \textcolor{sc_color_1}{v_0\cdot t}s=12at2+v0ts = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + \textcolor{#7F7706}{v_0\cdot t}

Im Vergleich mit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2s=12at2s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

Es wird bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit also ein zusätzlicher Weg zurückgelegt. Dieser zusätzliche Weg kommt durch die Anfangsgeschwindigkeit zustande. Er wird über das Produkt aus Anfangsgeschwindigkeit und Zeit berechnet.


Beispiele

Beschleunigung von Jans Auto

Jan fährt mit 30 km/h auf der Straße. Nun beschleunigt er seinen Wagen gleichmäßig auf 60 km/h in 6 Sekunden.

a) Wie stark beschleunigt Jan sein Auto?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} v_0 &= 30 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v &= 60 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ t &= 6 \text{ s} \end{aligned} v0=30kmhv=60kmht=6 s\begin{aligned} v_0 &= 30 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v &= 60 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ t &= 6 \text{ s} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

a= \: ?a=?a= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

v = a \cdot t + v_0v=at+v0v = a \cdot t + v_0

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Da Jan zu Beginn der Beschleunigung schon mit einer bestimmten Geschwindigkeit fährt, benutzt du die Formel für die Geschwindigkeit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. Diese löst du nach der gesuchten Größe, der Beschleunigung a, auf.

v - v_0 = a \cdot tvv0=atv - v_0 = a \cdot ta = \frac{v - v_0}{t}a=vv0ta = \frac{v - v_0}{t}

Denke daran, die Geschwindigkeit noch in die Grundeinheit m/s umzurechnen.

a = \frac{\frac{60}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{6 \text{ s}}a=603,6ms303,6ms6 sa = \frac{\frac{60}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}}}{6 \text{ s}}\textcolor{sc_color_1}{a = \lsg{\frac{25}{18} \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}a=\lsg2518ms2\textcolor{#7F7706}{a = \lsg{\frac{25}{18} \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}

b) Welchen Weg legt Jan in den 6 Sekunden zurück?

Nun benutzt du die Formel für den Weg der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 +v_0\cdot ts=12at2+v0ts = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 +v_0\cdot t

Hier musst du nun einfach nur die Werte einsetzen. Die Schwierigkeit liegt darin, die korrekte Formel zu verwenden. Es handelt sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit.

s = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{18} \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{ s})^2 + \:\frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}s=122518ms2(6 s)2+303,6ms6 ss = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{18} \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{ s})^2 + \:\frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}s = \lsg{75 \text{ m}}s=\lsg75 ms = \lsg{75 \text{ m}}

Jan legt in den 6 Sekunden also eine Entfernung von 75 Metern zurück.

Jans Autofahrt

Wir betrachten nun nochmal Jan, der auf der Straße mit seinem Auto fährt. Diesmal wird die Aufgabe allerdings ein wenig schwieriger.

Wir nehmen an, dass Jan bereits genau 1,0 Kilometer von zu Hause weggefahren ist, bevor er in unserer Animation zu sehen ist. Nun fährt er 6,0 Sekunden lang mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h und beschleunigt anschließend noch einmal 6,0 Sekunden lang mit 5,0 m/s². Welchen Weg hat Jan dann insgesamt zurückgelegt?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} x_0 &= 1,0 \text{ km} \\ v_0 &= 30 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ a &= 5,0 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ t_1 &= 6,0 \text{ s} \\ t_2 &= 6,0 \text{ s} \end{aligned} x0=1,0 kmv0=30kmha=5,0ms2t1=6,0 st2=6,0 s\begin{aligned} x_0 &= 1,0 \text{ km} \\ v_0 &= 30 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} \\ a &= 5,0 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ t_1 &= 6,0 \text{ s} \\ t_2 &= 6,0 \text{ s} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

s_{ges}= \: ?sges=?s_{ges}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 +v_0\cdot ts=12at2+v0ts = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 +v_0\cdot t

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Dies ist eine sehr schwierige Aufgabe. Zur Berechnung unterteilen wir die Bewegung in drei Teile.

Bewegung 1

Jan ist bereits 1 Kilometer gefahren. Der zurückgelegte Weg ist also einen Kilometer.

s_1 = 1000 \text{ m}s1=1000 ms_1 = 1000 \text{ m}

Bewegung 2

Laut Angabe ist Jan danach sechs Sekunden lang mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h gefahren. Das ergibt einen Weg von:

s_2 = v_0 \cdot t_1s2=v0t1s_2 = v_0 \cdot t_1s_2 = \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}s2=303,6ms6 ss_2 = \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}s_2 = 50 \text{ m}s2=50 ms_2 = 50 \text{ m}

Bewegung 3

Die dritte Bewegung ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Der hier zurückgelegte Weg berechnet sich aus der bekannten Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. Hierbei darfst du nicht vergessen, dass Jan bei der Betrachtung dieser Bewegung die Anfangsgeschwindigkeit 30 km/h besitzt.

s_3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2)^2 +v_0\cdot t_2s3=12a(t2)2+v0t2s_3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2)^2 +v_0\cdot t_2

Damit berechnen wir einen Weg von:

s_3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{s})^2 + \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}s3=125ms2(6s)2+303,6ms6 ss_3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (6 \text{s})^2 + \frac{30}{3,6} \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6 \text{ s}s_3 = 140 \text{ m}s3=140 ms_3 = 140 \text{ m}

Gesamter Weg

Damit ergibt sich der insgesamt von Jan zurückgelegte Weg zu:

s_{ges} = s_1 + s_2 + s_3sges=s1+s2+s3s_{ges} = s_1 + s_2 + s_3s_{ges} = 1000 \text{ m} + 50 \text{ m} + 140 \text{ m}sges=1000 m+50 m+140 ms_{ges} = 1000 \text{ m} + 50 \text{ m} + 140 \text{ m}s_{ges} = 1190 \text{ m} \approx \lsg{1,2 \text{ km}}sges=1190 m\lsg1,2 kms_{ges} = 1190 \text{ m} \approx \lsg{1,2 \text{ km}}

Auf gültige Ziffern geachtet ist der von Jan zurückgelgte Weg also 1,2 Kilometer.

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