Fadenpendel

Ein Fadenpendel, auch Mathematisches Pendel genannt, besteht aus einem Pendelkörper, der mit einem Faden an einer Befestigung aufgehängt ist. Ein Fadenpendel schwingt bei kleinen Auslenkungen harmonisch.


Das Pendel

  • Fadenlänge L
  • Auslenkungswinkel α
  • Auslenkungsstrecke s

Der Pendelkörper wird um einen kleinen Winkel α aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann losgelassen. Folgende Kräfte wirken dabei auf den Pendelkörper:

  • Gravitationskraft FG (zieht die Kugel senkrecht nach unten)

Wird zerlegt in

  • Fadenkraft FL (wirkt in Fadenrichtung)
  • Rückstellkraft FR (wirkt in Richtung der Ursprungsposition der Kugel)
Das Pendel besteht aus einem Faden und an diesem hängt der Pendelkörper, einer Kugel. Die Kugel wird um einen kleinen Winkel α aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt. Folgende Kräfte können dann mit einem Kräftedreieck an der Kugel eingezeichnet werden. Die Gravitationskraft FG zieht die Kugel senkrecht nach unten und wird daher senkrecht nach unten eingezeichnet. Der Pfeil wird dann zerlegt in einen Pfeil für die Fadenkraft FL, der in Fadenrichtung zeigt und einen Pfeil für die Rückstellkraft FR, der in Richtung der Ursprungsposition der Kugel zeigt.

Vereinfachende Annahmen:

  • Das Pendel wird nur ein kleines Stück ausgelenkt.
  • Der Faden hat keine Masse
  • Die Pendelbewegung läuft reibungsfrei.

Harmonische Schwingung des Pendels

Erinnerung: Eine Schwingung ist dann harmonisch, wenn das Lineare Kraftgesetz wirkt!

F_R = -D \cdot sFR=DsF_R = -D \cdot s

Ein Fadenpendel ist nur dann Harmonisch, wenn es um einen kleinen Winkel α ausgelenkt wird, weil dann die Kleinwinkelnäherung gilt:

sin (\alpha) \thickapprox \alphasin(α)αsin (\alpha) \thickapprox \alphatan (\alpha) \thickapprox \alphatan(α)αtan (\alpha) \thickapprox \alphacos (\alpha) \thickapprox 1cos(α)1cos (\alpha) \thickapprox 1\text{Für} ~ \alpha < 10\degree Fu¨rα<10°\text{Für} ~ \alpha < 10\degree

Berechnung

\text{Für die Rückstellkraft gilt:}Fu¨r die Ru¨ckstellkraft gilt:\text{Für die Rückstellkraft gilt:}sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{F_R}{F_G}sin(α)=GegenkatheteHypotenuse=FRFGsin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{F_R}{F_G}F_R = F_G \cdot sin(\alpha)FR=FGsin(α)F_R = F_G \cdot sin(\alpha)\text{Für das Bogenstück s gilt:}Fu¨r das Bogenstu¨ck s gilt:\text{Für das Bogenstück s gilt:}s= \sout{2\pi} \cdot L \frac{\alpha}{ \sout{2\pi} } \rightarrow \alpha = \frac{s}{L}s=2πLα2πα=sLs= \sout{2\pi} \cdot L \frac{\alpha}{ \sout{2\pi} } \rightarrow \alpha = \frac{s}{L}\text{Einsetzen:}Einsetzen:\text{Einsetzen:}F_R = F_G \cdot sin(\frac{s}{L})FR=FGsin(sL)F_R = F_G \cdot sin(\frac{s}{L})\text {Kleinwinkelnäherung:}Kleinwinkelna¨herung:\text {Kleinwinkelnäherung:}F_R = F_G \cdot \frac{s}{L}FR=FGsLF_R = F_G \cdot \frac{s}{L}

Formel harmonische Schwingung

F_R=\frac{m\cdot g}{L} \cdot s \rightarrow F_R \thicksim sFR=mgLsFRsF_R=\frac{m\cdot g}{L} \cdot s \rightarrow F_R \thicksim s

Die Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung s. Daher handelt es sich (bei kleinen Auslenkungen) beim Fadenpendel um eine harmonische Schwingung!

Vergleich mit dem linearen Kraftgesetz:

F_R = -D \cdot s \rightarrow D= \frac{m\cdot g}{L}FR=DsD=mgLF_R = -D \cdot s \rightarrow D= \frac{m\cdot g}{L}

Schwingungsdauer beim Pendel

Schwingungsdauer eines Fadenpendels der Länge L:

\text{Aus dem linearen Kraftgesetz gilt:}Aus dem linearen Kraftgesetz gilt:\text{Aus dem linearen Kraftgesetz gilt:}T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}}T=2πmDT = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}}\text{Einsetzen:} T = 2 \pi \sqrt{\frac{ \sout{m} \cdot L}{\sout{m} \cdot g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}Einsetzen:T=2πmLmg=2πLg\text{Einsetzen:} T = 2 \pi \sqrt{\frac{ \sout{m} \cdot L}{\sout{m} \cdot g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers!


Beispiele

Schaukel

Jans kleine Schwester behauptet sie kann viel schneller schaukeln als er. Jan behauptet, das geht gar nicht, da sie doch viel leichter ist. Hat er recht?

Lösung

Nein Jan liegt falsch. Die Schaukel kann näherungsweise als Fadenpendel aufgefasst werden und bei diesem ist die Schwingungsdauer unabhängig von der Masse. Also hat das Gewicht einer Person keinen Einfluss auf die die Zeit, die für das Hin-und-Her-Schaukeln benötigt wird.

Foucault´sches Pendel

Im Turm des Deutschen Museums hängt an einem Stahlseil eine 30kg schwere Bleikugel. Das ist das sogenannte Foucault´sche Pendel. Das Pendel wird um 5 cm ausgelenkt und dann losgelassen. Für eine vollständige Schwingung benötigt es 2 Sekunden.

A: Bestimme die Fadenlänge des Pendels.

B: Bestimme die Rückstellkraft.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

s = 5~\text{cm} = 0,05~\text{m} \\ m = 30~\text{kg} \\ T= 2~\text{s} s=5 cm=0,05 mm=30 kgT=2 ss = 5~\text{cm} = 0,05~\text{m} \\ m = 30~\text{kg} \\ T= 2~\text{s}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

L, F_R= \: ?L,FR=?L, F_R= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_R = \frac{m \cdot g}{L} \cdot sFR=mgLsF_R = \frac{m \cdot g}{L} \cdot sT= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}T=2πLgT= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

\text{A:}~ L= \left( \frac{T}{2\pi} \right) ^2 \cdot g = \left( \frac{2~\text{s}}{2\pi} \right) ^2 \cdot 9,81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 0,99~\text{m}A: L=(T2π)2g=(2 s2π)29,81ms2=0,99 m\text{A:}~ L= \left( \frac{T}{2\pi} \right) ^2 \cdot g = \left( \frac{2~\text{s}}{2\pi} \right) ^2 \cdot 9,81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 0,99~\text{m}

A: Die Länge L des Pendels beträgt 0,99 m.

\text{B:}~F_R = \frac { 30~\text{kg} \cdot 9,81~\frac{\text{m}} {\text{s}^2} } {0,99~\text{m}} \cdot 0,05~\text{m} = 14,86~\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2} = 14,86 \text{ N}B: FR=30 kg9,81ms20,99 m0,05 m=14,86kgms2=14,86 N\text{B:}~F_R = \frac { 30~\text{kg} \cdot 9,81~\frac{\text{m}} {\text{s}^2} } {0,99~\text{m}} \cdot 0,05~\text{m} = 14,86~\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2} = 14,86 \text{ N}

B: Die Rückstellkraft beträgt 14,86 N.

No items found.

Jetzt unlimited holen!

Mit simpleclub unlimited bekommst du Vollzugang zur App: Du boostest deine Noten, hast mehr Freizeit und gehst sicher in jede Klausur!

Jetzt unlimited holen

Jetzt simpleclub Azubi holen!

Mit simpleclub Azubi bekommst du Vollzugang zur App: Wir bereiten dich in deiner Ausbildung optimal auf deine Prüfungen in der Berufsschule vor. Von Ausbilder*innen empfohlen.

Jetzt simpleclub Azubi holen