Zentrifugalkraft

Die Zentrifugalkraft entsteht bei jeder Kreisbewegung aufgrund der Trägheit einer Masse. Sie ist radial nach außen gerichtet.


Erklärung

Zentrifugalkraft = Scheinkraft

Die Zentrifugalkraft entsteht aufgrund der Trägheit einer rotierenden Masse und wird auch Fliehkraft genannt.

Die Zentrifugalkraft tritt erst durch die Kreisbewegung auf. Ein Körper entwickelt also erst durch ein rotierendes System eine Fliehkraft nach außen, weshalb die Zentrifugalkraft auch eine Scheinkraft genannt wird. Eine Scheinkraft ist eine Kraft die erst durch Betrachtung des rotierenden Systems entsteht.

Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft

Da die Zentrifugalkraft erst durch das rotierende System entsteht, muss für das Auftreten einer Zentrifugalkraft immer erst eine Zentripetalkraft vorhanden sein, die den Körper auf eine Kreisbahn bewegt.

Sieh dir die Animation an. Die Zentripetalkraft ist immer nach Innen zur Rotationsachse gerichtet. Die Zentrifugalkraft grenzt sich von ihr deutlich ab, denn sie ist immer nach außen gerichtet.

Die Zentrifugalkraft entsteht aber bei jeder Kreisbewegung. Die beiden Kräfte sind dabei immer entgegengerichtet und gleich groß, wie man in der Animation ganz oben sehen kann. Deshalb kannst du die Zentrifugalkraft analog zur Zentripetalkraft berechnen.

Formel

Die Zentripetalkraft lässt sich aus dem Radius (r), der Geschwindigkeit (v) und der Masse (m) des rotierenden Körpers berechnen:

F_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}FZ=mv2rF_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}

Einheit:

[F_Z]=\text{N}[FZ]=N[F_Z]=\text{N}

Alternativ kann man (analog zur Zentripetalkraft) die Zentrifugalkraft auch über die Formel mit der Winkelgeschwindigkeit berechnen:

F_Z = m \cdot \omega^2 \cdot rFZ=mω2rF_Z = m \cdot \omega^2 \cdot r

Man sieht, dass Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft sehr ähnlich sind, sie werden oft sogar mit dem selben Zeichen abgekürzt.

Zu beachten ist, wie bereits erwähnt die Richtung der jeweiligen Kraft. Diese ist sehr wichtig zu unterscheiden.

Die Beträge der Kräfte sind schlussendlich immer gleich, die Richtung ist entgegengesetzt. Es gilt:

F_{Zentripetal} = - F_{Zentrifugal}FZentripetal=FZentrifugalF_{Zentripetal} = - F_{Zentrifugal}

Beispiele

Jans Wasserflasche

In der Animation dreht Jan seine offene Wasserflasche im Kreis. Eigentlich müsste aufgrund der Erdanziehungskraft am höchsten Punkt ja Wasser aus der Flasche laufen. Weil Jan die Wasserflasche aber schnell genug dreht, wirkt auf das Wasser in der Flasche die Zentrifugalkraft, die das Wasser nach oben in die Flasche hinein drückt.

Zentrifugalkraft im Looping

Jan spielt mit seiner altern Carrera Bahn. Sein Auto (m = 50 g) fährt durch einen Looping. Wie groß muss die Geschwindigkeit im obersten Punkt des Loopings mindestens sein, damit das Auto im Looping (Durchmesser d = 20 cm) nicht herunterfällt.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

m = 50 \text{ g} = 0,05 \text{ kg} \\r = \frac{d}{2} = \frac{20 \text{ cm}}{2} = 0,1 \text{ m} m=50 g=0,05 kgr=d2=20 cm2=0,1 mm = 50 \text{ g} = 0,05 \text{ kg} \\r = \frac{d}{2} = \frac{20 \text{ cm}}{2} = 0,1 \text{ m}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

v= \: ?v=?v= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}FZ=mv2rF_Z = \frac{m\cdot v^2}{r}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Am obersten Punkt des Loopings muss gelten, dass die Zentrifugalkraft, die das Auto nach außen drückt, mindestens so groß ist, wie die Gewichtskraft, denn sonst würde der Wagen nach unten fallen. Es muss gelten:

F_Z \geq F_GFZFGF_Z \geq F_G\frac{m \cdot v^2}{r} \geq m \cdot gmv2rmg\frac{m \cdot v^2}{r} \geq m \cdot g

Das löst du nach der Geschwindigkeit auf:

v \geq \sqrt{g \cdot r}vgrv \geq \sqrt{g \cdot r}v \geq \sqrt{9,81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0,1 \text{ m}}v9,81ms20,1 mv \geq \sqrt{9,81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0,1 \text{ m}}v \geq 1\:\frac{\text{m}}{\text{s}}v1msv \geq 1\:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Das rechnest du noch kurz in km/h um:

v \geq 1 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3,6 = 3,6~\frac{\text{km}}{\text{h}}v1ms3,6=3,6kmhv \geq 1 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3,6 = 3,6~\frac{\text{km}}{\text{h}}

Das Auto muss also mindestens 3,6 km/h fahren.

Geostationärer Satellit

Was ist ein geostationärer Satellit

Ein geostationärer Satellit bleibt immer über dem selben Punkt auf der Erde, da er sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie die Erde bewegt. Das heißt, die Gewichtskraft, die den Satelliten Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt (entspricht der Zentripetalkraft) ist genauso groß, wie die Zentrifugalkraft nach außen. Der Körper bleibt deshalb immer über dem gleichen Punkt über der Erdoberfläche. Er rotiert also mit der Erde mit.

Aufgabe

Berechne die Höhe, die ein geostationärer Satellit (m = 500 kg) über dem Äquator einnimmt.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

m = 500 \text{ kg} \\ T = 24 \text{ h} = 86400 \text{ s} \\ G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \\ m_E = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg} \\ r_E = 6400 \text{ km} m=500 kgT=24 h=86400 sG=6,671011m3kgs2mE=5,971024 kgrE=6400 kmm = 500 \text{ kg} \\ T = 24 \text{ h} = 86400 \text{ s} \\ G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \\ m_E = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg} \\ r_E = 6400 \text{ km}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

r= \: ?r=?r= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_Z = m \cdot \omega^2 \cdot rFZ=mω2rF_Z = m \cdot \omega^2 \cdot r

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Bei dieser Aufgabe verwendet man einen Ansatz, der für viele Kreisbewegungen genutzt wird. Dieser Ansatz ist sehr wichtig.

Die Erdanziehungskraft ist bei einem geostationären Satelitten die Zentripetalkraft, die die Kreisbewegung verursacht. Also genau so groß wie die Zentrifugalkraft, nur entgegengesetzt gerichtet. Man setzt die Zentripetalkraft mit der Gewichtskraft gleich:

F_G = F_ZFG=FZF_G = F_Z

Man berechnet die Erdanziehungskraft mithilfe des Gravitationsgesetzes und die Zentripetalkraft über die bekannte Formel:

G \cdot \frac{m_S \cdot m_E}{(r_E + h)^2} = m_S \cdot \omega^2 \cdot (r_E + h)GmSmE(rE+h)2=mSω2(rE+h)G \cdot \frac{m_S \cdot m_E}{(r_E + h)^2} = m_S \cdot \omega^2 \cdot (r_E + h)

Dabei entspricht ...

m_S = \text{Satellitenmasse}mS=Satellitenmassem_S = \text{Satellitenmasse}m_{E} = \text{ Masse der Erde}mE= Masse der Erdem_{E} = \text{ Masse der Erde}r_E = \text{Radius der Erde}rE=Radius der Erder_E = \text{Radius der Erde}h = \text{Höhe des Satelliten}h=Ho¨he des Satellitenh = \text{Höhe des Satelliten}G = \text{ Gravitationskonstante}G= GravitationskonstanteG = \text{ Gravitationskonstante}\omega = \text{Winkelgeschwindigkeit}ω=Winkelgeschwindigkeit\omega = \text{Winkelgeschwindigkeit}

Den Ansatz löst man zunächst nach der Höhe wie folgt auf:

G \cdot \frac{m_S \cdot m_E}{(r_E + h)^2} = m_S \cdot \omega^2 \cdot (r_E + h)GmSmE(rE+h)2=mSω2(rE+h)G \cdot \frac{m_S \cdot m_E}{(r_E + h)^2} = m_S \cdot \omega^2 \cdot (r_E + h)\frac{G \cdot m_S \cdot m_E}{m_s \cdot \omega^2} = (r_E + h)^3GmSmEmsω2=(rE+h)3\frac{G \cdot m_S \cdot m_E}{m_s \cdot \omega^2} = (r_E + h)^3\sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E}{\omega^2}} = r_E + hGmEω23=rE+h\sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E}{\omega^2}} = r_E + hh =\sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E}{\omega^2}} - r_Eh=GmEω23rEh =\sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E}{\omega^2}} - r_E

Die Gravitationskonstante, der Erdradius und die Erdmasse sind bekannte Konstanten. Für die Berechnung der Höhe des Satelliten fehlt also nur noch die Winkelgeschwindigkeit. Da der Satellit sich mit der Erde mitbewegt, benötigt er für eine vollständige Kreisbewegung genau 1 Tag, also 86400 s. Daraus berechnen wir die Winkelgeschwindigkeit:

\omega = \frac{2\pi}{T}ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T}

Ersetzt man nun die Winkelgeschwindigkeit, hat man alle benötigten Werte.

h =\sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E}{(\frac{2\pi}{T})^2}} - r_Eh=GmE(2πT)23rEh =\sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E}{(\frac{2\pi}{T})^2}} - r_Eh =\sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}\cdot 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{(\frac{2\pi}{86400 \text{ s}})^2}} - 6400 \cdot 10^3 \text{ m}h=6,671011m3kgs25,971024 kg(2π86400 s)236400103 mh =\sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}\cdot 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{(\frac{2\pi}{86400 \text{ s}})^2}} - 6400 \cdot 10^3 \text{ m}h \approx 35826910 \text{ m} \approx 35800 \text{ km}h35826910 m35800 kmh \approx 35826910 \text{ m} \approx 35800 \text{ km}

Ein geostationärer Satellit befindet sich also ungefähr 35800 Kilometer über der Erdoberfläche.

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