Dopplereffekt

Als Doppler-Effekt bezeichnet man eine zeitliche Stauchung oder Dehnung einer Welle bei Veränderungen des Abstands zwischen Sender und Empfänger.


Abstand Sender-Empänger

Wird während der Dauer eines Wellen-Signals der Abstand zwischen dem Sender (also der Ursprungsquelle der Welle) und des Empfängers verändert, wird die Welle zeitlich gestaucht oder gedehnt. Das liegt daran, dass durch eine Änderung des Abstands die Laufzeit der Welle verändert wird.

Der Abstand kann sich verändern wenn

  • der Empfänger sich bewegt und der Sender ruht.
  • der Empfänger ruht und der Sender sich bewegt.
  • sich beide aufeinander zu oder voneinander wegbewegen.
Der Krankenwagen fährt auf Jan zu. Dadurch wird die Schallwelle, die aus der Sirene kommt auf der Seite, auf der Jan steht, gestaucht. Die Frequenz der Welle, die bei Jans Ohr ankommt ist daher größer und er hört den Ton der Sirene höher. Auf der anderen Seite steht eine Frau. Der Krankenwagen bewegt sich von ihr weg und die Schallwelle wird auf dieser Seite gestreckt. Daher ist die Frequenz der Welle die an ihrem Ohr ankommt niedriger und sie hört den Ton der Sirene tiefer.

Änderung der Frequenz

  • Verkleinert sich der Abstand Sender-Empfänger so wird die Welle gestaucht. Dadurch wird die Wellenlänge (λ') der Welle kleiner. Die wahrgenommene Frequenz (f') steigt.
  • Vergrößert sich der Abstand so wird die Welle gedehnt. Dadurch wird die Wellenlänge (λ') der Welle größer und die wahrgenommene Frequenz (f') sinkt.

Durch die Frequenzänderung, ändern sich beispielsweise ein wahrgenommener Ton (akustischer Dopplereffekt) oder die wahrgenommene Farbe des Lichts (optischer Dopplereffekt). Aber Achtung: die Frequenz, die der Sender aussendet, verändert sich nicht! Nur die Frequenz, die beim Empfänger ankommt, hat sich geändert.

Formel

c= f´ \cdot λ´ \implies f´=\frac{c}{λ´}c=f´λ´f´=cλ´c= f´ \cdot λ´ \implies f´=\frac{c}{λ´}f´ = f \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}f´=fc+vcvf´ = f \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}c= \text{Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle}c=Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellec= \text{Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle}v=\text{Geschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger}v=Geschwindigkeit zwischen Sender und Empfa¨ngerv=\text{Geschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger}v<0= \text{Bewegung voneinander weg}v<0=Bewegung voneinander wegv<0= \text{Bewegung voneinander weg}v>0=\text{Bewegung aufeinander zu}v>0=Bewegung aufeinander zuv>0=\text{Bewegung aufeinander zu}

Beispiele

Krankenwagen

Jan bemerkt, dass die Sirene des Krankenwagens höher ist, wenn er auf ihn zufährt und tiefer ist, wenn er von ihm wegfährt. Wieso ist das so?

Lösung

Der höhere Ton der Sirene (Quelle) ist dadurch zu erklären, dass der Krankenwagen sich auf dich zubewegt und dabei die Schallwelle vor sich staucht. Dadurch treffen die Wellenberge in kürzeren Abständen bei dir (Empfänger) ein. Wenn er von dir wegfährt passiert das Gegenteil, und die Schallwelle wird gedehnt.

Radioteleskop (knifflige Aufgabe)

Jan entdeckt durch sein neues Radioteleskop eine Raumsonde, die sich mit konstanter Geschwindigkeit von der Erde wegbewegt. Er weiß, dass diese Sonde ein Signal mit einer Wellenlänge von 400 mm nach Hause zur Erde sendet. Bei ihm kommt dieses Signal mit einer Wellenlänge von 550 mm an. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Fahrzeug von der Erde weg?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

λ=400~\text{mm}=0,4~\text{m} \\λ'=550~\text{mm}=0,55~\text{m} \\ c=299792458~\frac{\text{m}} {\text{s}} λ=400 mm=0,4 mλ=550 mm=0,55 mc=299792458msλ=400~\text{mm}=0,4~\text{m} \\λ'=550~\text{mm}=0,55~\text{m} \\ c=299792458~\frac{\text{m}} {\text{s}}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

v= \: ?v=?v= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

f'=f \cdot \sqrt{\frac{c-v}{c+v}} \\ f=\frac{c}{λ} \\ f'=\frac{c}{λ'}f=fcvc+vf=cλf=cλf'=f \cdot \sqrt{\frac{c-v}{c+v}} \\ f=\frac{c}{λ} \\ f'=\frac{c}{λ'}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

\text{Einsetzen: } \frac{c}{λ'}=\frac{c}{λ} \cdot \sqrt{\frac{c-v}{c+v}}Einsetzen: cλ=cλcvc+v\text{Einsetzen: } \frac{c}{λ'}=\frac{c}{λ} \cdot \sqrt{\frac{c-v}{c+v}}\text{Auflösen nach v:}Auflo¨sen nach v:\text{Auflösen nach v:}\left( \frac{λ}{λ'} \right)^2 \cdot \left(c+v \right) = \left( c-v\right)(λλ)2(c+v)=(cv)\left( \frac{λ}{λ'} \right)^2 \cdot \left(c+v \right) = \left( c-v\right)v \left( \left( \frac{λ}{λ'} \right)^2 +1\right)=c \left( 1- \left( \frac{λ}{λ'} \right)^2 \right)v((λλ)2+1)=c(1(λλ)2)v \left( \left( \frac{λ}{λ'} \right)^2 +1\right)=c \left( 1- \left( \frac{λ}{λ'} \right)^2 \right)v=c\cdot \frac{1-\left(\frac{λ}{λ'} \right)^2}{1+\left(\frac{λ}{λ'} \right)^2}v=c1(λλ)21+(λλ)2v=c\cdot \frac{1-\left(\frac{λ}{λ'} \right)^2}{1+\left(\frac{λ}{λ'} \right)^2}v=299792458~\frac{\text{m}} {\text{s}} \cdot \frac{1-\left(\frac{0,4\text{m}}{0,55\text{m}} \right)^2}{1+\left(\frac{0,4\text{m}}{0,55\text{m}} \right)^2}=92368487~\frac{\text{m}}{\text{s}} =92368,5~\frac{\text{km}}{\text{s}}v=299792458ms1(0,4m0,55m)21+(0,4m0,55m)2=92368487ms=92368,5kmsv=299792458~\frac{\text{m}} {\text{s}} \cdot \frac{1-\left(\frac{0,4\text{m}}{0,55\text{m}} \right)^2}{1+\left(\frac{0,4\text{m}}{0,55\text{m}} \right)^2}=92368487~\frac{\text{m}}{\text{s}} =92368,5~\frac{\text{km}}{\text{s}}

Die Raumsonde bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 92368,5 km pro Sekunde von der Erde weg.

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