Elektrisches Feld Punktladung & Kugel

Das elektrische Feld einer Punktladung ist kugelsymmetrisch (in alle Richtungen gleich von der Punktladung weg oder zur ihr hin) und hängt im Nenner quadratisch von der Distanz ab.


Elektrisches Feld einer Punktladung und außerhalb einer Kugel

Das elektrische Feld einer Punktladung oder einer Kugel mit Ladung Q ist invers porportional zum Quadrat der Distanz r zu dieser Ladung ab.

E=k \cdot \frac{Q}{r^2}E=kQr2E=k \cdot \frac{Q}{r^2}

wobei k die elektrische Feldkonstante enthält und annähernd dieselbe ist für Luft und Vakuum:

k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}=9\cdot 10^{9}~\frac{{\text{Nm}}^2}{\text{C}^2}k=14πϵ0=9109Nm2C2k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}=9\cdot 10^{9}~\frac{{\text{Nm}}^2}{\text{C}^2}

Einheit:

[E]=\frac{\text{N}}{\text{C}}[E]=NC[E]=\frac{\text{N}}{\text{C}}

Kugelsymmetrische Feldlinien einer Punktladung oder einer Kugel

Die Feldlinien gehen in alle Richtungen gleich von einer positiven Puntkladung weg. Gleichermaßen zeigen die Feldlinien zu einer negativen Punktladung hin.

 Das elektrische Feld einer Punktladung sieht wie eine Sonne mit Sonnenstrahlen aus. Die Feldlinien gehen von einer positiven Punktladung in alle Richtungen radial weg. Die Feldlinien einer negativen Punktladung sehen gleich aus und zeigen zur Punktladung hin.

Beispiele

Elektrische Feldstärke eines Protons

Jan ist schlau und weiß, dass ein Wasserstoffatom aus einem Proton und einem Elektron besteht. Beide tragen die Elementarladung, nur mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Elektron umkreist den Kern im Abstand von 0,053 Nanometer. Wie groß ist die elektrische Feldstärke des Protons am Ort des Elektrons?

Lösung

Gegeben:

e=1,602 \cdot 10^{-19}~\text{C} \\ r=0,053~\text{nm}=5,3 \cdot 10^{-11}~\text{m}e=1,6021019 Cr=0,053 nm=5,31011 me=1,602 \cdot 10^{-19}~\text{C} \\ r=0,053~\text{nm}=5,3 \cdot 10^{-11}~\text{m}

Gesucht:

E = ?E=?E = ?

Formel:

E=k\cdot \frac{Q}{r^2}E=kQr2E=k\cdot \frac{Q}{r^2}

Lösungsweg:

Nachdem du die Distanz umgerechnet hast, brauchst du nur noch einzusetzen.

E=k\cdot \frac{1,602\cdot 10^{-19}~\text{C}}{(5,3 \cdot 10^{-11}~\text{m})^2}=5,1 \cdot 10^{11}~\frac{\text{N}}{\text{C}}E=k1,6021019 C(5,31011 m)2=5,11011NCE=k\cdot \frac{1,602\cdot 10^{-19}~\text{C}}{(5,3 \cdot 10^{-11}~\text{m})^2}=5,1 \cdot 10^{11}~\frac{\text{N}}{\text{C}}

Distanzabhängigkeit des elektrischen Feldes

Jan hat eine Probeladung die er 0,3 Meter von einer geladenen Kugel hält. Er möchte die elektrische Feldstärke der geladenen Kugel halbieren. Wie weit muss er zurück gehen?

Lösung

Gegeben:

E_2=0,5 \cdot E_1E2=0,5E1E_2=0,5 \cdot E_1

Gesucht:

r_2 = ?r2=?r_2 = ?

Formel:

E=k\cdot \frac{Q}{r^2}E=kQr2E=k\cdot \frac{Q}{r^2}

Lösungsweg:

Die erste Feldstärke soll halbiert werden und du kannst folgende Gleichung aufstellen. Das elektrische Feld wird ja in beiden Fällen von derselben Ladung Q der Kugel hervorgerufen und hast somit dasselbe Q in beiden Formeln. Nur die Distanzen werden verschieden sein.

E_2=\frac{1}{2}\cdot E_1 \implies k\cdot \frac{Q}{(r_2)^2}=\frac{1}{2} \cdot k\cdot \frac{Q}{(0,3)^2~\text{m}^2}E2=12E1kQ(r2)2=12kQ(0,3)2m2E_2=\frac{1}{2}\cdot E_1 \implies k\cdot \frac{Q}{(r_2)^2}=\frac{1}{2} \cdot k\cdot \frac{Q}{(0,3)^2~\text{m}^2}

Dann kürzt du alles raus was du nicht brauchst und machst die Gleichung etwas schöner durch Umformungen.

\frac{1}{(r_2)^2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(0,3)^2~\text{m}^2} \implies (r_2)^2=2 \cdot (0,3)^2~\text{m}^21(r2)2=121(0,3)2m2(r2)2=2(0,3)2m2\frac{1}{(r_2)^2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(0,3)^2~\text{m}^2} \implies (r_2)^2=2 \cdot (0,3)^2~\text{m}^2

Die negative Lösung wird mal außer Acht gelassen, da es keine negative Distanzen geben kann.

r_2=\sqrt{2} \cdot 0,3~\text{m}\approx 0,42~\text{m}r2=20,3 m0,42 mr_2=\sqrt{2} \cdot 0,3~\text{m}\approx 0,42~\text{m}

Jan muss also ungefähr 12 Zentimeter weiter weg gehen um die elektrische Feldstärke zu halbieren.

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