Hebel

Ein Hebel ist ein meist länglicher Körper, der sich um einen Drehpunkt drehen kann. Das Hebelgesetz hängt stark mit dem Drehmoment zusammen.


Erklärung

In der Animation sitzen Jan und sein Kumpel Mark Robin auf einer Wippe. Jan ist schwerer als sein Kumpel, deshalb ist sein Pfeil Richtung Erdboden, der die Gewichtskraft darstellt auch länger. Die Entfernung zum Aufhängungspunkt der Wippe ist bei Jan kürzer als bei seinem Kumpel Mark Robin.

In der Animation siehst du ein gutes Beispiel für die Anwendung des Hebelgesetzes. Der Punkt, an dem der Hebel drehbar gelagert ist nennt sich Angelpunkt A.

In der Animation üben Jan und sein Kumpel Mark Robin beide eine Kraft auf den Hebel aus. Den Abstand von der Wirkung der Kraft bis zum Angelpunkt A nennt man Hebelarm h oder auch Länge L.

Durch die beiden Kräfte entsteht ein Drehmoment:

M_{Mark Robin} = F \cdot L_{Mark Robin}MMarkRobin=FLMarkRobinM_{Mark Robin} = F \cdot L_{Mark Robin}M_{Jan} = F \cdot L_{Jan}MJan=FLJanM_{Jan} = F \cdot L_{Jan}

Ist die Wippe im Gleichgewicht, dann sind die Drehmomente gleich groß. Dann gilt:

\begin{aligned} M_{Jan} &= M_{Janine} \\F \cdot L_{Jan} &= F \cdot L_{Mark Robin} \end{aligned}MJan=MJanineFLJan=FLMarkRobin\begin{aligned} M_{Jan} &= M_{Janine} \\F \cdot L_{Jan} &= F \cdot L_{Mark Robin} \end{aligned}

Hieraus können wir das allgemeine Hebelgesetz formulieren.

Formel

Das Hebelgesetz wird definiert als:

F_1 \cdot L_1 = F_2 \cdot L_2F1L1=F2L2F_1 \cdot L_1 = F_2 \cdot L_2

Dabei bezeichnet die Kraft F eine am Hebelarm wirkende Kraft

Die Länge L ist der Abstand des Punktes der Kraftwirkung zum Angelpunkt A.

Zweiarmiger Hebel

Zweiarmige Hebel sind alle Hebel, bei denen die Angriffspunkte der Kräfte auf verschiedenen Seiten des Angelpunkts sind.

Jan versucht in der Animation einen schweren Holzblock zu bewegen. Er versucht es mithilfe des Hebelgesetzes. Er übt eine Kraft weit weg vom Angelpunkt auf seinen Hebel aus. Der Holzblock hingegen befindet sich ziemlich nah am Angelpunkt, die Entfernung ist also geringer, die Kraft dafür aber viel größer.

Lastarm und Kraftarm

Wird über einen zweiarmigen Hebel versucht, eine Last zu bewegen, dann nennt man die Seite, der Kraftwirkung Kraftarm. Die Seite der zu bewegenden Last heißt hingegen Lastarm.

Einarmiger Hebel

Bei einem einarmigen Hebel liegen die zwei Angriffspunkt auf der gleichen Seite des Angelpunktes. Am besten versteht man den einarmigen Hebel mithilfe eines Beispiel wie einem Nussknacker.

In der Grafik ist ein Nussknacker dargestellt, in dem eine Nuss liegt. DIe Entfernung vom Angelpunkt zur Nuss beträgt einen Zentimeter. Die Entfernung zu dem Angriffspunkt der Kraft mit 100 Newton beträgt zehn Zentimeter.

Übt man über den Hebel eine Kraft F nach unten aus, so ist durch die viel kürzere Entfernung der Nuss vom Angelpunkt die Kraft auf die Nuss vorne um ein Vielfaches höher.

Wie groß ist diese Kraft?

Es gilt immer noch die Formel für das Hebelgesetz:

F_1 \cdot L_1 = F_2 \cdot L_2F1L1=F2L2F_1 \cdot L_1 = F_2 \cdot L_2

Nehmen wir an wir drücken am Ende des Nussknackers, 10 cm vom Angelpunkt entfernt, mit einer Kraft F von 100 N. Eine Nuss, deren Angriffspunkt 1 cm vom Angelpunkt entfernt ist, erfährt dann laut Hebelgesetz eine Kraft von:

F_{1} = \frac{F_2 \cdot L_2}{L_1} = \frac{100 \text{ N} \cdot 0,1 \text{ m}}{0,01 \text{ m}} = 1000 \text{ N}F1=F2L2L1=100 N0,1 m0,01 m=1000 NF_{1} = \frac{F_2 \cdot L_2}{L_1} = \frac{100 \text{ N} \cdot 0,1 \text{ m}}{0,01 \text{ m}} = 1000 \text{ N}

Durch Hebel kann man also ziemlich große Kräfte aufbauen! Auch wenn die Nuss eine sehr harte Schale hat, hat sie so gut wie keine Chance, dieser großen Kraft standzuhalten.


Wippe

Jan und Janine sitzen auf einer Wippe. Janine wiegt 55 kg und sitzt 3 m von der MItte der Wippe weg. In welcher Entfernung muss Jan (90 kg) von dem Mittelpunkt der Wippe entfernt sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht bleibt?

In der Grafik sitzen Jan und Janine auf der Wippe. Janine in einem Abstand von 3 Metern und Jan in einem Abstand, der mit einem Fragezeichen markiert ist. Zusätzlich sind die Gewichtskräfte auf die beiden Personen eingezeichnet, wobei Jan sein Pfeil länger ist, da er eine höhere Masse hat.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

m_{Jan} = 90 \text{ kg} \\ m_{Janine} = 55 \text{ kg} \\l_{Janine} = 3 \text{ m} mJan=90 kgmJanine=55 kglJanine=3 mm_{Jan} = 90 \text{ kg} \\ m_{Janine} = 55 \text{ kg} \\l_{Janine} = 3 \text{ m}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

l_{Jan}= \: ?lJan=?l_{Jan}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_1 \cdot L_1 = F_2 \cdot L_2F1L1=F2L2F_1 \cdot L_1 = F_2 \cdot L_2

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wenn die Wippe im Gleichgewicht sein soll, dann muss das Hebelgesetz erfüllt sein. Schlussendlich üben Jan und Janine einen Drehmoment auf die Wippe aus, allerdings kann man die Aufgabe auch rein über das Hebelgesetz lösen.

Die beiden Kräfte wirken auf verschiedenen Seiten des Angelpunkts. Man setzt das Hebelgesetz an und löst nach der gewünschten Größe auf.

L_{Jan} \cdot F_{Jan} = L_{Janine} \cdot F_{Janine}LJanFJan=LJanineFJanineL_{Jan} \cdot F_{Jan} = L_{Janine} \cdot F_{Janine}L_{Jan} = \frac{L_{Janine} \cdot F_{Janine}}{F_{Jan}}LJan=LJanineFJanineFJanL_{Jan} = \frac{L_{Janine} \cdot F_{Janine}}{F_{Jan}}

Für die Gewichtskräfte von Janine und Jan gilt:

F_{Janine} = m_{Janine} \cdot gFJanine=mJaninegF_{Janine} = m_{Janine} \cdot gF_{Jan} = m_{Jan} \cdot gFJan=mJangF_{Jan} = m_{Jan} \cdot g

Das Einsetzen der Werte bringt dann die Lösung.

L_{Jan} = \frac{L_{Janine} \cdot m_{Janine} \cdot g}{m_{Jan} \cdot g}LJan=LJaninemJaninegmJangL_{Jan} = \frac{L_{Janine} \cdot m_{Janine} \cdot g}{m_{Jan} \cdot g}L_{Jan} = \frac{3 \text{ m} \cdot 55 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{90 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}LJan=3 m55 kg9,81ms290 kg9,81ms2L_{Jan} = \frac{3 \text{ m} \cdot 55 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{90 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}L_{Jan} \approx 1,8 \text{ m}LJan1,8 mL_{Jan} \approx 1,8 \text{ m}

Jan muss also etwa 1,8 m vom Angelpunkt der Wippe entfernt sitzen.

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